Министерство образования республики беларусь

УО «Белорусский государственный экономический университет»

Л.С. Барковская, Л.В. Станишевская, Ю.Н. Черторицкий

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Практикум

Издание третье, переработанное и дополненное

Минск 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …………...……………….....	3
1.   Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями ……………….…......	3
2.   Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей ..............................................	11
3.   Геометрические вероятности …………....…….....	23
4.   Теоремы сложения и умножения вероятностей	28
5.   Формула полной вероятности и формула Байеса	39
6.   Повторные независимые испытания (схема Бер­нулли) …….............................................…………..	45
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ….......………………....	57
7.   Дискретная случайная величина ………......…...	57
8.   Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности ……...............................................…...	79
9.   Закон больших чисел …………......……………....	126
10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов ……...............................................	133
ПРИЛОЖЕНИЯ ……………………………………....	147
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………...	150

Вероятность. Основные теоремы теории вероятностей

1. Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями

В основе теории вероятностей лежит понятие случайного эксперимента. Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым из совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя предсказать, каким именно.

Примеры случайного эксперимента: бросание монеты, игральной кости, проведение лотереи, азартные игры, стрельба по цели, поступление звонков на телефонную станцию и т.п.

Различные результаты эксперимента называют исходами.

Определение 1. Множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента называетсяпространством элементарных событий. Взаимоисключа­ющие исходы — это те, которые не могут наступить одновременно.

Пространство элементарных событий будем обозначать буквой Ω, а его исходы — буквой ω.

Определение 2. Произвольное подмножество пространства элементарных событий называется событием. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, а также из счетного или несчетного числа элементарных событий.

Событие Ω, состоящее из всех исходов эксперимента, называется достоверным событием. Оно обязательно происходит, так как эксперимент всегда заканчивается каким-нибудь исходом.

Пустое множество исходов эксперимента называется невозможным событием и обозначается символом ø.

Определение 3. Суммой двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих либо в А, либо в В. Другими словами, под понимают следующее событие: произошло или событие А, или событие В, либо они произошли одновременно, т.е. произошло хотя бы одно из событий А или В (рис. 1.1а).

Определение 4. Произведением двух событий А и В (обозначается АВ) называется событие, состоящее из тех исходов, которые входят как в А, так и в В. Иными словами, АВ означает событие, при котором события А и В наступают одновременно (рис. 1.1б).

Определение 5. Разностью двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.

Смысл события состоит в том, что событие А наступает, но при этом не наступает событие В (рис. 1.1в).

Определение 6. Противоположным (дополнительным) для события А (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в А. Наступление события означает просто, что событие А не наступило.

Если события изобразить на плоскости, то результат определенных операций над событиями выглядит следующим образом:

Рис. 1.1

Определение 7. События А и В называются несовместимыми, если нет исходов, входящих как в А, так и в В, т.е. АВ = ø.

Определение 8. Говорят, что событие А содержится в событии В (обозначается ), если все исходы события А входят в событие В.