71.Неперервні двовимірні випадкові величини. Функція розподілу та її властивості.

Сукупність випадкових В., які розглядаються разом, наз. системою двох ВВ, або двовимірною ВВ. Двовимірна ВВ (X, Y) наз. неперервною, якщо її складові X і Y є неперервними одновимірними ВВ.

Функцією розподілу ймовірностей двовимірної ВВ наз. функція F(x, y), яка для будь-яких чисел X і Y визначає ймовірність сумісної появи двох подій тобто

Геометрично функцію F(x, y) можна тлумачити як ймовірність попадання випадкової точки (X, Y) в безмежний квадрант з вершиною (x, y), який розміщений лівіше і нижче цієї вершини. Для двовимірної ВВ (X, Y) дискретного і неперервного типу функції розподілу відповідно дорівнюють:

де f(x, y)- щільність ймовірності величини (X, Y).

Властивості:

1.Значення функції розподілу задовольняють подвійну нерівність

2. F(x, y) – неспадна функція за кожним аргументом, тобто:

3.Мають місце граничні співвідношення:

4.F(x, +∞)= F₁(x); F(+∞;y)= F₂(y); де F₁(x), F₂(y) – функції розподілу складових X і Y відповідно.

6. Ймовірність попадання випадкової точки у прямокутник 72.Щільність сумісного розподілу ймовірностей неперервної двовимірної випадкової величини та її основні властивості. Ймовірність попадання випадкової точки в задану область.

Щільністю розподілу ймовірностей двовимірної неперервної ВВ (X, Y) наз. другу мішану похідну від її функції розподілу, тобто:

Властивості:

1.f(x, y)-невід’ємна функція: f(x, y)≥0.

2.подвійний невласний інтеграл з безмежними межами інтегрування від двовимірної щільності розподілу =1:

3.Ймовірність того, що значення ВВ належатимуть області D, дорівнює подвійному інтегралу від двовимірної щільності розподілу по цій області 4.

4.Функція розподілу f(x, y) двовимірної ВВ (X, Y) може бути виражена через двовимірну щільності розподілу за допомогою рівності: 73.Щільності розподілу ймовірностей складових двовимірної випадкової величини (безумовні щільності).

Нехай система (X, Y) задана функцією розподілу F(x, y)(або щільністю розподілу f(x, y)). Знайдемо щільність розподілу кожної зі складових. Спочатку - складової X. Позначимо через F₁(x) функцію розподілу складової X. За означенням щільності розподілу одновимірної ВВ.

Функція розподілу F(x, y) двовимірної ВВ (X, Y) виражається через щільність її розподілу рівністю .

З цієї рівності випливає, що

диференціюючи обидві частини цієї рівності за х, одержимо ,

або .

Аналогічно, .

Таким чином, щільність розподілу однієї зі складових = невласному інтегралу з безмежними межами інтегрування від щільності сумісного розподілу системи, причому змінна інтегрування відповідає іншій складовій. 74.Умовні закони розподілу складових двовимірної випадкової величини (дискретної і неперервної).

1.Випадок дискретної величини

Розглянемо дискретну двовимірну ВВ (X, Y). Нехай можливі значення складових такі: x₁, x₂,…, x_n; y₁, y₂, …, y_m. Через p(x_i /y_j ) позначимо умовну ймовірність того, що ВВ Х набуде значення x_i за умови, що ВВ Y набула значення y_j , а через p( y_j /x_i )- умовну ймовірність того, що ВВ Y набуде значення y_j за умови, що ВВ Х набула значення x_i . Ймовірності p(x_i /y_j ) і p( y_j /x_i )обчислюємо за формулами:

Умовним законом розподілу складової Х двовимірної дискретної ВВ (X, Y) за фіксованого значення складової Y = y_j наз. перелік усіх можливих значень x_i ВВ Х та відповідних їм умовних ймовірностей p(x_i /y_j ).

Умовним законом розподілу складової Y двовимірної дискретної ВВ (X, Y) за фіксованого значення Х = x_i наз. перелік усіх можливих значень y_j ВВ Y та відповідних їм умовних ймовірностей p ( y_j /x_i ).

Умовні закони розподілу складових X і Y двовимірної дискретної ВВ (X, Y) записують, відповідно, у вигляді таблиць:

Висновок: знаючи безумовні закони розподілу складових X і Y та умовний закон розподілу однієї з них, можна скласти закон розподілу двовимірної дискретної ВВ (X, Y). Ймовірності p(x_i /y_j )можливих її значень (x_i /y_j )обчислюємо за формулами:

2.Випадок неперервної величини

Нехай (X, Y) – двовимірна неперервна ВВ і f(x, y) – щільність її сумісного розподілу. Як уже зазначалося, закони розподілу складових X і Y визначаються рівностями:

Умовною щільністю розподілу ймовірностей складової Х двовимірної неперервної ВВ (X, Y) за фіксованого значення Y= y наз. відношення щільності f(x, y) її сумісного розподілу до щільності f₂(y) складової Y:

Умовною щільністю розподілу ймовірностей складової Y двовимірної неперервної ВВ (X, Y) за фіксованого значення Х = х наз. відношення щільності f(x, y) її сумісного розподілу до щільності f₁(y) складової Х:

Умовна щільність розподілу ймовірностей складової двовимірної неперервної ВВ визначає її умовний закон розподілу.

Висновок: знаючи щільність розподілів складових X і Y та умовну щільність розподілу однієї з них, можемо обчислити щільність розподілу двовимірної неперервної ВВ (X, Y) за формулами: