Предельные теоремы для схемы Бернулли

Теорема 1 (Пуассона).Предположим, что произведениеявляется постоянной величиной, когдаnнеограниченно возрастает. ОбозначимТогда для любого фиксированногои любого постоянного:

.

В случае, когда nвелико, армало (обычно;) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона

, где

Пример 6.4.Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Решение. Для определения вероятностиприменим приближенную формулу Пуассона

;

Значение функции Пуассона найдено по прил. 3 для и.

Ответ:

Теоремы Муавра-Лапласа

Теорема 2 (Муавра-Лапласа (локальная)).Если вероятность наступления событияАв каждом из nнезависимых испытаниях равнари отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятностьтого, что вnиспытаниях событиеАнаступитраз, приближенно равна (чем большеn, тем точнее) значению функции

,

где ,. Таблица значений функцииприведена в прил. 1.

Пример 6.5.Вероятность найти белый гриб среди прочих равна. Какова вероятность того, что среди 300 грибов белых будет 75?

Решение.По условию задачи,. Находим. По таблице находим.

.

Ответ:.

Теорема 3 (Муавра-Лапласа (интегральная)).Если вероятность наступления событияАв каждом изnнезависимых испытаний равнари отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что вnиспытаниях число успеховmнаходится междуи, приближенно равна (чем большеn, тем точнее)

,

где р— вероятность появления успеха в каждом испытании,,, значенияприведены в прил. 2.

Пример 6.6.В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью. Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет в пределах от 564 до 600.

Решение.По условиюПо интегральной теореме Лапласа

Ответ:

Пример 6.7.Город ежедневно посещает 1000 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно быть для этого в его ресторане?

Решение.ПустьА= «турист пообедал у заинтересованного владельца». Наступление событияАбудем считать «успехом»,,. Нас интересует такое наименьшее числоk, что вероятность наступления не менее чемk«успехов» в последовательности изнезависимых испытаний с вероятностью успехар= 0,5 приблизительно равна 1 – 0,99 = 0,01. Это как раз вероятность переполнения ресторана. Таким образом, нас интересует такое наименьшее числоk, что. Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа

Откуда следует, что

.

Используя таблицу для Ф(х) (прил. 2), находим , значит. Следовательно, в ресторане должно быть 537 мест.

Ответ:537 мест.

Из интегральной теоремы Лапласа можно получить формулу

.

Пример 6.8.Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

Решение.По условию

Требуется найти вероятность . Воспользуемся формулой

.

.

Ответ:Р= 0,9876.

Пример 6.9.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытанийn, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение.По условиюВоспользуемся формулой

.

Следовательно,

.

Ответ: .