75.Умовне математичне сподівання дискретної і неперервної двовимірної випадкової величини.

Для дискретної двовимірної ВВ (X, Y) умовні мат. сподівання обчислюються за формулами:

Для неперервної двовимірної ВВ: 76.Залежні і незалежні випадкові величини. Необхідна і достатня умова незалежності випадкових величин.

Дві ВВ наз. незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, якого значення набула інша. Із цього означення випливає, що умовні розподіли незалежних величин дорівнюють їх безумовним розподілам, тобто:

Теорема. Для того, щоб неперервні ВВ X і Y були незалежними, необхідно і досить, щоб функція розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку функцій розподілу складових:

Наслідок. Для того, щоб неперервні ВВ X і Y були незалежними, необхідно і досить щоб щільність сумісного розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку щільностей розподілу складових:

У випадку, коли X і Y – дві незалежні дискретні ВВ, то необхідна і достатня умова незалежності X і Y виражається системою рівностей: 77.Числові характеристики двовимірної випадкової величини. Початкові і центральні моменти. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції. Теорема про кореляційний момент для незалежних випадкових величин.

Важливими числовими характеристиками двох ВВ (X, Y) є мат. сподівання та дисперсії складових М(Х), М(Y), D(X), D(Y), кореляційний момент µ_xy і коефіцієнт кореляції r_xy.

Початковим моментом порядку (k + s) системи (X, Y) наз. мат. сподівання добутку X^k · Y^s.

Центральним моментом порядку (k + s) системи (X, Y) наз. мат. сподівання k-го і s-го степенів відповідних центрованих величин.

На практиці найчастіше застосовують початкові моменти першого порядку та центральні моменти другого порядку.

Початкові моменти першого порядку є мат. сподіваннями випадкових величин X і Y.

Центральні моменти другого порядку співпадають з дисперсіями випадкових величин X і Y. Вони характеризують розсіювання системи (X, Y) у напрямку осей ОХ і ОY.

Особливу роль при вивченні системи двох ВВ відіграють другий мішаний центральний момент і коефіцієнт кореляції r_xy , які є показниками взаємозв’язку між компонентами X і Y.

Кореляційним моментом (коваріацією) µ_xy двовимірної ВВ (X, Y) наз. мат. сподівання добутку відхилень складових цієї величини від мат. сподівань:

Кореляційний момент можна виражати співвідношенням:

Кореляційний момент характеризує як розсіювання величин X і Y, так і зв’язок між ними. Якщо випадкові величини X і Y незалежні, то можна показати, що кореляційний момент µ_xy = 0 (обернене не має місця).

Випадкові величини, для яких кореляційний момент = 0, наз. некорельованими.

Коефіцієнтом кореляції r_xy двовимірної ВВ (X, Y) наз. відношення кореляційного моменту µ_xy до добутку середніх квадратичних відхилень цих величин:

де

Зазначимо , що Коефіцієнт кореляції характеризує ступінь тісноти лінійної залежності між величинами X і Y. Чим ближче значеннядо 1, тим більш точною буде рівність

Якщо r_xy = 0, то або залежність між X і Y лінійному закону не підлягає, або вони взагалі незалежні.

Числові характеристики двовимірної ВВ:

Теорема. Кореляційний момент двох незалежних ВВ Х і Y дорівнює 0. Доведення: Так як Х і Y – незалежні ВВ, то їх відхилення ітакож незалежні. Користуючись властивостями мат. сподівання і відхилення, отримаємо:Коваріацію можна представити у вигляді: 78.Функція дискретної випадкової величини. Закон розподілу функції, числові характеристики.

Важливою задачею в теорії ймовірностей є визначення законів розподілу та числових характеристик функцій випадкових аргументів, закони розподілу яких відомі. Нехай Х — дискретна випадкова величина, яку задано табличним законом розподілу.

			…
			…

Відомо, що тоді закон розподілуY має такий вигляд:

			….
			…

Числові характеристики функції можна знайти за її законом розподілу або за формулами:

Довільні моменти розподілу подаються аналогічними формулами:

.

Якщо випадкові величини задано законами розподілу:

			…
			…

			…
			…

і задано функцію то закон її розподілу визначається так. Множина значень, що їх набуваєZ, подається у вигляді: ,. При цьому

Нехай Х — неперервна випадкова величина, яку задано щільністю розподілу Якщоі — диференційована функція, монотонна в області значень Х, то щільність розподілу цієї функції подається у вигляді де— функція, обернена до. Якщо  — не монотонна функція в області зміни аргументу, то обернена функція неоднозначна і щільність розподілу визначається як сума стількох доданків, скільки значень має обернена функція:де— функції, обернені до.

Визначаючи числові характеристики функцій неперервних аргументів, операцію підсумовування, виконувану для дискретних величин, заміняють операцією інтегрування: