3.Частинні похідні вищих порядків.

Так як частинні похідні від функції декількох змінних є також ф-я дек. змінних , то для них також можна знайти похідні.

По відношенню до даної ф-ї частинні похідні від част. похідних даної ф-ї наз. частинними похідними вищих порядків.

Похідні таназиваються змішаними похідними і вони рівні між собою в тих точках, в яких неперервні.

Теорема: Якщо ф-я Z = f(х;у), f’`<sub>x</sub>, f `_y, f```<sub>xy,</sub> f```_yx визначені і неперервні в т. М_о(х_о;у_о) і її околі, то в цій точці частинні похідні рівні.

f``_xy= f`’`_yx ∂² z = ∂² z

∂у ∂х ∂ х ∂ у

4.Екстремум ф-ї 2х змінних. Необхідна і достатня умови екстремуму.

Т. М_о(х_о;у_о) наз т max (min) ф-ї f(х;у) в обл. Д , якщо для любої точчки М(х;у) із дельта околу т М_о(х_о;у_о) значення ф-ї в т М_о найбільше(найменше).

Точка М_о, в якій ф-я має екстремум наз т екстремуму. Max (min) ф-ї наз її екстремумом.

Необхідна умова існування екстремуму:

Якщо диференційована ф-я f(х;у) досягає екстремума в т (х_о;у_о) то її частинні похідні 1-го порядку в цій точці =0 або не існують.

∂f/∂x=0

∂f/∂у=0

Точки в яких частинні похідні = 0 або не існують наз критичними (стаціонарними).

Але не кожна стаціонарна точка є точкою екстремуму, а тому кожна стаціонарна точка повинна бути перевірена на екстремум за допомогою достатніх умов.

Достатні умови існування екстремуму.

I Нехай функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно в деякій області, що містить критичну точку. Тоді:

а) якщо в точці, то функція має в цій точці екстремум; причому це буде мінімум, якщо, і максимум, якщо;

б) якщо , то екстремуму в цій точці немає;

в) якщо , то потрібні додаткові дослідження, оскільки екстремум може бути, а може й не бути.

II Нехай – критична точка функції. Тоді, якщо за умови, другий диференціал, то в точціфункціямає максимум, якщо, то – мінімум, а якщозмінює знак, тоді екстремуму в цій точці немає.

5.Умовний екстремум ф-ї 2х змінних. Метод множників Лагранжа.

Нехай дано ф-ю Z=f(х;у) і L є Д. Потрібно знайти ext ф-ї Z=f(х;у) в точках , що належать L ліній.

Умовним ext ф-ї Z=f(х;у)наз екстремум цієї ф-ї, досягнутий при умові, що змінні х і у зв’язані рівнянням.У(х;у)=0 (рівняння зв’зку).

Z=f(х;у)

У=f(х;у)=0

Для знаходження точок ext використовують 2-а способи.

1)Поставлена задача зводиться до знаходження екстремуму ф-ї 1-ї змінної .Для цього треба розв’язати рівняння зв’язку відносно х або у і це значення підставити у ф-ю Z. у=у₁(х) Z=f(х;у₁(х))=f(х)—дослідити на ext.

2)Якщо із рівняння зв’язку складно знайти один із аргументів , то точки ext знаходять за методом множників Лагранжа.

Склад. Ф-я Лагранжа

U= f(х;у)+У(ху), —const.

Критичні точки визначаються із системи:

∂u/∂х=0

∂u/∂у=0

∂u/∂=0

6. Найбільше і найменше значення функції 2-ох змінних у замкнутій області

Найбільше значення функції – це саме більше із усіх можливих її значень. Відповідно найменше значення функції – це саме менше із усіх можливих її значень.

В ряді задач потрібно знайти найбільше і найменше значення функції z в деякій замкнутій області D. Якщо ця функція неперервна в замкнутій області D, то за теоремою Вейєрштрасса вона приймає в D свої найменше і найбільше значення.

Для цього потрібно:

1. Знайти критичні точки, що розташовані в області D.

2. Обчислити значення функції в цих критичних точках.

3. Знайти найбільше і найменше значення на лініях, що утворюють границю області D.

4. З усіх знайдених значень вибрати найбільше і найменше значення.