Вища математика

величинами, що мають ту ж саму границю, рівну 1; таким чином, на

підставі теореми Гур’єва, lim sin x = 1.

x→0 x

Друга особлива границя

lim (1 + x)1/x = e = 2,718281828459… .

x→0

Без доведення.

3.2. НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЙ ТА ПОХІДНА

Розглянемо функцію y = f(x), задану на α;β.

Назвемо x = x1 – x2, де x1,x2α;β, приростом аргументу.

Приростом функції називається різниця y = y1 – y2 = f(x1) – f(x2).

51

Визначення

Функція y = f(x) називається неперервною у точці x = a, якщо: 1) функція y = f(x) визначена у точці x = a та її околі;

2) lim f(x) = f(a).

x→a

Маючи на увазі визначення границі функції, визначення неперервності можна записати таким чином:

ε > 0 δ(ε) > 0, x(a – δ;a + δ): f(x) – f(a) < ε.

Звідси можна вивести, що функція y = f(x) називається неперервною у точці a, якщо нескінченно малому приросту аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.

чином, функція y = sin x неперервна у будь-якій точці R. 52

Аналогічно, можна перевірити, що будь-яка елементарна функція неперервна у будь-якій точці, де вона визначена.

Визначення

Функція y = f(x) називається неперервною на проміжку, якщо вона неперервна у кожній точці цього проміжку.

3.2.1. ТОЧКУ РОЗРИВУ ФУНКЦІЙ

Визначення

Точка a називається точкою розриву функції, якщо вона визначена в околі точці a, проте умови неперервності в цій точці не виконуються.

Наведемо класифікацію точок розриву функцій.

1.Функція y = f(x) у точці a має усувний розрив, якщо f(a–0) = f(a+0), проте f(a) не дорівнює жодному з цих значень, або навіть не існує.

2.Функція y = f(x) у точці a має розрив першого роду, якщо існують скінчені односторонні границі f(a–0) і f(a+0), але f(a–0) ≠ f(a+0).

3.Функція y = f(x) у точці a має розрив другого роду, якщо хоча б одна одностороння границя не існує, або дорівнює нескінченності.

53

3.2.2. ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦІЙ

Теорема Вейєрштрасса

Функція y = f(x), яка є неперервною на відрізку, є обмеженою на цьому відрізку.

Теорема про знак функції

Якщо функція y = f(x) неперервна в точці x = a і f(a) ≠ 0, то в достатньо малому околі функція зберігає знак.

Теорема про корінь функції

Якщо функція y = f(x) неперервна на [a;b], f(a) < 0, f(b) > 0, тоc[a;b], f(c) = 0.

Теорема про проміжне значення

Якщо функція y = f(x) неперервна на [a;b], f(a) = A, f(b) = B, тоC[A;B], c[a;b], f(c) = C.

Доведення

Побудуємо функцію F(x) = f(x) – C. Для неї:

54

F(a) = f(a) – C = A – C < 0,

F(b) = f(b) – C = B – C > 0,

Функція F(x) неперервна на [a;b] як різниця двох неперервних функцій, отже, F(x) задовольняє умовам теореми про корінь. Тоді c[a;b] таке, що f(c) – C = 0. Теорему доведено.

3.2.3. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ

Розглянемо функцію y = f(x), визначену на α;β . Зафіксуємо точку x0 α;β і задамо приріст x.

Визначення

Похідною функції y = f(x) в точці x0 називається

З′ясуємо геометричний, механічний та економічний зміст похідної.

1) Візьмемо на графіку функції y = f(x) точку M0(x0,y0), у якій існує похідна f ′(x). На тому ж графіку візьмемо точку M1(x0+ x,y0+ y). Через точки M0 і M1 проведемо січну, і кут нахилу її до додатного

55

напряму осі абсцис позначимо α. Спрямуємо точку M1 до M0 (тобто x→0). Граничне положення січної при M1 → M0 позначимо через T і

назвемо дотичною до графіку у точці M0, а кут між T та додатним напрямом осі абсцис позначимо ϕ (дивись малюнок 7). Геометричний зміст похідної полягає у тому, що похідна y = f(x) у точці M0 є тангенс кута ϕ.

Мал. 7

2)Механічний зміст похідної полягає у тому, що похідна — це швидкість руху тіла в даний момент часу, якщо відомий закон руху тіла s = s(t): v(t) = s′(t).

3)Нехай функція u = u(t) виражає кількість зробленої продукції u за час t. Необхідно знайти продуктивність праці в момент t0.

За період часу від t0 до t0 + t кількість зробленої продукції

зміниться від значення u0 = u(t0) до значення u0 + u = u(t0 + t). Тоді

56

середня продуктивність праці за цей період часу zср = u/ t. Очевидно, що продуктивність праці в момент t0 можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t0 до t0 + t при t → 0, тобто

Таким чином, продуктивність праці є похідна обсягу зробленої продукції за часом.

Теорема

Якщо функція y = f(x) у точці M0 має похідну, то функція в цій точці неперервна.

де α → 0 при x → 0. Помножуючи обидві частини останньої рівності на x, отримуємо:

57

f(x0 + x) – f(x0) = (f ′(x) + α) x,

y = y′ x + α x.

Прямуючи тепер x → 0, маємо lim y = 0, тобто функція

x →0

y = f(x) у точці M0 неперервна. Теорему доведено.

3.2.4. ТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ ТА ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Приклад

Знайдемо похідну функції y = sin x у точці x0 за означенням:

(sin x)′ = cos x для будь-якого x R. Таким же чином можна знайти похідну будь-якої іншої елементарної функції. Результати зберемо у таблицю, що наведена далі. А зараз з’ясуємо деякі важливі властивості похідних.

Теорема

Якщо функції u(x) і v(x) мають похідні, то: (u ± v)′ = u′ ± v′. 58

Доведення теореми легко витікає з аналогічної властивості границі функції.

Теорема

Якщо функції u(x) і v(x) мають похідні, то: (u v)′ = u′v + u v′.

Доведення

y = u(x)v(x), y + y = u(x+ x)v(x+ x)

y = u(x+ x)v(x+ x) – u(x)v(x) =

= u(x+ x)v(x+ x) – u(x)v(x) + u(x+ x)v(x) – u(x+ x)v(x) =

= u(x+ x) [v(x+ x) –v(x)] + [u(x+ x) – u(x)]v(x).

Теорема

59