Задачи для самостоятельного решения

3.1. Значения а и b равновозможны в квадрате , . Найти вероятности следующих событий: А = «корни квадратного трехчлена действительны», В = «корни квадратного трехчлена положительны».

Ответ:

3.2. Из отрезка наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше единицы, а произведение меньше единицы?

Ответ: .

3.3. На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты красный, затем снова одну минуту — зеленый и полминуты красный и т.д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки?

Ответ:

3.4. К автобусной остановке через каждые четыре минуты подходит автобус линии А и через каждые шесть минут — автобус линии В. Интервал времени между моментами прихода автобуса линии А и ближайшего следующего автобуса линии В равновозможен в пределах от нуля до четырех минут. Определить вероятность того, что: а) первый пришедший автобус окажется автобусом линии А; б) автобус какой-либо линии подойдет в течение двух минут.

Ответ: .

3.5. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождение причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго — два часа.

Ответ: Р = 0,121.

3.6. Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 мин, после чего уходит. Наблюдаемый результат — пара чисел (х, у), где х — время прихода Петра, у — время прихода Ивана. Определить вероятности следующих событий: А = «встреча состоялась», В = «Петр ждал Ивана все обусловленное время и не дождался», С = «Ивану не пришлось ждать Петра», D = = «встреча состоялась после 11 ч 30 мин», Е = «Иван опоздал на встречу», F = = «встреча состоялась, когда до истечения часа оставалось меньше пяти минут».

Ответ:

3.7. Какова вероятность не целясь попасть бесконечномалой пулей в квадратную решетку, если толщина прутьев равна а, а расстояние между их средними линиями равно l?

Ответ: .

3.8. На окружности единичного радиуса наудачу ставятся три точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС остроугольный?

Ответ:

3.9. В круге радиуса проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более , если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?

Ответ:

3.10. В шар вписан правильный тетраэдр. Найти вероятность того, что случайно брошенная в шар точка окажется внутри тетраэдра.

Ответ:

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р(А + В) = Р(А) +Р(В).

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

.

Пример 4.1. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Преподаватель задает три вопроса. Зачет будет сдан, если студент ответит хотя бы на два из трех вопросов. Какова вероятность того, что этот студент сдаст зачет.

Решение. Пусть — событие, состоящее в том, что студент ответит на два из заданных трех вопросов, — он ответит на все три вопроса. Тогда, если А — студент сдаст зачет, то . События и несовместны. По классическому определению вероятности

По теореме сложения для несовместных событий

Ответ: Р = 0,907.

Пример 4.2. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу четыре учебника. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них в переплете.

Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что по крайней мере два из четырех взятых учебников будут в переплете. Это событие можно представить как сумму трех несовместных событий , где — два учебника в переплете, — три учебника, — четыре учебника в переплете. Найдем вероятности этих событий. Число всех возможных исходов этого опыта

Для события число благоприятных исходов 450,

для события , для . Следовательно,

, , .

По теореме сложения для несовместных событий

Ответ:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Р(А + В) = Р(А) +Р(В) – Р(АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий

Определение 1. Условной вероятностью события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В. (Условную вероятность будем рассматривать лишь для таких событий В, вероятность наступления которых отлична от нуля).

Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло обозначается символами или .

Определение 2. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В с , называется число , которое определяется формулой

.