4. Статистичні методи вивчення взаємозвязків явищ

4. 1 Виявлення взаємозв’язків явищ методом аналітичних групувань та за допомогою кореляційно-регресійного аналізу

Задача 4.18. Дані аналітичного групування банків за відсотковою ставкою наведено в таблиці4.1.

Таблиця 4.1 – Вхідні дані

№ з/п	Групи банків за відсотковою ставкою, %	Кількість банків	Відсоткова ставка, %			Обсяг наданих кредитів, млн. грн.
			всього	середня на один банк	всього		середній на один банк
І	11-14	4	50,7	12,7	103,50		25,88
ІІ	14-17	7	108,8	15,5	134,75		19,25
ІІІ	17-20	10	179,7	18,0	127,32		12,73
ІV	20-23	6	126,8	21,1	42,75		17,13
V	23-26	3	73,6	24,5	6,75		2,25
Разом:		30	539,6	18,0	415,07		13,84

Визначити:

• між групову та загальну дисперсії;

• кореляційне відношення;

Зробити висновки щодо щільності зв’язку між відсотковою ставкою та обсягом наданих кредитів й перевірити його на істотність за допомогою F- критерію Фішера та t- критерію Стьюдента з ймовірністю 0,95.

Розв’язання:

Вивчаючи закономірності зв’язку, причини та умови об’єднують в одне поняття «фактор». Відповідно, ознаки явищ, що характеризують причини та умови, називаються факторними і позначаються зазвичай як х, а ті що характеризують наслідки, ‑ результативними і позначаються, як у.

У даній задачі за факторну ознаку приймається відсоткова ставка, а за результативну – надані кредити.

Стохастичний зв'язок, відображуючи множинність причин і наслідків, виявляється в зміні умовних розподілів. Якщо умовні розподіли замінюються одним параметром – середньою ‑ такий зв'язок називається кореляційним.

Перейдемо до розрахунку дисперсій. Для того, щоб розрахувати загальну і середню з групових дисперсій використаємо спрощені формули розрахунку дисперсій. У наступній таблиці представимо проміжні розрахунки.

Таблиця 4.2 – Проміжні розрахунки

№ з/п	Кількість банків	Обсяг наданих кредитів, млн. грн.		y-ȳ	(y-ȳ)2	(y-ȳ)2*f	(ȳi-ȳ)2	(ȳi-ȳ)2*f
		всього	середній на один банк
І	4	103,5	25,88	77,62	6024,86	24099,457	144,961	579,844
ІІ	7	134,75	19,25	115,5	13340,2	93381,75	29,2681	204,876
ІІІ	10	127,32	12,73	114,59	13130,8	131308,68	1,2321	12,321
ІV	6	42,75	17,13	25,62	656,384	3938,3064	10,8241	64,9446
V	3	6,75	2,25	4,5	20,25	60,75	134,328	402,984
Разом:	30	415,07	13,84	337,83	33172,6	252788,94	320,614	1264,97

Дисперсія являє собою середню арифметичну з суми квадратів відхилень окремих значень ознаки від їх середньої. Дисперсія ознаки дорівнює різниці між середнім квадратом значень ознаки і квадратом середньої. Недоліком цього показника полягає в тому, що він має одиниці вимірювання, які позбавлені економічного змісту, тому дисперсія звичайно записується без одиниць вимірювання.

Розрахуємо міжгрупову і загальну дисперсії.

Визначимо міжгрупову дисперсію:

(4.1)

Визначимо загальну дисперсію:

(4.2)

На основі розрахованих показників визначимо тепер кореляційне відношення.

Кореляційне відношення показує, яка частка загальної варіації результативної ознаки зумовлена фактором, покладеним в основу побудови аналітичного групування, та визначається як відношення між групової (факторної) дисперсії до загальної дисперсії результативної ознаки:

(4.3)

Де ‑ між групова (факторна) дисперсія;

‑загальна дисперсія.

Якщо , то між групова дисперсія (чисельник) також дорівнює нулю (). Це можливо за умови, що всі групові середні однакові й кореляційного зв'язку між досліджуваними ознаками немає.

Якщо , між групова дисперсія дорівнює загальній (=), а середня з групових=0. Це означає, що кожному значенню факторної ознаки відповідає єдине значення результативної, тобто зв'язок між ознаками функціональний. Окрім того, чим ближче кореляційне відношення до одиниці, тим кореляційний зв'язок ближчий до функціональної залежності між ознаками.

Коефіцієнт кореляції рівний

Перевіримо дане кореляційне відношення на істотність.

Перевірка істотності зв’язку являє собою доведення невипадковості відхилень групових середніх і здійснюється за допомогою критеріїв, розроблених математичною статистикою. Він ґрунтується на порівнянні фактичного значення кореляційного відношення з так званим критичним(‑істотності). Критичне значенняє тим максимально можливим значенням кореляційного відношення, яке може виникнути випадково за відсутності кореляційного зв’язку.

Критичні значення коефіцієнта детермінації для рівня істотностіі відповідного числа ступенів свободи для факторної дисперсіїі залишковоїнаведено в спеціальних таблицях.

Ступені свободи залежать від обсягу сукупності n та числа груп m, тобто:

(4.4)

_(4.5)

Застосуємо критерій Фішера:

(4.6)

Р. Фішер знайшов розподіл співвідношень дисперсій і розробив відповідні математичні таблиці для визначення критичних (теоретичних) значень , при двох ймовірностях 0,95 і 0,99.

У нашому випадку , а. За таблицею при ймовірності 0,95.

Отже, ‑ різниця між дисперсіями зумовлена впливом випадкових факторів.

Оцінку надійності кореляційного відношення здійснюють за допомогою критерія Стьюдента (t -критерію).

Якщо критерій Стьюдента , показник кореляційного відношення вважають вірогідним, а зв'язок між досліджуваними явищами є доведеним.

Якщо ж критерій , то висновки про вірогідність зв'язку між досліджуваними явищами робити не можна.

Визначимо тепер критерій Стьюдента:

(4.7)

Тепер, маючи основні показники, можна зробити певні висновки:

Варіація результативної ознаки на 0,5 % пояснюється варіацією факторної. Між факторною і результативною ознакою спостерігається зв’язок.

Фактичне значення критерію Фішера значно менше за критичне, тому вплив факторної ознаки, активів банку, на результативну, балансовий капітал, є практично відсутнім.

Відповідно значення критерію Стьюдента менше за 3, що також підтверджує, що зв’язок між ознаками не доведений.