МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УО «Белорусский государственный экономический университет»

Л.С. Барковская, Л.В. Станишевская, Ю.Н. Черторицкий

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Практикум

Издание третье, переработанное и дополненное

Минск 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …………...……………….....	3
1.   Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями ……………….…......	3
2.   Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей ..............................................	11
3.   Геометрические вероятности …………....…….....	23
4.   Теоремы сложения и умножения вероятностей	28
5.   Формула полной вероятности и формула Байеса	39
6.   Повторные независимые испытания (схема Бер­нулли) …….............................................…………..	45
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ….......………………....	57
7.   Дискретная случайная величина ………......…...	57
8.   Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности ……...............................................…...	79
9.   Закон больших чисел …………......……………....	126
10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов ……...............................................	133
ПРИЛОЖЕНИЯ ……………………………………....	147
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………...	150

Вероятность. Основные теоремы теории вероятностей

1. Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями

В основе теории вероятностей лежит понятие случайного эксперимента. Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым из совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя предсказать, каким именно.

Примеры случайного эксперимента: бросание монеты, игральной кости, проведение лотереи, азартные игры, стрельба по цели, поступление звонков на телефонную станцию и т.п.

Различные результаты эксперимента называют исходами.

Определение 1. Множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента называется пространством элементарных событий. Взаимоисключа­ющие исходы — это те, которые не могут наступить одновременно.

Пространство элементарных событий будем обозначать буквой Ω, а его исходы — буквой ω.

Определение 2. Произвольное подмножество пространства элементарных событий называется событием. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, а также из счетного или несчетного числа элементарных событий.

Событие Ω, состоящее из всех исходов эксперимента, называется достоверным событием. Оно обязательно происходит, так как эксперимент всегда заканчивается каким-нибудь исходом.

Пустое множество исходов эксперимента называется невозможным событием и обозначается символом ø.

Определение 3. Суммой двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих либо в А, либо в В. Другими словами, под понимают следующее событие: произошло или событие А, или событие В, либо они произошли одновременно, т.е. произошло хотя бы одно из событий А или В (рис. 1.1а).

Определение 4. Произведением двух событий А и В (обозначается АВ) называется событие, состоящее из тех исходов, которые входят как в А, так и в В. Иными словами, АВ означает событие, при котором события А и В наступают одновременно (рис. 1.1б).

Определение 5. Разностью двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.

Смысл события состоит в том, что событие А наступает, но при этом не наступает событие В (рис. 1.1в).

Определение 6. Противоположным (дополнительным) для события А (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в А. Наступление события означает просто, что событие А не наступило.

Если события изобразить на плоскости, то результат определенных операций над событиями выглядит следующим образом:

Рис. 1.1

Определение 7. События А и В называются несовместимыми, если нет исходов, входящих как в А, так и в В, т.е. АВ = ø.

Определение 8. Говорят, что событие А содержится в событии В (обозначается ), если все исходы события А входят в событие В.

Свойства операций над событиями

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ø;
7) ;	8) ;	9) ;
10) ;	11) ;	12) .

Пример 1.1. Два шахматиста играют подряд две партии. Под исходом опыта будем понимать выигрыш одного из них в i-й партии или ничью. Построить пространство элементарных исходов.

Решение. Обозначим события — в i-й партии выиграл первый игрок,  — второй, С — ничья. Тогда возможные исходы игры:

1. Обе партии выиграл первый игрок .

2. Обе партии выиграл второй игрок .

3. Обе партии закончились вничью .

4. В первой партии выиграл первый игрок, во второй — второй .

5. В первой выиграл первый игрок, во второй — ничья .

6. В первой партии победа второго игрока, во второй — первого .

7. В первой — победа второго игрока, во второй — ничья .

8. В первой — ничья, во второй — победа первого игрока .

9. В первой — ничья, во второй — победа второго игрока .

Ответ: = , , , , , , , , .

Пример 1.2. Пусть А, В, С — три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С:

1. Произошло только А.

2. Произошло А и В, но С не произошло.

3. Все три события произошли.

4. Произошло, по крайней мере, одно из событий.

5. Произошли, по крайней мере, два события.

6. Произошло одно и только одно событие.

7. Произошли два и только два события.

8. Ни одно событие не произошло.

9. Произошло не более двух событий.

Решение.

1. Обозначим и , что события В и С не произошли, тогда событие: произошло только А можно записать в виде .

2.

3.

4. Событие произошло, по крайней мере, одно из событий можно представить как сумму этих событий: А + В + С.

5. Произошли, по крайней мере, два события — это сумма АВ + АС + ВС.

6. Произошло одно и только одно событие — это сумма событий

7. Произошли два и только два события — можно записать в виде , или АВ + АС + ВС – АВС.

8.

9. , т.е. три события одновременно не произошли.

Пример 1.3. События А, В и С означают, что взято хотя бы по одной книге из трех различных собраний сочинений, каждое из которых содержит по крайней мере три тома. События и означают соответственно, что из первого собрания сочинений взяты s, а из второго k томов. Что означают события: а) А + + В + С; б) АВС; в) ; г) ; д) ?

Решение.

1. А + В + С — взята хотя бы одна книга.

2. АВС — взято хотя бы по одному тому из первого, второго и третьего со- брания сочинений.

3. — взята одна книга из первого собрания сочинений или три книги из второго собрания сочинений, или одна из первого и три из второго собрания сочинений одновременно.

4. — взято по два тома из первого и второго собрания сочинений.

5. — взят хотя бы один том из третьего собрания сочинений и один том из первого и три тома из второго собрания сочинений или три тома из первого и один том из второго собрания сочинений.

Пример 1.4. Пусть – события: Ваша встреча с i-ым другом. Составьте события: а) с друзьями Вы не встречались; б) Вы встречались только со вторым другом; в) с кем-то Вы не встретились; г) Вы встретились с большей частью друзей; д) у Вас состоялась встреча только с одним другом; е) Вы встретились с кем-то из первых двух друзей, а с третьим другом – нет; ж) со вторым другом Вы не встретились.

Назовите события: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

Решение. Составим события:

а) Так как событие – «Ваша встреча с i-ым другом», то – «с i-ым другом Вы не встретились». Поэтому событие «с друзьями Вы не встречались» – это совместное наступление событий , т.е. .

б) Слово только говорит о том, что с первым и вторым другом Вы не встречались, а со вторым – да. Это .

в) Этот кто-то может быть любым из ваших друзей, поэтому событие – сумма событий , т.е. .

г) Так как друзей трое, а большая часть – это более половины, то Вы встретились, по крайней мере, с двумя друзьями, поэтому событие – сумма событий и , т.е. .

д) Этим одним другом может быть любой из Ваших трех друзей, поэтому это событие есть сумма таких событий: «Вы встретились только с первым другом» или «встретились только со вторым», или «встретились только с третьим», т.е. .

е) Встреча с кем-то из первых двух друзей – это встреча либо с первым другом, либо со вторым (а может быть и с обоими), т.е. это сумма и в то же время не встретились с третьим. Поэтому ответ: .

ж) Так как – «встреча со вторым другом», то – «встречи со вторым другом не было». Так как про других друзей ничего не говорится, то не надо думать про встречи с ними.

Назовем события:

а) Вы не встретились только с одним другом (или Вы встретились только с двумя).

б) Событие – «ни с кем Вы не встретились», а событие – противоположное событию (отрицание этого события). Поэтому ответ: встречи были (с кем-то Вы встретились). Итак, .

в) С двумя друзьями Вы не встречались (с большей частью своих друзей Вы не встречались).

г) С первым другом Вы встретились, а с кем-то из остальных – нет.

д) Вы не встретились только со вторым другом (или у Вас была встреча только с первым и третьим другом).

е) Так как событие «Вы с кем-то встречались», то событие – ему противоположное (отрицание этого события – «Вы ни с кем не встречались», т.е. . Итак, .