- •1. Визначення ф-ції двох незалежних змінних. Геометричне зображення ф-ції двох змінних.
- •2.Повний приріст. Повний диференціал ф-ції 2-х незалежних змінних;його застосування в наближених обчисленнях.
- •3.Частинні похідні вищих порядків.
- •4.Екстремум ф-ї 2х змінних. Необхідна і достатня умови екстремуму.
- •5.Умовний екстремум ф-ї 2х змінних. Метод множників Лагранжа.
- •6. Найбільше і найменше значення функції 2-ох змінних у замкнутій області
- •7.Похідні за напрямками. Градієнт ф-ї декількох змінних.
- •8. Метод найменших квадратів
- •9.Поняття про подвійні інтеграли та методи їх обчислення.
- •10. Диференціальні рівняння. Основні поняття і означення. Задача Коші.
- •13.Лінійні однорідні диф. Р-ня 2-го пор. Зі сталими коефіцієнтами
- •18.Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку. Метод варіації довільних сталих.
- •15. Системи диференціальних рівнянь 1-го порядку. Метод виключення змінних.
- •17. Ряди з додатними членами. Достатні умови збіжності рядів: ознаки порівняння збіжності ряду. Приклади
- •29. Степеневі ряди. Інтервал збіжності.
- •20.Ряд Тейлора і Маклорена.
- •21.Предмет теорії ймовірностей. Поняття «випробування» та «подія». Класифікація подій.
- •22. Елементи комбінаторики. Перестановки. Перестановки, розміщення,
- •23.Класичне означення ймовірності. Властивості ймовірностей
- •24.Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.
- •25.Залежні і незалежні події. Умовна ймовірність. Теореми множення для залежних і незалежних подій.
- •26.Формула повної ймовірності.
- •27.Формула Бернуллі.
- •28. Граничні випадки формули Бернуллі: локальна теорема Муавра-Лапласа.
- •29.Формула Пуассона .
- •30.Формула обчислення ймовірності відхилення відносної частоти від заданої ймовірності в незалежних випробуваннях.
- •31.Поняття випадкової величини. Класифікація випадкових величин. Функція розподілу ймовірностей випадкових величин, її властивості.
- •Класифікація випадкових величин
- •32. Дискретні випадкові величини. Закони розподілу дискретних випадкових величин.
- •33.Числові характеристики дискретної випадкової величини m(X),d(X), ∂(X) та їх властивості .
- •34. Приклади законів розподілу дискретних випадкових величин: біноміальний розподіл, розподіл Пуассона, геометричний розподіл
- •35. Неперервні випадкові величини. Інтегральна та диференціальна функції розподілу неперервної випадкової величини.
- •36. Числові характеристики неперервної випадкової величини
- •37. Приклади законів розподілу неперервних випадкових величин: рівномірний, показниковий,нормальний розподіл.
- •38. Двовимірні випадкові величини. Функції розподілу. Залежні і незалежні випадкові величини. Умовні закони розподілу.
- •39. Числові характеристики двовимірних випадкових величин. Коефіцієнт кореляції.
- •8.8 Лекция
17. Ряди з додатними членами. Достатні умови збіжності рядів: ознаки порівняння збіжності ряду. Приклади
Теорема. Якщо дано 2 ряди n=1 a n і n=1 b n з додатніми членами і існує скінчена границя limn an / b n= к>0, то обидва ряди одночасно є збіжними або розбіжними
Питання про збіжність ряду
Pk (n) / Q L (n) де Pk (n) і Q L (n) многочлени степеня k і l відповідно. Можна вирішити порівнянням його з рядом n=1 1 / n де = L - k
Ознака Даламбера збіжності ряду.
Якщо в ряді з додатніми членами a1+a2+a3+…+an+…(1) відношення (n+1)-го члена до n–го при n→∞ має скінченну границю ℓ, тобто lim=ℓ(2), то якщо:
ℓ<1 ряд збігається
ℓ>1 ряд розбігається
ℓ=1 відповіді на питання про збіжність ряду теорема не дає
Радикальна ознака Коші.Приклади.
Теорема: Якщо для ряду з додатними членами величина має скінченну границю при n→∞, тобтоlimn→∞=ℓ, то якщо ℓ<1 ряд збігається, якщо ℓ>1 ряд розбігається і якщо ℓ=1, то питання про збіжність ряду залишається відкритим. Доведення. Нехай ℓ<1, покажемо що ряд є розбіжним. Розглянемо число q, таке що ℓ< q <1. Тоді матиме місце нерівність, яка справедлива для деякого номера починаючи з n=N, тобто: абоan<qn для деякого n≥N. Запишемо два ряди:
a1+a2+a3+…+aN+N+1aN+3+…(1) та q+q2+q3+…+qN+qN+1+…(1’). Ряд (1’) є збіжним, так як члени ряду є складною геометричною прогресією, а члени ряду (1), починаючи з aN менше членів ряду (1’). Отже, ряд (1) збігається(за ознакою порівняння). Нехай ℓ>1, покажемо, що даний ряд є розбіжним. Дійсно починаючи з деякого номера n=N, будемо мати , тобто limn→∞an≠0. Необхідна умова збіжності ряду не виконується, отже ряд є розбіжний.
