38. Двовимірні випадкові величини. Функції розподілу. Залежні і незалежні випадкові величини. Умовні закони розподілу.

39. Числові характеристики двовимірних випадкових величин. Коефіцієнт кореляції.

8.8 Лекция

40.Закон великих чисел. Нерівність Чебишева. Теорема Чебишева. Теорема Бернуллі. Центральнагранична теорема.

Якщо Х₁, Х₂,…,Х_n попарно незалежні в.в. причому дисперсії їх рівномірно обмежені (Д(Хі)≤С), то яким би малим не було додатне число Е , Е>0 (Е) справедливе наступне співвідношення{

До в.в. застосовується нерівність Чебишева

, при Д(х)=, то

Теорема. Нехай х – в.в., можливі значення якої невід’ємні, А – const ( А>0), тоді й-ть того, що в.в. х прийме значення не менше х буде не більше дробу чисельник якого е математичне сподівання М(х), а значення А.

Теорема Чебишева для окремого випадку.

Якщо в результаті n – спостережень, де n досить велике число одержані в.в. Х₁, Х₂,…, Х_n попарно незалежні з одним і тим же математичним сподіванням M(X₁)=M(X₂)=…=M(X_n)=a і рівномірно обмежені дисперсіями Д(Х_і)С, то середнє арифметичне значення величин, що спостерігаються збігаються по й-ті до числа А, тобто

,

Із теореми Чебишева випливає, що при досить великому n середнє арифметичне значення в.в., що спостерігається в окремому має властивості стійкості, тобто на практиці може бути замінене математичним сподіванням в.в.

Нерівність Чебишева

Якщо х – в.в. з математичним сподіванням М(х)=а і дисперсією Д(х), то ймовірність того, що значення в.в. відхиляється від математичного сподівання абсолютній величині не менше ніж на досить мале число Е>0, буде не більше величини ,тобто

М(х)=а, (х-а)² – в.в., яка не приймає від’ємних значень.

Для оцінки й-ті виконується нерівність ,

Теорема Бернуллі.

Якщо кожному із n- незалежних випробувань й-ть появи події А стала, то як завгодно близька до 1 й-ть того, що відхилення відносної частоти від й-ті Р по абсол. Величині буде як завгодно малим, якщо число випробувань досить велике.

Доведення. Розглянемо в.в. Х=і визначимо М(х), Д(х).

М(х)=

Д(х)=Д(

Застосуємо нерівність Чебишева.

≥

Зауважимо, що й-ть любої випадкової події не більше 1.

≤≤1.

.

Зауважимо, закон великих чисел має велике практичне значення він дозволяє надати достовірний зміст рівно систем.

.

Центральна гранична теорема

В.в. розподілені за нормальним законом розподілу. Центральна гранична теорема сформульована Ляпуновим як раз пояснює це явище.

Якщо незалежні в.в. Х₁, Х₂,…Х_n мають скінченні математичні сподівання і дисперсії, що відповідно дорівнюють А₁,А₂,…А_n і і число їх досить велике, а при

- центральний момент 3-го порядку, то сума в.в. Х₁+Х₂+…+Х_n з достатнім степенем точності розподілена за нормальним законом

Умова (*) назив. Умовою Ляпунова і зміст її полягає в тому, що дія любого доданку не значна в порівнянні з дією їх всіх. Теорема Ляпунова має велике значення, а нормальний закон розподілу є одним із основних.

Закон великих чисел застосовується при плані, об’єму і асортиментів товарів широкого вжитку, теорії надійності, теорії стрільби, теорії вимірів і в інших галузях народного господарства.