40.Геометричне означення ймовірності.

Нехай Ω – деяка область на прямій, площині або в просторі, А – деяка частина області Ω. В області Ω навмання вибирають точку, вважаючи, що вибір точок області рівноможливий. Ймовірність того, що вибрана точка належить А, визначається рівністю

де mes A, mes W – міра (довжина, площа, об’єм) А, Ω. 41.Теорема про ймовірність суми скінченного числа несумісних подій.

Означення. Сумою двох подій A і B називається подія C , яка полягає втому, що відбудеться хоча б одна з подій A або B: C=A+B, тобто, відбудеться або подія A , або подія B , або події A і B разом.

Теорема. Ймовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі їх ймовірностей, тобто

P(A+B)=P(A)+P(B)

Наслідки.

1. Сума ймовірностей несумісних подій Аі, які утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1

42.Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій мінус ймовірність їх добутку (одночасної появи), тобто:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) 43.Залежні і незалежні події. Умовна ймовірність. Теореми множення для залежних і незалежних подій.

Означення. Добутком двох подій A і B називається подія C , яка полягає втому, що відбудеться і подія A і подія B: C=A*B, тобто, події A і B відбудуться одночасно.

Означення. Дві події А і В називається незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від появи, чи непояви іншої.

Означення. Дві події А і В називається залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від появи, чи непояви іншої.

Означення. Ймовірність події А, що знайдена при умові що подія В відбулася, називається умовною ймовірністю і позначається Р(А/В), або Р_В(А); Р(В/А) або Р_А(В) – умовна ймовірність події В, якщо подія А настала.

Теорема. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей

Р(А*В) = Р(А)*Р(В).

Теорема. Ймовірність добутку двох випадкових подій дорівнює добутку ймовірностей однієї із них на умовну ймовірність другої, при умові, що перша вже настала. Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(А/В).

Зауваження. Й мовірність сумісної появи (добутку) скінченного числа подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх останніх, причому ймовірність кожної н аступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже відбулися.

44.Ймовірність появи хоча б однієї події з декількох незалежних подій.

45.Формула повної ймовірності.

Нехай випадкова подія А може з’явитися лише сумісно з однією із подій B1 , B2 , ..., Bn , які

попарно несумісні і утворюють повну систему подій. Тоді ймовірність події A обчислюється за формулою (формула повної ймовірності).

Події B1, B2, ..., Bn називають гіпотезами для події А. 46.Ймовірність гіпотез. Формули Байєса.

Нехай випадкова подія А може з’явитися лише сумісно з однією із подій B1 , B2 , ..., Bn , які попарно несумісні і утворюють повну систему подій.

Оскільки заздалегідь невідомо з якою подією із несумісних подій B1, B2, ..., Bn з’явиться подія

A, то події B1 , B2 , ..., Bn називають гіпотезами. ( P(Bk ) - ймовірність k-ої гіпотези).

Якщо випробування проведено і в результаті того подія A з’явилася, то умовна ймовірність

P(Bk \ A) може не дорівнювати P(Bk ) . Для одержання умовної ймовірності P(Bk \ A) використаємо теорему множення ймовірностей залежних подій:

=>

Враховуючи знайдене значення P(A) ( за формулою повної ймовірності), одержимо

Отримані формули називають формулами Байєса (Т. Байєс (1702-1761) – англійський математик). Вони дозволяють переоцінювати ймовірність гіпотез. Це важливо при контролі або ревізіях 47.Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі.

У багатьох задачах теорії ймовірностей, статистики та практики доводиться досліджувати серії п

випробувань в однакових умовах, причому ймовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова і не залежить від появи або не появи події А в інших випробуваннях. Таку послідовність незалежних випробувань називають схемою Бернуллі.

де р – ймовірність появи успіху в кожному випробуванні; q = 1 - p – ймовірність невдачі.

Число m₀, при якому ймовірність Pn(m₀) найбільша, називається найімовірнішим числом настання події А. Знаходять його за формулою m₀ = [(n +1) p] – ціла частина числа (n +1) p . Якщо число (n +1) p – ціле, то m₀ -1 також буде найімовірнішим числом настання події А. 48.Найімовірніша кількість появ події у незалежних випробуваннях.

Означення. Число m₀, для якого ймовірність появи події Pn(m₀) в n незалежних випробуваннях є

найбільшою називається найімовірнішим числом появи події.

Найімовірніше число m₀ задовольняє нерівність:

Якщо число np-q - дробове, то m₀ має одне значення, яке дорівнює цілому числу із інтервалу (np-q, np+p ). Якщо np-q - буде цілим числом, то m0 приймає два значення, що відрізняються на одиницю. 49.Локальна теорема Муавра-Лапласа.

Якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то

ймовірність Pn (m) того, що подія А настане m раз в n випробуваннях наближено (чим більше n, тим точніше) визначається наступною формулою