Вища математика

5.ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

5.1.НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

5.1.1. ПЕРВІСНА ФУНКЦІЯ

Визначення

Функція F(х), диференційована на (a;b), похідна якої в кожній точці проміжку дорівнює заданій функції f(х), називається первісною функції f(х) у цьому проміжку, тобто

Приклад. Знати первісну F(х) функції f (х) = х3.

Розв'язання. Знаходимо F′(х) = х3, F(х) = х44. Однак первісною буде функція F(х) = х44 + С , де С = const, оскільки F′(х) =(х44 + С)′ = х3.

Виникає таке запитання: скільки первісних у даної функції f(х)? Виходячи з попереднього прикладу, можна сказати, що їх нескінченна множина і всі вони відрізняються одна від одної на сталу величину.

81

2. Інтеграл від похідної первісної функції дорівнює сумі самої

⌠

первісної функції і довільної сталої: F′(x)dx = F(х) + С.

⌡

3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

4. Інтеграл від суми скінченного числа функцій, що мають первісні, дорівнює сумі інтегралів від даних функцій. Для двох функцій:

5. Інтеграл від лінійної комбінації інтегрованих функцій дорівнює лінійній комбінації інтегралів:

Ця властивість випливає із властивостей 3 і 4.

5.1.3. ТАБЛИЦЯ ОСНОВНИХ ІНТЕГРАЛІВ

Наведемо формули для обчислення інтегралів, які безпосередньо випливають із таблиці похідних.

∫0 dx = С ∫dx = x +C

83

5.2.1. МЕТОД БЕЗПОСЕРЕДНЬОГО ІНТЕГРУВАННЯ

Цей метод ґрунтується на загальних властивостях невизначеного

інтеграла і таблиці основних інтегралів.

Наприклад,

5.2.2. МЕТОД ЗАМІНИ ЗМІННОЇ ПІД ЗНАКОМ ІНТЕГРАЛА

Суть цього методу полягає у введенні під знак інтеграла такої змінної, що після підстановки і заміни диференціала заданої змінної на диференціал нової змінної дістають табличний інтеграл.

Приклад

⌠

Обчислити інтеграл sin(7x + 5)dx

⌡

Розв'язання. Покладемо 7х + 5 = t, тоді

Наведемо загальні міркування щодо методу заміни змінних під знаком інтеграла. Нехай дана функція f(х) така, що у′ = f(х), а х = ϕ(t), де ϕ(t) — неперервна і диференційована на (a; b) функція. Тоді

85

5.2.4. ТИПИ ІНТЕГРАЛІВ ДЛЯ ІНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ

⌠

1. Pn(x)exdx, де Pn(x) — поліном степеня n.

⌡

Цей інтеграл можна зобразити через елементарні функції, якщо послідовно застосувати формулу інтегрування частинами, поклавши

Pn(x) = u; exdx = dv.

2. Аналогічно обчислюють інтеграли

при цьому через u позначають Pn(x), а через dv — решту виразу.

⌠

3. Pn(x)∙ln|x|∙dx. Цей інтеграл можна зобразити через елементарні

⌡

функції, якщо застосувати формулу інтегрування частинами, поклавши ln|x| = u, Pn(x)∙dx = dv.

⌠

4. Pn(x)∙arcsin x∙dx. arcsin x = u, dv = Pn(x)∙dx.

⌡

Аналогічно обчислюють інтеграли, в яких під знаком інтеграла

87

містяться функції arccos x, arctg x, arcctg x.

⌠

5. exsin x∙dx. В результаті дворазового застосування методу інтегру-

⌡

вання частинами дістаємо лінійне рівняння відносно заданого інтеграла. Розв'язуючи це рівняння, знаходимо вираз інтеграла в елементарних функціях.

5.3. ІНТЕГРАЛИ, ЩО МІСТЯТЬ У ЗНАМЕННИКУ КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН

ти цей інтеграл до табличного вигляду, треба зробити деякі пере-

творення виразу, що стоїть під знаком інтеграла:

Якщо позначити x + 2ba = t, |b2 4–a42ac| = k2, то інтеграл набирає

вигляду

88

5.4. ПЕРЕТВОРЕННЯ РАЦІОНАЛЬНОГО ДРОБУ

Визначення

Елементарним дробом називається дріб одного з виглядів:

A A Ax + B Ax + B

x + a , (x + a)m. , x2 + px + q , (x2 + px + q)m ,

де m ≥ 2, A, B, p, q — дійсні числа, D = p2 – 4q < 0.

Інтеграли від елементарних дробів можна знайти застосовуючи таблицю інтегралів та викладені методи інтегрування.

Визначення

Відношення двох поліномів

R(х) = Qm((x))

Pn x

називається неправильним дробом, якщо m ≥ n, і правильним дробом у протилежному випадку.

Якщо дріб неправильний, то його завжди можна подати у вигляді суми полінома і правильного дробу.

Теорема

Будь-який правильний дріб можна єдиним способом подати у вигляді суми скінченого числа елементарних дробів.

89

Таким чином, інтеграл від будь-якої раціональної функції

виражається через елементарні функції.

Приклади

90