2.Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей

Комбинаторика происходит от лат. соmbinatio — соединение.

Группы, составленные из каких-либо предметов (безразлично каких), называются соединениями(комбинациями).

Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами.

Соединение называется упорядоченным, если в нем указан порядок следования элементов.

Сформулируем основные правила комбинаторики.

1.Правило суммы.Если два действия взаимо исключают друг друга, причем одно из них можно выполнитьmспособами, а другое —nспособами, то выполнить одно любое из этих действий можноn + mспособами.

2.Правило умножения.Пусть требуется выполнить одно за другим какие-тоkдействия. Если первое действие можно выполнитьспособами, после этого второе действие можно осуществитьспособами и т.д. и, наконец, после осуществления-го действия,k-е можно выполнитьспособами, то всеkдействия вместе могут быть выполненыспособами.

Эти правила дают удобные универсальные методы решения многих комбинаторных задач.

Основные комбинаторные формулы

Размещения.Размещениями изnэлементов поmв каждом называются такие соединения, из которых каждое содержитmэлементов, взятых из числа данныхnэлементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.

Число размещений из nэлементов поmв каждом обозначается символоми вычисляется по формуле

, (1)

где (считается, что 0! = 1).

Пример 2.1.Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

Решение.В этом случае надо найти число размещений (без повторений) из 25 элементов по 4, так как здесь играет роль и то, кто будет выбран в руковод­ство общества, и то, какие посты займут выбранные.

Ответ: .

Размещения с повторениями.Каждое размещение с повторениями изnэлементов поmэлементов может состоять не только из различных элементов, но изmкаких угодно и как угодно повторяющихся элементов, взятых из данныхnэлементов.

Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.

Число размещений с повторениями из nэлементов поmэлементов обозначается символоми вычисляется по формуле

(2)

Пример 2.2.Для запирания сейфов и автоматических камер хранения применяют секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано некоторое «тайное слово». Пусть на диск нанесено 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?

Решение.Общее число возможных комбинаций можно найти по формуле (2)

.

Число неудачных попыток — 248 832 – 1 = 248 831.

Ответ:248 831.

Сочетания. Сочетаниями изnэлементов поmв каждом называются такие соединения, из которых каждое содержитmэлементов, взятых из числа данныхnэлементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из nэлементов поmв каждом обозначается символоми вычисляется по формуле

, (3)

где .

Пример 2.3.Покупая карточку лотереи «Спортлото», игрок должен зачеркнуть 6 из 49 возможных чисел от 1 до 49. Сколько возможных комбинаций можно составить из 49 по 6, если порядок чисел безразличен?

Решение.Число возможных комбинаций можно рассчитать по формуле (3)

.

Ответ:N = 13 983 816.

Сочетания с повторениями.Сочетание с повторениями изnэлементов поmэлементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 доmвключительно или не содержать его совсем, т.е. каждое сочетание изnэлементов поmэлементов может состоять не только изmразличных элементов, но изmкаких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Число сочетаний с повторениями из nэлементов поmобозначают символоми вычисляют по формуле

.

В сочетаниях с повторениями mможет быть и большеn.

Пример 2.4.В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение.Число различных покупок равно числу сочетаний с повторениями из 4 по 7:

.

Ответ: Из пирожных 4 сортов 7 пирожных можно выбрать 120 способами.

Перестановки. Перестановками изnэлементов называются такие соединения, из которых каждое содержит всеnэлементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Число перестановок из nэлементов обозначается символом, это то же самое, что число размещений изnэлементов поnв каждом, поэтому

.

Пример 2.5.Сколько существует способов составления списка 10 деловых звонков случайным образом?

Решение. Количество способов составления списка из 10 звонков будет равно числу перестановок из 10 элементов:

.

Ответ:Число способов составления списка из 10 звонков равно 3 628 800.

Перестановки с повторениями. Пусть имеютсяnэлементов, среди которыхэлементов одного типа,элементов другого типа,элементовl-го типа. Число перестановок из этихnэлементов равночислу перестановок с повторениями, обозначается и вычисляется по формуле

.

Пример 2.6.Десять приезжих мужчин размещаются в гостинице в двух трехместных и одном четырехместном номерах. Сколько существует способов их размещения?

Решение.

Ответ:Существует 4200 способов.