Случайные величины

7. Дискретная случайная величина

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначают случайные величины буквами Х,Y,Z, а их возможные значения —х,у,z.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным.

Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения — это соответствие между возможными значениями и их вероятностями:

Х			…
Р			…

,.

События образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице:

.

Ряд распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически в виде полигона или многоугольника распределения вероятностей. Для этого по горизонтальной оси в выбранном масштабе нужно отложить значения случайной величины, а по вертикальной — вероятности этих значений, тогда точки с координатами будут изображать полигон распределения вероятностей; соединив же эти точки отрезками прямой, получиммногоугольник распределения вероятностей.

Пример 7.1.ПустьХ— дискретная случайная величина, заданная рядом распределения

Х	–2	–1	0	2	4
Р	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.

Р

.

.

А₄

ешение.На осиХоткладываем значения, равные –2, –1, 0, 2, 4, а по вертикальной оси вероятности этих значений (рис. 7.1):

Р

.

.

.

А₀

–1

–2

–3

0

1

2

3

4

5

А₁

А₂

А₃

А₅

y

А₆

0,1

0,2

0,3

x

ис. 7.1

Точки изображают полигон распределения, а ломаная— многоугольник распределения вероятностей.

Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения. Функцией распределения случайной величины Хназывается функция, выражающая для каждогохвероятность того, что случайная величинаХпримет значение меньшеех:

Функцию иногда называют интегральной функцией распределения.

Если значения случайной величины — точки на числовой оси, то геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величинаХпопадает левее заданной точких (рис. 7.2):

Рис. 7.2

F(x) обладает свойствами:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

.

Утверждение следует из того, что функция распределения — это вероятность.

2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна 1, т.е.

;.

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.

.

Числовые характеристики случайной величины Математическое ожидание м(х) дискретной случайной величины

Пусть случайная величина Хможет принимать только значения, вероятности которых соответственно равны. Тогда математическое ожиданиеМ(Х) случайной величиныХопределяется равенством

.

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому значений случайной величины: .