Вища математика
.pdfx – x1 |
= |
y – y1 |
(10) |
x2 – x1 |
y2 – y1 |
ПРИКЛАД
Підприємство мало доходи в 2010 році — 2 млн. грн., в 2011 р.
— 2,4 млн. грн. Припускаючи, що розвиток підприємства додержується лінійного закону, спрогнозувати його дохід у 2012 р.
2.2.2. КУТ МІЖ ДВОМА ПРЯМИМИ
Нехай прямі задано рівняннями:
A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0.
Тоді кут ϕ між ними можна знайти з формули
cos ϕ = |
|
A1A2 + B1 B2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
A |
+ B |
A |
+ B |
||||
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
Нехай тепер прямі задано рівняннями:
31
y = k1 x + b1, y = k2 x + b2.
Тоді кут ϕ між ними можна знаходиться з формули
tg ϕ = k2 – k1 . 1 + k1 k2
Запишемо умови паралельності та перпендикулярності двох прямих. Якщо прямі задано загальними рівняннями, то ці прямі паралельні при
A1 = B1,
A2 B2
і перпендикулярні при
A1 A2 + B1 B2 = 0.
Якщо ж прямі задано рівняннями з кутовими коефіцієнтами, то ці прямі паралельні при
k1 = k2,
і перпендикулярні при
k1 k2 = –1.
32
2.2.3. ВІДСТАНЬ ВІД ТОЧКИ ДО ПРЯМОЇ
Нехай пряму задано рівнянням
A x + B y + C = 0,
і маємо точку M(x0,y0). Тоді відстань від точки M до прямої дорівнює
d = |
|
A x0 |
+ By0 |
+ C |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A2 + B2 |
||||||
|
|
|
|
|
2.2.4. ТОЧКА ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПРЯМИХ
Точка M(x0,y0) перетину двох прямих має належати одночасно двом прямим, тобто:
A x |
|
+ B y |
|
+ C |
|
= 0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
= 0. |
|||||
A x |
0 |
+ B y |
0 |
+ C |
2 |
||
|
2 |
2 |
|
|
Ця система двох алгебраїчних рівнянь відносно x0,y0 розв’язується одним з відомих способів.
33
2.3. КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Визначення
Кривою другого порядку на площині x0y називається крива, задана рівнянням
a11 x2 + a22 y2 + 2a12 x y + a10 x + a20 y + a00 = 0,
де хоча б одне з чисел a11, a12, a22 відмінне від нуля.
Визначення
Еліпсом називається геометричне місто точок на площині, сума відстаней кожної з яких від двох заданих точок (фокусів, на мал.3 —
F1 та F2) є сталою величиною.
My
F1 |
|
F2 |
x |
Мал. 3
Позначимо 2a і 2b відповідно довжину частин осей абсцис та ординат, які знаходяться в еліпсі. Тоді a і b називаються відповідно
великою та малою напівосями еліпса.
Канонічне рівняння еліпса має вигляд:
34
2 |
2 |
x2 |
+ y2 = 1. |
a |
b |
Для характеристики еліпса вводять так званий ексцентриситет
ε, який характеризує степінь відхилення еліпса від кола, тобто степінь витягну тості еліпса:
2
ε = 1 – ba2 .
Для кола ε = 0, для еліпса 0 < ε < 1.
Визначення
Гіперболою називається геометричне місто точок на площині, модуль різниці відстаней кожної з яких до двох заданих точок (фокусів) є сталою величиною.
y
M
F1 |
|
F2 |
x |
|
|
|
|
Мал. 4
35
Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:
2 |
2 |
x2 |
– y2 = 1, |
a |
b |
де a і b — відповідно дійсна та уявна півосі гіперболи. На малюнку Рис. 4: a — довжина відрізку, що з’єднає початок координат з точкою перетину гіперболи і осі абсцис.
Ексцентриситетом гіперболи називається ε |
|
2 |
> 1 . |
= 1 + b2 |
|||
|
|
a |
|
Прямі y = ± aε x називаються асимптотами гіперболи.
Визначення
Параболою називається геометричне місто точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки F (фокуса) та фіксованої прямої d
(директриси), що не проходить через точку F.
y
y2 = 2px
B
M x
F
A
d
Мал. 5
36
Позначимо відстань між фокусом і директрисою через p. Тоді канонічне рівняння параболи має вигляд:
y2 = 2px.
2.4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
2.4.1. ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ
Розглянемо спочатку загальне рівняння площини у просторі:
A x + B y + C z + D = 0,
де A, B, C, D — довільні числа, причому хоча б одне з перших трьох відмінне від нуля.
Сформулюємо умови паралельності та перпендикулярності двох площин.
Дві площини:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 і A2x + B2y + C2z + D2 = 0
перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли
37
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0.
Дві площини:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 і A2x + B2y + C2z + D2 = 0
паралельні тоді й тільки тоді, коли
A1 = B1 = C1,
A2 B2 C2
тобто у паралельних площин коефіцієнти при відповідних координатах пропорційні.
2.4.2. ПРЯМА У ПРОСТОРІ
Розглянемо дві непаралельні площини у просторі. Вони перетинаються по прямій лінії. Отже, загальне рівняння прямої у тривимірному просторі має вигляд:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
.
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Нехай тепер відомо, що пряма проходить через точку M0(x0,y0,z0) паралельно напрямному вектору s(m,n,p). Складемо рівняння прямої у цьому випадку. Візьмемо на прямій довільну точку M(x,y,z). Вектори s(m,n,p) і M0M = (x – x0, y – y0, z – z0) паралельні, тому:
38
x –mx0 = y –ny0 = z –pz0 .
Це рівняння називається канонічним рівнянням прямої у тривимір-
ному просторі.
39
3. МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Введемо поняття квантора. У математичному аналізі у твердженнях застосовуються два квантори: — „для всіх”, „для кожного”, — „існує”, „знайдеться хоча б одне”. Тепер, наприклад твердження „для кожного значення a < 0 знайдеться хоча б одне b > 0” можна записати таким чином: „a < 0 b > 0”.
3.1. ГРАНИЦІ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА ФУНКЦІЇ
3.1.1. ГРАНИЦІ ПОСЛІДОВНОСТІ
Визначення
Якщо кожному натуральному числу за певним законом поставлена у відповідність деяка величина, то говорять, що множина останніх утворює послідовність і пишуть {xn} = x1,x2,…,xn,… Величини x1,x2,…,xn,… називають членами послідовності, а xn — загальним членом.
Приклади |
|
|
|
|
Послідовності: 1) {xn}= |
1, |
2) {xn}= |
(–1)n |
, 3) xn+1=xn+d, 4) xn+1=xn q. |
|
||||
|
n |
|
n |
|
40 |
|
|
|
|