61.Розподіл Пуассона та його числові характеристики.

Випадкова величина Х розподілена по закону Пуассона, якщо вона в процесі випробування набуває значень 0,1,2,… m,.. з ймовірностями, які визначаються за формулою Пуассона.

Для розподілу Пуассона

62.Рівномірний закон розподілу та його числові характеристики.

Рівномірним наз. розподіл неперервної ВВ Х, яка приймає свої значення на відрізку а;b, якщо щільність ймовірності f(x)на цьому відрізку стала, а поза ним дорівнює нулю, тобто:

Оскільки звідкитаким чином, диференціальна функція нормального розподілу має вигляд:

Враховуючи, що отримаємод

Числові характеристики:

Використовуючи формули для знаходження мат. сподівання і дисперсії отримаємо

Мода не існує, а медіана

63.Показниковий розподіл і його числові характеристики.

НВВ Х має показниковий(експоненціальний) розподіл, якщо її щільність розподілу

де λ>0 – параметр закону.

За відомою диференціальною функцією розподілу знайдемо інтегральну функцію:

Якщо х≥0,

Таким чином:

Числові характеристики:

Використовуючи формули для знаходження мат. сподівання і дисперсії, а також метод інтегрування частинами, отримаємо

Отже,

Даний закон застосовується в теорії надійності, в теорії масового обслуговування та інших галузях. 64.Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини та його числові характеристики. Крива Гаусса.

НВВ Х наз. розподіленою за нормальним законом (законом Гаусса) диференціальна функція розподілу має вигляд:

де

Графік кривої нормального розподілу (кривої Гаусса) будують за характерними точками:

точка максимуму , точки перетину.

Графік функції симетричний відносно прямої х=а, при х→∞ крива асомптотично наближається до прямої y=0.

Числові характеристики:

Використовуючи формули для знаходження мат. сподівання, отримаємо:

Для обчислення цього інтервалу введемо нову змінну t за формулою:Тоді

Аналогічними обчисленнями знаходимо, що Таким чином з’ясовано зміст параметріву нормальному законі розподілу неперервної ВВ Х. 65.Ймовірність попадання в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини. Ймовірність її відхилення від математичного сподівання. Правило трьох сигм. Якщо неперервна ВВ Х нормально розподілена, то ймовірність того, що Х прийме значення з інтервалу (;)за формулою дорівнює:

Виконавши в цьому інтервалі заміну змінної за формулою , будемо мати:

Тоді за формулою Ньютона-Лейбніца випливає, що

Оскільки функція є первісною для функціїТаким чином:

Якщо у вказаній формулі покласти то будемо мати:

тобто

Якщо в рівності взяти , то отримаємо, що

тобто

Наближена рівність наз. «правилом трьох сигм». Вона означає, що попадання нормально розподіленої неперервної ВВ Х в інтервал є майже достовірна подія.

70.Дискретні двовимірні випадкові величини, закон розподілу ймовірностей, основні властивості. Закони розподілу компонент.

Сукупність випадкових В., які розглядаються разом, наз. системою двох ВВ, або двовимірною ВВ.

Двовимірна випадкова величина (X, Y) наз. дискретною, якщо її складові X і Y є дискретними одновимірними ВВ. Її складові X і Y наз. ще компонентами.

Всяке співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями ВВ(X, Y) (тобто x_і, y_j) і відповідними їм ймовірностями (p_ij), наз. законом розподілу ймовірностей системи випадкових величин. Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини записують у вигляді таблиці

Де Знаючи закон розподілу двовимірної ВВ (X, Y), можна побудувати закони розподілу одновимірних складових X, Y, обчислюючи відповідні ймовірності за формулами: