Higher_Mathematics_Part_2
.pdfSolution. Let u = sinn−1 x |
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and dv = |
sin x |
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dx . We evaluate |
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cosm x |
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du = (n − 1)sinn−2 x cos xdx , |
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v = ∫ |
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sin x |
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dx |
= − ∫ |
d (cos x) |
= |
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1 |
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( m ≠ 1 ), |
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cos |
m |
|
|
cos |
m |
x |
(m − 1)cos |
m−1 |
x |
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|
x |
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J n, −m |
= |
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sinn−1 x |
|
− |
|
n − 1 sinn− 2 x |
dx . |
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(m − 1)cosm−1 x |
|
m − 1 ∫ cosm−2 |
x |
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||||||||||||||||
Thereby |
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J n, −m = |
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sinn−1 x |
|
− |
|
n − 1 |
J n−2, 2−m . |
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(m − 1)cosm−1 x |
|
m − 1 |
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Т.1 |
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Exercises for class and homework |
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Find the indefinite integrals.
1. |
∫(x − 1)(2x + 3)dx . |
||||||||||
4. |
∫ |
x 2 + 2x − 3 |
dx . |
||||||||
|
3 |
x |
|
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|||||||
|
|
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7. |
∫sin 2 |
x |
dx . |
|
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|||||
|
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|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
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|
10. ∫ |
1+ 5 cos2 x |
|
|||||||||
|
|
dx . |
|||||||||
1+ cos 2x |
|||||||||||
13. ∫ |
|
dx . |
|
|
|
||||||
|
|
|
x 2 − 4 |
|
|
|
|
|
|||
16. ∫ |
6 x−1 + 8x |
dx . |
|||||||||
2 |
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. ∫ |
3 − x + 3 + x |
dx . |
|||||||||
|
9 − x |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ∫ |
x3 − 8 |
|
|
|
3. ∫ x x dx . |
|||||||
|
|
|
dx . |
|
||||||||
|
x − 2 |
|
||||||||||
5. ∫ 4 x3 (1− x )dx . |
6. ∫ |
x − 1 dx . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x |
|
||
8. ∫ tg2 xdx . |
9. ∫ (2 ctg x − 1)(2 ctg x + 1)dx . |
|||||||||||
11. ∫ |
|
2 |
|
|
|
|
12. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x 2+ 1 + 1 dx . |
|
dx |
. |
|||||||
|
|
|
x |
+ 1 |
|
|
16 − x 2 |
|||||
14. ∫ e x (3 − e− x )dx . |
15. ∫ |
|
x 4 |
|
dx . |
|||||||
x |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
||
17. ∫ |
|
dx |
|
. |
|
18. ∫ |
|
dx |
. |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 + 9x |
|
|
9 − 16x 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
20. ∫ (3 |
x − 1)(2 4 x + 3)dx . |
Use appropriate substitutions to find the integrals.
21. |
а) ∫sin 3 xd(sin x) ; |
б) ∫sin 3 x cos xdx ; |
|
в) ∫cos3 2x sin 2xdx . |
|
||||||||
22. |
а) ∫ ln |
3 |
xd(ln x) ; б) ∫ |
ln3 x |
dx . 23. |
а) ∫ 2 |
tg x |
d(tg x) ; б) ∫ |
2tg x dx |
|
. |
||
|
x |
|
cos |
2 |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
24. |
∫(3x − 4)6 dx . |
25. ∫3 2x + 5dx |
|||||||
28. |
∫ |
x 2 dx |
. |
29. |
∫ |
|
(2x − 4)dx |
. |
|
3 |
|
2 |
|||||||
|
|
4 + x |
|
|
|
5 + 4x − x |
|||
32. |
∫ |
x3dx . |
33. |
∫ (3x 2 + 1)dx . |
|||||
|
|
1− x 4 |
|
|
|
x3 + x + 1 |
|||
36. |
∫ sin xdx . |
37. |
∫ |
tg xdx |
. |
||||
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
. 26. ∫8 3 − xd(3x) . 27. ∫ |
|
xdx |
. |
5 |
2 |
||
|
+ x |
30. |
∫ |
|
|
xdx |
. |
|
4 |
4 |
|||||
|
|
+ x |
|
|
||
34. ∫ |
|
x 2 dx . |
||||
|
|
1+ x6 |
|
|
||
38. ∫ |
ln xdx |
. |
|
|||
|
|
x |
|
|
∫xdx
31..
|
|
1− x 4 |
35. ∫ |
4 |
sin xdx . |
|
− cos x |
39. ∫ x 2 e x3 dx .
|
|
|
sin x cos |
xdx |
|
|
x − 1 |
dx |
||||
|
∫e |
41. ∫ |
|
x |
|
|||||||
40. |
|
|
|
|
. |
|
x2 |
|
. 42. |
|||
|
2 |
x |
|
|
||||||||
44. |
∫ |
|
|
dx |
. |
45. ∫ |
xdx . |
46. |
∫ x tg(x 2 |
|||
e |
x |
|||||||||||
|
|
+ 1 |
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|||
48. |
∫ |
(2x + 7)dx |
. |
49. ∫ (1− 2x)99 xdx . |
||||||||
3 |
||||||||||||
|
|
|
(3x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
1 |
dx . |
43. ∫ |
xdx . |
|
|
+ |
x |
|
x(x + 1) |
|
− 1)dx . |
|
47. ∫ |
x3dx . |
||
|
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
50. ∫ |
dx . |
||
|
|
|
|
x x + 1 |
51. |
∫ |
(x |
+ 1)dx |
. |
52. ∫ |
|
dx |
|
. |
|
53. ∫ |
dx |
. |
|
|
54. ∫ |
|
x |
2 dx |
. |
||||||||
x x − |
2 |
1+ |
3 |
|
|
|
1+ e x |
|
|
|
1 |
− x 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
55. |
∫ |
|
|
dx |
|
. |
|
56. ∫ |
1+ x |
2 dx |
. |
57. ∫ x |
2 |
9 |
− x |
2 |
dx . |
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x 2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
58. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
59. ∫ |
e2x dx |
. |
|
60. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|||||||
x |
2 |
x 2 − 1 |
4 1 |
+ e x |
|
(1 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) arctg x |
|
Use integration by parts to find the integrals.
61. |
∫ x cos 4xdx . |
62. ∫ (2x − 5) sin 2xdx . |
63. ∫ (x + 3)e x dx . |
||||
64. |
∫ (x3 − 2x 2 + 4)e2x dx . |
65. ∫ (x3 + x 2 − 3x − 1) cos xdx . |
|||||
66. |
∫ x 2 2 x dx . |
67. ∫ ln(2x − 1)dx . |
68. ∫ x ln xdx . |
||||
69. ∫ ln(x 2 + 4)dx . |
70. ∫ x ln(x − 1)dx . |
71. |
∫ x ln(x 2 + 1)dx . |
||||
|
1 |
|
73. ∫ ln 2 xdx . |
|
|
|
|
72. |
∫ x |
|
ln 2 xdx . |
|
74. |
∫ x arctg xdx . |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
82 |
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
75. ∫ x arcsin xdx .
78. ∫arccos xdx .
81. ∫e x cos 2xdx .
84. ∫ x sin x dx . cos3 x
76. |
∫ x tg2 xdx . |
77. ∫ x cos2 xdx . |
|||||||
79. |
∫ |
x arctg x |
dx . |
80. ∫ |
ln 2 x |
dx . |
|||
|
|
3 |
|||||||
|
|
|
1+ x2 |
|
|
x |
|||
82. |
∫sin ln xdx . |
83. |
∫e px sin qxdx . |
||||||
85. ∫ |
|
x 2 e x |
dx . |
86. |
∫arcsin 2 xdx . |
||||
|
2 |
||||||||
|
|
|
(x + 2) |
|
|
|
|
Answers
|
|
1. |
|
2 |
x3 + |
x2 |
− 3x + C . 2. |
|
|
1 |
x3 + x2 + 4x + C . 3. |
4 |
x7 / 4 + C . 4. |
3 |
x8 / 3 + |
|
|
|
6 |
x5 / 3 − |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
- |
9 |
x2 / 3 + C . 5. |
4 |
x7 / 4 − |
4 |
x9 / 4 |
+ C . 6. − x − 2 |
|
|
x + C . 7. (x − sin x) / 2 + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x +5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. tg x −x +C . |
9. −4ctg x −5x +C . |
|
|
|
|
10. |
|
+C . |
11. ln |
x + 1+ x2 |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+arctg x +C . |
|
|
|
12. arcsin |
x |
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
13. ln x + |
|
x2 − 4 + C . |
|
14. 3ex − x + C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15. |
|
|
|
|
1 |
|
x3 − x +arctg x +C . |
16. |
|
|
|
|
3x |
|
|
+ |
4x |
+ C . |
17. |
1 |
|
arctg |
3x |
+C . |
18. |
|
1 |
arcsin |
|
4x |
|
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
6ln 3 |
ln 4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
19. |
2 |
|
|
|
3 + x − 2 |
3 − x + C . 20. |
|
|
|
x(−3 + |
9 |
3 x − |
|
|
8 |
4 x + |
|
24 |
|
12 |
x7 ) +C |
. 21. |
|
а) |
sin4 x |
+ C; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||
б) |
sin4 x |
+ C; |
в) − |
1 |
cos4 |
2x + C. |
|
|
22. а) |
|
ln4 x |
|
+ C ; |
|
б) |
|
|
ln4 x |
|
|
+ C . |
|
23. а) |
2tg x |
|
+ C ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
ln 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
б) |
2tg x |
|
|
|
|
|
|
24. |
|
(3x − 4)7 |
|
|
|
|
|
|
25. |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
26. − |
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
+ C . |
|
|
|
(2x + |
5) |
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
(3 |
− x) |
|
|
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln 2 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
27. |
|
|
|
|
1 |
ln(x2 + 5) + C . |
28. |
|
|
|
1 |
|
ln(x3 + 4) + C . 29. |
|
− ln |
|
5 + 4x − x2 |
|
+ C . 30. |
|
1 |
arctg |
|
x2 |
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
1 ln x3 |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
31. |
|
|
|
1 |
arcsin x2 |
+ C . |
32. |
|
− |
1 |
|
1 |
− x4 |
+ C . |
33. |
|
2 x3 + x + 1 + C . |
34. |
|
+ 1 + x3 |
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
35. |
|
−8ln(4 − |
cos x ) − 2 |
cos x + C . |
36. −2cos |
|
x + C . |
|
|
|
37. − 2 ln cos |
|
|
x + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
38. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 / 2 |
|
|
|
|
39. |
|
1 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
40. |
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41. |
2 |
|
|
|
x |
− 1 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(ln x) |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
e |
|
+ C . |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
42. |
|
2 x − 2ln(1 + |
|
|
x ) + C . 43. |
|
2arctg |
x + C .44. |
x − ln(ex + 1) + C |
45. |
2 x −2 arctg |
|
|
x +C . |
83
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
46. |
− |
1 |
ln |
|
cos(x2 − 1) |
|
+ C . |
|
47. |
|
2 |
|
(x |
|||||
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
7 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
48. |
− |
2 |
− |
25 |
|
|
+ C . |
|
|
49. |
− |
|||||||
9(3x − 2) |
18(3x − 2)2 |
|
|
|
||||||||||||||
51. |
2 |
x − 2 + |
2 arctg |
x − 2 |
+ C . |
|
|
52. 3( |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
53. |
ln |
|
ex + 1 − 1 |
+ C . |
|
|
54. |
1 |
arcsin x |
|||||||||
|
ex + 1 + 1 |
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1)7 + |
6 |
(x − 1)5 + 2 (x − 1)3 + 2 x − 1 + C . |
|
5 |
|||
|
|
(1− 2x)100 |
+ C . |
50. ln |
|
x + 1 − 1 |
+ C . |
|||||||||
|
|
|
200 |
|
|
|
|
x + 1 + 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t2 |
− 2t + ln |
|
t |
|
) + C , |
де |
|
t = 1 + 3 x + 1 . |
||||||
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||
x |
1 − x2 |
|
+ C . |
55. |
1 |
|
2 |
+ C . |
||||||
− |
|
arccos |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
56. |
|
− |
(1 + x2 )3 |
+ C . |
|
57. |
|
|
|
81 |
arcsin |
x |
− |
|
|
|
x |
|
9 − x2 |
(9 − 2x2 ) + C . |
|
|
|
58. |
|
|
|
x2 − 1 |
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x3 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
59. |
4 |
4 |
(1 + ex )7 − |
4 |
4 |
|
(1 + ex )3 |
+ C . 60. |
ln |
|
arctg x |
|
+ C . |
61. |
x |
|
sin 4x + |
1 |
|
|
cos 4x + C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
5 − 2x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
62. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x + |
|
|
|
|
sin 2x + C . |
|
|
|
63. (x + 2)e |
|
|
+ C . |
|
64. |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
|
x + |
|
e |
|
+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||
65. |
|
(3x2 + 2x − 9)cos x + + (x3 + x2 − 9x − 3)sin x + C . |
66. |
|
|
x2 ln2 2 − 2x ln 2 + 2 |
2x + C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
67. |
|
xln(2x − 1) − x − |
|
1 |
ln(2x − 1) + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68. |
|
2 x |
|
x ln x − |
4 x |
|
x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
69. |
|
xln(x2 + 4) − 2x + 4arctg |
x |
|
+ C . |
70. |
x2 |
|
ln(x −1) − |
1 |
|
(x +1)2 − |
1 |
ln |
|
x −1 |
|
+C . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
71. |
|
1 |
[(x2 + 1) ln(x2 + 1) − x2 − 1] + C . |
72. |
|
3 |
|
3 x4 |
(8ln2 x − 12ln x + 9) + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
73. |
|
x(ln2 x − 2ln x + 2) + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
74. |
|
|
1 |
|
(x2 +1)arctg x − |
x |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
75. |
|
2x |
2 − |
1 |
ar c sin x + |
1 |
x |
1 − x2 |
+ C . |
76. |
|
|
x tg x − |
x2 |
+ln |
|
cos x |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
4 |
|
|
x |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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77. |
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+ |
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sin 2x + |
|
|
cos 2x + C . |
|
78. |
xarccos x − |
1− x2 + C . |
|
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|
79. |
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1+ x2 arctg x − |
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4 |
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4 |
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8 |
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||||||||||
−ln(x + 1 + x2 ) +C . |
|
80. − |
2ln2 x + 2ln x + 1 |
+ C . |
|
81. |
|
1 |
ex |
(2sin 2x + cos 2x) + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4x2 |
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5 |
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||||||
82. |
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|
x |
(sin ln x − cosln x) + C . |
|
|
83. |
|
e px |
( p sin qx − q cos qx) |
+ C. |
|
|
|
|
84. |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
− |
1 |
|
tg x |
+ С . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
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p2 |
+ q2 |
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|
|
|
|
|
2cos2 x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
85. |
|
x − 2 |
|
e |
x |
+ C . |
86. |
|
x ar c sin |
2 |
x |
+ 2arcsin x 1 − x |
2 |
− 2x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + 2 |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
84
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
Т.1 |
|
|
|
|
|
|
Individual test problems |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||
1.1. Find the integrals. |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||
1.1.1. ∫ |
x2 − 3x + 2 |
|
dx . |
1.1.2. ∫ |
4 |
x |
7 |
(2 − |
x )dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
1.1.3. ∫ 5 x3 (4 + 3 |
|
x )dx . |
1.1.4. ∫ 3 x2 (1− 4 x )dx . |
|||||||||||||||||||||||||||
1.1.5. ∫ 5 x4 (1+ 3 x )dx . |
1.1.6. ∫ 6 x5 (3 − 3 x )dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||
1.1.7. ∫ |
x3 + 1 |
dx . |
|
|
|
|
|
1.1.8. ∫ |
|
|
|
|
x − x + 1 |
dx . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
7 x2 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
3 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.1.9. ∫ |
x + |
|
x − 2 |
dx . |
1.1.10. ∫ 3 x7 (5 − 5 x )dx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.1.11. ∫ (5 x4 |
|
+ 1) 3 x4 )dx . |
1.1.12. ∫ 4 x5 (2 − 6 x )dx . |
|||||||||||||||||||||||||||
1.1.13. ∫ 3 x8 (1+ 3 x )dx . |
1.1.14. ∫ (4 x9 + 1) 3 x2 )dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||
1.1.15. ∫ 7 x5 (1− 7 x )dx . |
1.1.16. ∫ |
x |
x + 1 |
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.17. ∫ |
|
3 x − x2 + 2 |
|
|
dx . |
1.1.18. ∫ |
x4 + |
x − 3 |
dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x5 |
|||||||||
1.1.19. ∫ 3 x7 (3 + 4 x )dx . |
1.1.20. ∫ 3 x4 (1+ 5 x )dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||
1.1.21. ∫ 5 x3 (5 − |
|
x )dx . |
1.1.22. ∫ |
|
x |
x + 4 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.23. ∫ |
3 x − 2x3 + 1 |
dx . |
1.1.24. ∫ |
|
x2 + |
x − 1 |
|
dx . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x7 |
|||||||||
1.1.25. ∫ 4 x9 (1− |
|
x )dx . |
1.1.26. ∫ (5 x + 2) 3 x2 )dx . |
|||||||||||||||||||||||||||
1.1.27. ∫ 4 x3 (3 − 3 x )dx . |
1.1.28. ∫ |
x2 |
x + 1 |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
1.1.29. ∫ |
3 x − 3x2 + 1 |
dx . |
1.1.30. ∫ |
|
x4 + |
x − 2 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