Інтегральна ознака Коши.
Нехай члени ряду a1+a2+a3+…+an+…(1)додатні і не зростають, тобто a1≥a2≥a3≥…≥an≥…(1’) і нехай f(x) така неперервна не зростаюча функція, що f(1)=a1, f(2)=a2, f(3)=a3,…, f(n)=an,…(2). Тоді даний ряд і невласний інтеграл одночасно збігається або розбігається.
Доведення. Зобразимо члени ряду геометрично, відкладаючи на осі Ox номери 1,2,3,…,n+1,…членів ряду, а на осі Oy відповідні значення членів ряду a1,a2,a3,…,an+1,…
Побудуємо на цьому ж рисунку графік неперервної, не зростаючої функції y=f(x),що задовольняє умову(2). Замітимо, що перший із побудованих прямокутників має основу, що дорівнює 1 і висоту f(1)=a1. Другий прямокутник основу – 1, висоту f(2)=a2 і т.д.n-ий – основу – 1, а висоту f(n)=an. Сума площ побудованих прямокутників дорівнює Sn і дорівнює сумі перших n–членів ряду, тобто Sn= a1+a2+…+an. З іншої сторонни ступінчата фігура, що складається з прямокутників містить в собі площу обмежену лініями: y=f(x),y=0,x=1,x=n+1. Площа цієї області визначається за формулою:. Отже,. Якщо невласний інтегралє розбіжним, то він дорівнює 1 і якщоє необмеженим і зростає з необмеженим зростаннямn. Тоді і послідовність частинних сум необмежено зростає, тобто , отже, ряд є розбіжним.
18. Знакочергуючим ряди. Теорема Лейбніца
Ряди, члени яких мають особливість знакочергуватися, тобто ряди виду: а1-а2+а3-а4+...+(-1)n-1аn+…..(1), де а1, а2, а3,....-додатні наз знакочергуючим рядом.
Теорема Лейбніца: Якщо в знакочергуючому ряді члени ряду такі, що
1)|a1|>|a2|>….>|an|>…
2)lim|an|=0
n0
то ряд (1) збігається, його сума додатня і не більша першого члену ряду. Тобто:
S<=a1
Доведення
Розглянемо суму перших n=2m членів ряду(1), тобто візьмемо парну кіл-ть членів.
S2m=(а1-а2)+(а3-а4)+(а5-а6)+...+(а2m-1-a2m)
Із умови 1) теореми Лейбніца випливає, що вираз в кожних дужках >0. Отже S2m>0
S2m=a1-(а2-а3)-(а4-а5)-(а6-а7)-...-(а2m-2-a2m-1)-a2m.
В силу умови 1) теореми вираз в кожних дужках>0. Тоді:S2m<a1. Отже послідовність частинних сум S2m зростає і обмежена, а отже має:
limS2m=S
m0
Таким чином ми показали, щ S>0, але S<a1. Тобто послідовність парних частинних сум має своєю границею число S.
Зауваження 1: теорема Лейбніца справедлива і в тому випадку, коли нерівності 1 виконуються, починаючи з деякого №n.
Зауваження 2:Якщо знакочергуючий ряд задовольняє умові теореми, то неважко оцінити помилку, яку ми допускаємо при заміні суми ряду S на часткову суму Sn. При такій заміні ми відкидаємо всі члени ряду, починаючи з аn+1 члена ряду. Але всі ті числа, що ми відкидаємо теж утворюють знакочерг ряд, сума якого за абс велечиною менше першого члену цього ряду, тобто менше an+1. Значить помилка, яку ми допускаємо при заміні S на Sn не більша за абсолютну велечину першого із відкинутих членів ряду.
Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність
Ряд назив знакозмінним, якщо серед його членів є як додатні, так і від’ємні. Знакочерг ряди є частинним випадком знакозмінних рядів.
Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо як сам ряд, так і ряд, складений з його абсолютних велечин його членів збігається.
Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо сам ряд збігається, а ряд, складений з абсолютних велечин є розбіжним.
Відмінність між абсолютно збіжним і умовно збіжним рядами в тому, що абсолютно збіжні ряди збігаються в основному в силу того, що їхні члени швидко спадають, а умовно збіжні – в результаті того, що додатні і від’ємні додатки знищують один одного.