31.Розвинення в ряд Маклорена функцій.

32.Наближене обчислення інтегралів за допомогою рядів.

Розвиваючи підінтегральну функцію у степеневий ряд можна обчислити визначений інтеграл з

наперед заданою точністю. Наприклад, обчислимо з точністю до 0,001 інтеграл

За формулою Ньютона - Лейбніца маємо

Розвинемо у степеневий ряд функцію

Отриманий степеневий ряд збіжний при x=1. Тому

Теорія ймовірностей і математична статистика 35.Основні поняття комбінаторики. Перестановки. Розміщення і комбінації з n елементів по m.

Нехай М – множина, що містить п елементів. Розміщенням з п елементів по т називається довільна впорядкована підмножина з т елементів з множини М. Число розміщень з n елементів по m (m≤n) знаходиться за формулою.

Перестановками з n різних елементів називаються групи, які складаються з цих елементів і відрізняються тільки порядком їх розташування.

Сполученнями з n різних елементів по m називаються групи, які складаються з m різних елементів, вибраних із n , які відрізняються одна від одної хоча б одним елементом.

36.Випадкові події. Алгебра подій (сума, різниця, добуток).

У теорії ймовірностей розглядаються випадкові експерименти – ті експерименти, результат яких не можна напевно передбачити. Такі експерименти називатимемо випробуваннями.

Найпростіший результат випробування називається елементарною подією і позначається w. Сукупність усіх можливих елементарних подій випробування називається простором елементарних подій і позначається Ω.

Будь-яка підмножина А простору елементарних подій називається випадковою подією.

Випадковою називається подія, яка в результаті випробування може відбутися, а може і не

відбудеться.

Елементарні події, що входять в А, називаються сприятливими для А. Сама множина Ω називається достовірною подією, порожня множина Ø – неможливою подією.

Сумою подій А і В називається подія А + В (АUВ), яка складається з елементарних подій, що належать хоч б одній із подій А або B.

Добутком АВ (А∩В) називається подія, яка складається з елементарних подій, що належать одночасно А і В.

Різницею А-В подій А і В називається подія, яка складається з тих елементарних подій, що входять в А і не входять у В. 37.Сумісні, несумісні події. Повна група подій. Протилежні події.

Означення. Дві події A і B називаються несумісними, якщо з появою однієї з подій виключається можливість появи іншої. (зокрема, подія A – іспит складено на „5”, подія B – іспит складено на „4”)

Означення. Дві події A і B називаються сумісними, якщо з появою однієї з подій не виключається можливість появи іншої. (наприклад, підкинули гральний кубік: подія A – поява числа 5, подія B – поява непарного числа).

Означення. Дві події називаються протилежними, якщо одна з них відбувається тільки в тому випадку, коли не відбувається інша (зокрема, план виконано, план не виконано; автобус прибув вчасно, автобус запізнився).

Означення. Події A1 , A2 ,...An утворюють повну групу подій, якщо вони попарно несумісні і в

результаті випробування відбудеться одна з цих подій 38.Класичне означення ймовірності. Властивості ймовірностей.

Для кількісного виміру появи випадкових подій вводиться поняття ймовірності випадкової події.

Розглянемо деяке випробування і подію, пов’язану з ним. Кожен з його можливих наслідків назвемо елементарною подією ( елементарним наслідком).

Елементарні наслідки, при яких подія, що нас цікавить відбувається, називаються сприятливими цій події.

Означення. Ймовірністю випадкової події A називається відношення числа елементарних подій,

сприятливих до появи події A , до числа всіх можливих елементарних подій:

де m - число елементарних подій, сприятливих до появи події А,

n - число всіх можливих елементарних подій (наслідків) експерименту.

Властивості ймовірності

1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці

(для достовірної події m = n).

2. Ймовірність неможливої події

(для неможливої події m = 0).

3. Ймовірність випадкової події є невід’ємне число, що знаходиться між нулем і одиницею: 0<Р(А)<1 .

Дійсно,

таким чином, ймовірність будь–якої події задовольняє нерівність 0≤P(A)≤1 . 39.Статистичне означення ймовірності. Стійкість відносних частот.

Нехай А – випадкова подія, пов’язана з деяким дослідом. Повторимо дослід п разів за одних і тих же умов, і нехай при цьому подія А з’явилась m разів.

Відношення m/n числа дослідів, в яких подія А з’явилась до загального числа п проведених дослідів, називається частотою події А

Частоту можна знайти тільки після проведення випробувань. У багатьох випадках відносна частота події А стабілізується при великому n. Такі події називаються статистично стійкими.