Вища математика

і перпендикулярності: A1A2 + B1B2 = 0, або k1k2 = –1.

Відстань від точки до прямої

Якщо пряма задана рівнянням A x + B y + C = 0, і дано точку

M(x0,y0), то відстань від точки M до прямої d = A x0 +2By0 2+ C .

A + B

Завдання 1. Задані вершини трикутника: А(−2;−1),В(−2;4),С(2;4) . Знайти кути трикутника і відстані від його вершин до протилежних сторін.

Домашнє завдання

Завдання 1. Задані вершини трикутника: А(5;−10),В(−2;−7),С(1;1). Знайти кути трикутника і відстані від його вершин до протилежних сторін.

Завдання 2. Задані дві прямі: A x – B y + 3 = 0 і 2x + 5y – 1 = 0. При яких значеннях A і B ці прямі а) паралельні,

б) перпендикулярні?

131

ЛІНІЇ 2-ГО ПОРЯДКУ

x2 y2

Канонічне рівняння еліпса має вигляд: a2 + b2 = 1.

b2

ε = 1 – a2 . Для кола ε = 0, для еліпса 0 < ε < 1.

x2 y2

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд: a2 – b2 = 1,

відстань між фокусом і директрисою.

Завдання 1. Скласти рівняння еліпса, якщо:

1)він має півосі 4 і 2.

2)відстань між фокусами = 6 і більша півось = 5.

3)більша півось = 10, а ексцентриситет = 0,8.

4)мала півось = 3, а ексцентриситет = 2/2.

5)сума півосей = 8, і відстань між фокусами = 8.

Завдання 2. Скласти рівняння гіперболи, якщо:

1)відстань між вершинами = 8, а відстань між фокусами = 10.

2)дійсна півось = 5 і вершини поділяють відстань від центру до фокусів пополам.

3)дійсна півось = 6 і гіпербола проходить через точку (9;-4).

4)гіпербола проходить через точки (–5;2) і (2 5;2).

132

Завдання 3. Скласти рівняння параболи, якщо:

1)відстань від фокуса до вершини = 3.

2)фокус має координати (5;0), а ось ординат є директрисою.

3)парабола симетрична відносно осі x, проходить через початок координат і через точку (1;–4).

4)парабола симетрична відносно осі y, проходить через початок координат і через точку (6;–2).

ГРАНИЦІ

Завдання

133

10. Знайти границю lim(cos x)1x

x→0

ДОСЛІДИТИ ФУНКЦІЮ НА НЕПЕРЕРВНІСТЬ

1.f(x) = xsin1x;

2.f(x) = sin1x;

x3–1 3. f(x) = x2–1;

4. f(x) = arctg1x;

x2

5. f(x) = ln(x+1) (x–3);

1− e1−x

x2–3x+2 7. f(x) = x2–5x+6;

135

ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ

Завдання. Знайти границю за правилом Лопіталя:

Домашнє завдання

ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ

1.Число 24 представте у вигляді суми двох невід’ємних доданків так, щоб сума квадратів цих чисел була найменшою.

2.Число 4 представте у вигляді суми двох невід’ємних доданків так, щоб твір цих чисел був найбільшим.

3.Шматок дроту завдовжки 48 м згинають так, щоб утворився прямокутник. Яку довжину повинні мати сторони прямокутника, аби його площа була найбільшою?

4.Число 54 представте у вигляді суми трьох додатних доданків, два з яких пропорційні числам 1 і 2, так, щоб добуток всіх доданків був найбільшим.

5.Число 16 представте у вигляді добутку двох додатних чисел, сума квадратів яких буде найменшою.

137

6.Площа прямокутника 64 см2. Яку довжину повинні мати його сторони, аби периметр був найменшим?

7.Відкритий бак, що має форму прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою, повинен вміщати 13,5 л рідини. При яких розмірах бака на його виготовлення буде потрібно найменшу кількість металу?

8.У рівнобедрений трикутник з основою 60 см і бічною стороною 50 см вписаний прямокутник найбільшої площі. Дві вершини прямокутника лежать на основі трикутника, а дві інші — на бічних сторонах. Знайдіть довжини сторін прямокутника.

9.З круглої колоди вирізують балку з прямокутним перерізом найбільшої площі. Знайдіть розміри перерізу балки, якщо радіус перерізу колоди рівний 20 см.

10.Бурова вежа розташована в полі в 9 км від найближчої точки шосе. З буровою треба направити кур'єра в населений пункт, розташований по шосе в 15 км від згаданої точки (вважаємо шосе прямолінійним). Швидкість кур'єра на велосипеді по полю 8 км/ч, а по шосе 10 км/ч. До якої точки шосе йому треба їхати, аби в найкоротший час досягти населеного пункту?

11.Човен знаходиться на озері на відстані 3 км від найближчої точки А берега. Пасажир човна бажає досягти села, що знаходиться на березі на відстані 5 км від А (ділянку АВ берега вважаємо прямолінійною). Човен рухається із швидкістю 4 км/ч, а пасажир, вийшовши з човна, може в годину пройти 5 км. До якого пункту берега повинен пристати човен, аби пасажир досяг села в найкоротший час?

12.Знайдіть число, сума якого зі своїм квадратом набуває найменшого значення.

13.Доведіть, що зі всіх прямокутних трикутників із заданою гіпотенузою найбільшу площу має рівнобедрений трикутник.

14.Зі всіх прямокутників, вписаних в коло, знайдіть прямокутник найбільшої площі.

138

15. Покажіть, що зі всіх рівнобедрених трикутників, вписаних в даний круг, найбільшу площу має рівносторонній трикутник.

ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Завдання. Дослідити на екстремум функцію Z = f (x, y) .

139

ІНТЕГРУВАННЯ ЗАМІНОЮ

ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

х3 +1

1.∫ х2 + 2х − 3 dx;

х3 − 2

2.∫ х2 + х − 2 dx;

х3 +1

3.∫ х2 + 2х − 8 dx;

∫х3 + 3

4.х2 − х − 6 dx;

х3 + 2

5.∫ х2 − х − 2 dx;

х3 + 3

6.∫ х2 + х − 6 dx;

х3 − 3

7.∫ х2 + 3х + 2 dx;

140