Тема 6 середні величини та їх використання в правовій статистиці

І. В результаті вивчення цієї теми студенти повинні зрозуміти суть і значення середніх величин, з якою метою вони використовуються в правовій статистиці. Для свого розрахунку середня величина вимагає двох конкретних параметрів: загального обсягу ознаки по сукупності та чисельності сукупності.

Розрахунок середньої зводиться до відповіді на наступне питання: якщо загальний обсяг ознаки порівну (рівномірно) розподілити по всіх елементах сукупності, то яка величина ознаки припаде на кожний елемент?

Всі середні величини розподіляються на два класи: структурні середні (мода і медіана) та ступеневі (арифметична, геометрична, квадратична, гармонійна, кубічна та ін.) середні. Ступеневі середні залежно від наявної вихідної інформації можуть бути простими та зваженими.

Вид ступеневої середньої обирається залежно від мети дослідження.

Студенти повинні вміти обчислювати середню арифметичну просту та зважену, знати властивості середньої арифметичної.

Розглянемо розрахунок середньої арифметичної на прикладі.

ПРИКЛАДІ 1. Річне навантаження 8 суддів міського суду, що спеціалізуються на розгляді цивільних справ, становило: 20, 40, 55, 70, 40, 20, 70, 40. Необхідно обчислити середнє річне навантаження на одного суддю. Застосовуємо

.

Розрахунок проведений за середньою арифметичною простою. Вона застосовується, коли дані не згруповані або частоти однакові.

Якщо б ці дані були представлені у такому вигляді:

Таблиця 1

Кількість цивільних справ, х	Кількість суддів, f
20	2
40	3
55	1
70	2

то для розрахунку слід було скористатися формулою середньої зваженої:

,

де f₁, f₂, … f_n – повторення (частота, вага) кожного варіанта; х₁, х₂, … х_n – значення ознаки одиниць сукупності; ∑ – знак суми.

Так, для нашого прикладу:

Ускладнюється розрахунок середньої арифметичної, якщо дані для розрахунку представлені у вигляді інтервального варіаційного ряду. Для цього інтервальний ряд потрібно перетворити у дискретний, тобто визначити середину інтервалу як напівсуму мінімального та максимального значення ознаки у кожній групі. І до формули як Х_і підставляється значення середини кожного інтервалу.

ІІ. Студенти повинні розуміти суть моди та медіани та вміти їх знаходити чи розраховувати.

Модою у правовій статистиці називають значення ознаки (варіанта), яка часто зустрічається в досліджуваній сукупності (Мо). У дискретному ряду розподілу модою буде варіанта, що має найбільшу частоту. Медіаною у правовій статистиці називається варіанта, що розташована в середині рангованого ряду і поділяє його навпіл (Me).

Якщо ми звернемося до таблиці 1, то модою даного варіаційного ряду буде 40 справ, тому що найбільша кількість (троє) суддів працюють з такою кількістю цивільних справ.

Якщо ж дані представлені у вигляді інтервального варіаційного ряду, то визначити найбільшу варіанту ми зможемо лише для якогось певного інтервалу, а конкретне значення моди в інтервальному ряду розподілу обчислюється за формулою:

де х_о – мінімальна межа модального інтервалу; і – розмір модального інтервалу; f_мо – частота модального інтервалу; f_Мо-1 – частота інтервалу, що передує модальному; f_Mo+1 – частота інтервалу, що стоїть за модальним.

ПРИКЛАД 2. Якщо у нас є дані, що строки позбавлення волі:

до 3 років – 10 засуджених;

від 3 до 5 років – 15 засуджених;

від 5 років до 10 – 7 засуджених;

більше 10 років – 2 засуджених

Обчислимо модальне число строків позбавлення волі. Спочатку визначимо модальний інтервал. Модальним буде інтервал 3-5 років, тому що він має найбільшу частоту f_Мо = 15.

Підставимо значення у формулу:

Отже, найпоширеніший строк позбавлення волі – 4 роки.

Щоб визначити медіану в дискретному ряду з непарною кількістю членів ряду, потрібно суму частот ділити на 2 і додати 0,5. Так визначають номер, під яким стоїть медіана в рангованому ряду (тобто в ряду, в якому варіанти розташовані від найменшої до найбільшої по порядку).

