33.Числові характеристики дискретної випадкової величини m(X),d(X), ∂(X) та їх властивості .

Для того , щоб оцінити як розсіяні можливі значення в.в. навколо матем . спод. вводять в розгляд числову характеристику , яку назив . дисперсією , і позначають D(X)

Дисперсією в.в. х назив. матем . спод. квадрата відхилення в.в. від її матем. спод.

D(x)= M(x- M(x))².

Для дискретноїв.в. дисперсія = сумі добутків квадратів відхиленнь значень в.в. від матем. спод. на відповідній імовірності .D(x)= ⁿ _i=1∑ (x_i- M(x))²p_i

Властивості дисперсії:

1. дисперсія константи = 0 , D( c) =0 , c= const Дійсно D( c) = M( c – M ( c) )²= M ( c-c)² =M(0) =0

2) Сталий множник можно винести за знак дисперсії підносячи його до квадрату

D(cx) = C²D(x) , с =const

D (cx )= M(cx –M(cx) )²= M( Cx- CM(x))2= M [C²(x-M(x))²]=c²M(x-M(x))²= C²D(x)

3) Дисперсія суми двох незалежних випадкових велечин дорівнює сумі дис. Цих велечин.D( x+y) = D(x) + D(y).

Наслідок 1 : Дисперсія суми декількох взаэмонезалежних випадкових велиин = сумі дисперсій цих величин .

Наслідок 2 :Дисперсія суми сталої велечини і випадкової = дисперсії в . велечини.

4) Дисперсія різниці двох незалежних випдкових велечин = сумиі їх дисперсії

D( x-y) = D(x) – D(y).

D(x) =npq.

Невід’ємне число ∂(х) =√D(x) назив . середнім квадратним відхиленням в.в.х - ∂(х) – має розмірність в.в. і виз. Деякий стандартний середньо-квадратичний інтервал розсіювання симетричний відносно матем . спод.

Дисперсія і середне квад. відхилення є мірою розсіювання значень випадкової велечини навколо матем . сподівання.

число появи п. А; p – ймов появи п. А; q – ймов не появи п. А. Невід’ємне число σ(х) = наз середнім квадр відхил в.в х. D(x) і σ(х) є мірою розсіювання значень в.в навколо М(х).

34. Приклади законів розподілу дискретних випадкових величин: біноміальний розподіл, розподіл Пуассона, геометричний розподіл

Біноміальний закон розподілу

Імовірності в цьому законі визначаються за формулою m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу:

Розподіл Пуассона

Дискретна випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо вона набуває зліченної множини значень з імовірностями Цей розподіл описує кількість подій, які настають в однакові проміжки часу за умови, що ці події відбуваються незалежно одна від одної зі сталою інтенсивністю.Математичне сподівання і дисперсія в цьому розподілі однакові і дорівнюють а. Для цього розподілу складено таблиці щодо різних значень (0,1 – 20). У таблицях для відповідних значень а наведено ймовірності

Якщо у схемі незалежних повторних випробувань n велике і р або 1 – р прямують до нуля, то біноміальний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, коли

Геометричний розподіл

Дискретна випадкова величина X має геометричний розподіл з параметром p , якщо вона збігається з кількістю випробувань до першого успіху в нескінченній послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху в одному випробуванні.

де k = 1, 2, 3, ....