24.Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

25.Залежні і незалежні події. Умовна ймовірність. Теореми множення для залежних і незалежних подій.

26.Формула повної ймовірності.

Нехай подія А може наступити при умові появи однієї з несумісних подій які утворюють повну групу подій. Нехай відомі ймовірності цих подій і умовні ймовірності.

Необхідно знайти ймовірність події .

Теорема

Ймовірність події , яка може наступити лише при умові появи однієї з несумісних подійщо утворюють повну групу подій дорівнює сумі добутків з цих подій на відповідному умовну ймовірностей події, тобто

-

Формула повної ймовірності

Доведення

Нехай подія може наступити тільки із однією із подійякі утворюють повну групу подій, тобтоможе наступити

Із малюнка видно, що події є попарно несумісними, а тому попарно несумісними будуть і події.

Застосувавши до кожного доданку останньої рівності теорему множення ймовірностей одержимо:

Формула Бейєса.

Баєсів підхід не робить припущень про ймовірності елементарних подій, а намагається отримати їх із аналізу попереднього досвіду, спираючись на теорему Баєса і на попередні гіпотези. Оскільки ці ймовірності наперед невідомі, результати серії дослідів розбиваються на сприятливі й несприятливі, і експериментально визначена ймовірність дорівнює відношенню числа сприятливих подій до числа дослідів, тобто частоті подій. Теорема Байєса – одна з осн. теорем елементарної теорії ймовірності, яка визначає ймовірність настання події в умовах, коли на основі спостережень відома лише деяка часткова інформація про події. За допомогою формули Байєса можно більш точно обчислювати ймовірність, взявши до уваги як і раніше відому інформацію так і дані нових спостережень.

27.Формула Бернуллі.

Формула Бернуллі.

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Формула застосовується, якщо

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від mi до mj раз, обчислюється так:

Наймовірніше число появи події в незалежних випробуваннях.

У формулі Бернуллі параметр m може змінюватися від 0 до n, тобто в n-випробуваннях подія А може зявитися 0 (жодного разу) до n (зявится в кожному випробуванні) з різними ймовірностями обчисленими за формулою Бернуллі.

Число m для якого ймовірність Pn(m) є найбільшой називаєтся наймовірнішим числом настання події. Наймовірніше число настання події знаходиться: np-q ≤ m0 ≤ np+p

Зауваження:

1.) Якщо np-q – число дробове, то існує одне наймовірніше число n0, воно =найближчому цілому до m0 зправа;

2.) Якщо np-q – є ціле, то існує два наймовірніші числа m0 та m0+1, де m0= np-q

28. Граничні випадки формули Бернуллі: локальна теорема Муавра-Лапласа.

Рассмотрим последовательность из n независимых опытов, в каждом из которых событие A может произойти с вероятностью p,либо не произойти — с вероятностью q = 1 − p. Обозначим через P_n(k)вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных. В таком случае величину P_n(k) можно найти по теореме Бернулли

Эта теорема прекрасно работает, однако у нее есть недостаток. Если n будет достаточно большим, то найти значение P_n(k) становится нереально из-за огромного объема вычислений. В этом случае работает Локальная теорема Муавра — Лапласа, которая позволяют найти приближенное значение вероятности. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:

Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо n > 10 i p > 0,1.