Якщо ж в ряду парна кількість членів, то в цьому випадку медіаною буде середня із двох центральних варіант, порядкові номера яких n:2 та n:2+1.

В інтервальному ряду медіана обчислюється за формулою

де x₀ – мінімальна межа медіанного інтервалу; f – величина медіанного Інтервалу; S_Me-1 , – сума накопичених частот, що передує медіанному інтервалу f_Me – частота медіанного інтервалу.

Спочатку визначаємо медіанний інтервал. Для цього суму частот ділимо навпіл i додаємо 0,5. Так знаходимо номер, під яким повинна міститися медіана. Щоб знайти інтервал, який стоїть під цим номером, робимо накопичення частот до потрібного номера (тобто складаємо частоти кожного інтервалу, поки сума частот не буде дорівнювати або бути більшою за n:2+0,5, значить в останньому інтервалі, частоту якого накопичували і знаходиться медіана ряду).

ІІІ. Статистичні сукупності можуть мати однакові значення середньої, але значно відрізнятися коливаннями індивідуальних даних. За характером і ступенем відхилення (варіації) ознаки можна зробити висновок щодо якісної однорідності статистичної сукупності та надійності самої середньої.

Вивчення варіації ознаки необхідно для наукової організації вибіркового спостереження, дисперсійного і кореляційного аналізу.

Для вивчення варіації ознаки використовують такі показники:

1) Розмах варіації – це різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки: R = Х_max –Х_min.

2) Середнє лінійне відхилення являє собою середню арифметичну з абсолютних значень (модулів) відхилень окремих значень варіаційної ознаки від його середнього значення.

для незгрупованих даних середнє лінійне відхилення обчислюється за формулою:

для згрупованих даних, коли частоти різні, за формулою:

3) Дисперсія – це середня величина із квадратів відхилень варіант, від середньої величини (δ²), а корінь квадратний із дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням (δ).

для незгрупованих даних:

для згрупованих даних, коли частоти різні:

4) коефіцієнт варіації – це відношення середнього квадратичного відхилення до середньої величини, виражений у відсотках:

Запитання для самоконтролю:

Оберіть правильний варіант відповіді:

1. Умови застосування середніх величин:

а) характеристика усіх властивостей сукупності;

б) обмежена кількість одиниць сукупності;

в) розходження в типах і формах суспільних явищ;

г) визначена однорідність сукупності за досліджуваною ознакою.

2. Огульною, або фіктивною середньою є величина, обчис­лена:

а) з арифметичною помилкою;

б) за правильно обраною формулою;

в) для якісно неоднорідної сукупності;

г) для якісно однорідної сукупності.

3. Умови застосування середньої арифметичної:

а) дані про варіанти і добуток варіант частоти;

б) дані про коефіцієнти зростання;

в) варіанти і частоти;

г) значення ознаки та їхня повторюваність.

4. Якщо частоти всіх значень ознаки зменшити у 3 рази, а кожне значення ознаки збільшити в 3 рази, то середня:

а) не зміниться;

б) збільшиться у 3 рази;

в) зменшиться у 3 рази;

г) змін передбачити не можна.

5. Є такі дані про річне навантаження слідчих про­куратури: 148, 152, 155, 160, 172 справ. Для визначення серед­нього навантаження в даному випадку слід використати формулу:

а) арифметичної простої;

б) арифметичної зваженої;

в) гармонійної простої;

г) гармонійної зваженої.

6. Величина середньої арифметичної залежить від:

а) розміру частот;

б) співвідношення між частотами;

в) розміру варіант.

7. Точність середньої арифметичної, обчисленої в інтервальному ряду розподілу, залежить від:

а) розміру варіант;

б) розподілу індивідуальних значень ознаки всередині кожного ін­тервалу.

8. Середня арифметична, обчислена за незгрупованими да­ними, порівняно із середньою, обчисленою за цими самими даними, поданими у дискретному ряду розподілу, буде:

а) більшою;

б) меншою;

в) дорівнювати їй;

г) передбачити не можна.

Література: 7, С. 120-134; 8, С. 91-101, 135-141; 9, С. 247-275.