10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины Хсоответствует одно возможное значение случайной величиныY, тоYназывается функцией случайного аргументаХи записывается.

Если Х— дискретная случайная величина и функциямонотонна, то различным значениямХсоответствуют различные значенияY, причем вероятности соответствующих значенийХиYодинаковы:

и.

Если же немотонная функция, то различным значениямХмогут соответствовать одинаковые значенияY. В этом случае для отыскания вероятностей возможных значенийYследует сложить вероятности тех возможных значенийХ, при которыхYпринимает одинаковые значения.

Пример 10.1.Дискретная случайная величинаХзадана законом распределения

Х	2	3	5	7
Р	0,3	0,2	0,1	0,4

Найти закон распределения случайной величины Y, равной 2Х.

Решение.Находим возможные значенияY:

;;;.

Так как функция монотонна, то вероятности, т.е.

;;

;.

Запишем искомый закон распределения Y

Y	4	6	10	14
Р	0,3	0,2	0,1	0,4

Пример 10.2.Дискретная случайная величинаХзадана законом распределения

Х	–3	–2	–1	0	1	2
Р	0,1	0,2	0,2	0,1	0,3	0,1

Найти закон распределения случайной величины .

Решение.Находим возможные значения случайной величины:

;;;;;. Значенияивстречаются только по одному разу, а значениясовпадают, поэтому вероятность того, что, будет равна сумме вероятностей 0,2 + 0,1 = 0,3. Аналогично,, поэтому.

Напишем искомый закон распределения Y, расположив значенияYв порядке возрастания

Y	0	1	4	9
Р	0,1	0,5	0,3	0,1

Если Х— непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения, и если— дифференцируемая строго монотонная функция, обратная функция которой, то плотность распределенияслучайной величиныYнаходят из равенства

.

Если функция в интервале возможных значенийХне монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функциямонотонна, и найти плотности распределениядля каждого интервала монотонности, а затем представитьв виде суммы

.

Пример 10.3.Задана плотность распределенияслучайной величиныХ, возможные значения которой заключены в интервале. Найти плотность распределения случайной величины.

Решение.Так как функциядифференцируемая и строго возрастает, то применима формула, где— функция, обратная функции.

Находим :. Тогда,. Искомая плотность распределения. Так какхизменяется в интервалеиу= 3х, то.

Ответ:,.

Пример 10.4.Случайная величинаХраспределена по закону Коши

.

Найти плотность распределения случайной величины .

Решение.Функциямонотонно возрастающая при всех. Находим обратную функцию:. Тогда

,,.

Следовательно,

Ответ:.

Пример 10.5.Задана плотностьнормально распределенной случайной величиныХ. Найти плотность распределенияслучайной величины.

Решение.Так как в интервалефункцияне монотонна, то разобъем этот интервал на интервалыи, в которых она монотонна. В интервалеобратная функция, в интервале,,,.

Искомую плотность распределения находим из равенства

,

.

Так как , причем, то. Таким образом, в интервалеискомая плотность распределения, вне этого интервала.

Ответ:при,при.