1. Визначення ф-ції двох незалежних змінних. Геометричне зображення ф-ції двох змінних.

Змінна величина z наз ф-цією двох змінних x і y якщо для любої пари x,y із області Д по певному правилу чи закону відповідають цілком певні значення.

Границя функції двох змінних

Сукупність всіх точок площини, які знаходяться від точки М0 на відстані, менше ніж δ (дельта), тобто всередині кола з центром в точці х0 і радіусом δ називають δ-околом точки х0.

Число А називають границею функції f(x,y) при х→х0, у→у0, якщо для будь-якого додатного числа ε існує таке число δ, δ>0, що для всіх х та у, відмінних від точки х0, у0 і задовольняючих умові буде виконуватись нерівність |f(x,y) - A|<ε.

Неперервність функції двох змінних

Функція z=f(x,y) називається неперервною в точці х0, у0, якщо вона визначена в цій точці і незалежно від способу прямування точки (х, у) до точки (х0;у0).

Функція, яка неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області.

Частинні прирости та частинні похідні ф-ції декількох незалежних змінних.

Нехай дано ф-цію z=f(x,y) зафіксуємо одну із змінних , тобто будемо вважати, що y=const. тоді величина Δz=f(x+Δx,y)-f(x,y) наз. частинним приростом ф-ції z по аргументу x. Аналогічно, якщо x=const.

Δz=f(x,y+Δy)-f(x,y)- частинний приріст ф-ції z по аргументу y.

Аналогічно частинну похідну ф-ції z що дор. z=f(x,y) по аргументу наз. скінченна границя відношення частинного приросту ф-ції по аргументу y до приросту аргументу y ,при умові що Δy. dz/dy=limΔz/Δy dz/dy=z Δy

Дамо геометричне тлумачення ф-ції двох змінних:

Розглянемо ф-цію z=f(x,y) і прямок. сист. координат в просторі (Графік):

P(x,y) Є XOY

M(x,y,z)

кожна пара x,y геометрично визначає точка P(x,y) на площині XOY ,а значення ф-ції в цій точці є апліката z ,точки M(x,y,z) ,що знаходяться в просторі.

Тоді геометричне місце точки М, це є деяка поверхня, яка взаємнооднозначно проектується в область Д ,що належить площині XOY.

Ця поверхня і є геометричне зображення ф-ції двох змінних.

Ф-цію трьох і більше змінних зобразити графічно не можливо.

2.Повний приріст. Повний диференціал ф-ції 2-х незалежних змінних;його застосування в наближених обчисленнях.

Нехай дано ф-цію двох змінних z=f(x,y) повним приростом ф-ції наз різниця Δz=f(x+ Δx,y+Δy)-f(x,y) (1) виразимо новий приріст ф-ції Δz через частинні похідні. Для цього в рівність (1) додамо і віднімемо величину +- f(x,y+Δy) одержимо

Δz=f(x+ Δx,y+Δy)-f(x,y)+ f(x,y+Δy) - f(x,y+Δy)= f(x+ Δx,y+Δy) - f(x,y+Δy)+ f(x,y+Δy)-f(x,y)=f(b)-f(a)=f(c)(b-a), a<c<b

Застосовуючи теорему Лагранжа до кожного виразу маємо

f(x+ Δx,y+Δy) - f(x,y+Δy)=df(x, y+Δy)/dx* Δx де x< x< x+ Δx

f(x,y+Δy)-f(x,y)=df(x,y)/dy* Δy де y< y< y+Δy df(x, y+Δy)/dx* Δx+df(x, y)/dy* Δy

так як за припущенням частинні похідні неперервні,то

lim df(x,y)/dy= df(x,y)/dy

Δx

Δy

lim df(x, y+Δy)/dx= df(x,y)/dx

Δx

Δy

df(x, y)/dy= df(x, y)/dy+j j-нескінченно мала ф-ція

df(x, y+Δy)/dx= df(x,y)/dx+j j-нескінченно мала ф-ція

Δz* df(x,y)/dx* Δx+ df(x, y)/dy* Δy+ j Δx+ j Δy

Головна частина приросту ф-ції лінійна відносно Δy і Δx,наз диференціалом ф-ції двох змінних і позначається dz

Δz= dz- ця формула застосовується в наближених обчисленнях

f(x+ Δx,y+Δy) - f(x,y)= df(x,y)/dx* Δx+ df(x, y)/dy* Δy

f(x+ Δx,y+Δy)=f(x,y)+df(x,y)/dx* Δx+ df(x, y)/dy* Δy

Δx=x-x Δy=y-y

x=yx Δx+xlnx Δy+z(x,y)-ф-ла для наближених обчислень.