1.2. Find the integrals. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|||||||||||||||||
1.2.1. ∫ |
2 |
− |
3x |
|
|
dx . |
1.2.2. ∫ |
|
3 − 5x |
|
dx . |
1.2.3. ∫ |
|
8 − 13x |
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ 2 |
|
|
1 |
− x2 |
|
|
|
|
|
x2 − 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.2.4. ∫ |
|
6x + 1 |
|
|
dx . |
1.2.5. ∫ |
|
|
x − 2 |
|
|
|
dx . |
1.2.6. ∫ |
|
|
3 − 7x |
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||
2x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
− 4x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1.2.7. ∫ |
|
|
|
|
5 − 3x |
|
|
dx . |
1.2.8. ∫ |
|
1 + x |
|
|
|
dx . |
1.2.9. ∫ |
|
3x + 2 |
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x2 + 1 |
|
|
2 − x2 |
|
2x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.2.10. ∫ |
|
|
1 − 5x |
|
|
dx . |
1.2.11. ∫ |
|
4x − 3 |
|
dx . |
1.2.12. ∫ |
|
|
|
5x + 1 |
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||
25x |
2 |
+ |
|
|
3x |
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1.2.13. ∫ |
|
|
|
|
x − 3 |
|
|
dx . |
1.2.14. ∫ |
|
|
|
5 − 3x |
dx . |
1.2.15. ∫ |
|
|
|
|
4 − 2x |
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
9x |
2 |
+ 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 4x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.2.16. ∫ |
|
5 − x |
dx . |
1.2.17. ∫ |
|
|
|
1 + 3x |
dx . |
1.2.18. ∫ |
|
|
5 − 4x |
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1.2.19. ∫ |
|
|
5x − 1 |
|
|
dx . |
1.2.20. ∫ |
|
1 − 3x |
|
dx . |
1.2.21. ∫ |
|
|
|
|
x − 5 |
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
2 |
− |
1 |
|
3 − |
2x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.2.22. ∫ |
|
|
x + 4 |
|
|
|
dx . |
1.2.23. ∫ |
|
2x − 7 |
|
dx . |
1.2.24. ∫ |
|
|
|
7x − 2 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 1 |
||||||||||||||||||||||
1.2.25. ∫ |
|
1 + 3x |
|
|
dx . |
1.2.26. ∫ |
|
|
x − 5 |
|
dx . |
1.2.27. ∫ |
|
3 − 7x |
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 7 |
|
|
x |
2 |
+ |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.2.28. ∫ |
8 − |
2x |
dx . |
1.2.29. ∫ |
|
3x + 7 dx . |
1.2.30. ∫ |
|
|
|
|
2x − 1 |
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 − 4 |
||||||||||||||||||||||||
1.3. Find the integrals. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.3.1. ∫sin 2 (1 − x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.2. ∫sin3 (1 − 2x)dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1.3.3. ∫ (1− 2 sin x)2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.4. ∫ cos3 (5x − 1)dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1.3.5. ∫cos3 (1 + 3x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.6. ∫(3 − sin 2x)2 dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1.3.7. ∫sin |
2 3x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.8. ∫(cos x + |
3) |
2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1.3.9. ∫cos |
3 |
(2x + 3)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.10. ∫sin |
3 4x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1.3.11. ∫(1 − cos 2x)2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.12. ∫sin 2 (2x − 1)dx . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
1.3.13. ∫sin 3 6xdx .
1.3.15. ∫sin 2 (4x − 3)dx .
1.3.17. ∫ (1+ 2 cos x)2 dx .
1.3.19. ∫ sin2 (2x − 1)dx .
1.3.21. ∫ (1− 3cos x)2 dx .
1.3.23. ∫sin3 (5x − 1)dx .
1.3.25. ∫ cos2 (2x + 1)dx .
1.3.27. ∫cos2 7xdx .
1.3.29. ∫sin3 4xdx .
1.4. Find the integrals. 1.4.1. ∫(4 − 3x) cos 2xdx .
1.4.3. ∫(x2 + 4)e− x dx .
1.4.5. ∫ x ln(4x − 1)dx .
1.4.7. ∫ln(x2 + 2x + 2)dx .
1.4.9. ∫(2 + x2 )cos xdx .
1.4.11. ∫(x + 2)3−2x+1 dx .
1.4.13. ∫ x ln(x + 3)dx .
1.4.15. ∫(3x − 1)ctg2 (3x − 1)dx .
1.4.17. ∫(2x − 1) cos2 xdx .
1.3.25. ∫ cos2 (2x + 1)dx .
1.3.27. ∫cos2 7xdx .
1.3.29. ∫sin 3 4xdx .
87
1.3.14.∫sin 2 2x dx .
1.3.16.∫ cos2 (1− 2x)dx .
1.3.18.∫cos2 3xdx .
1.3.20.∫ sin2 (1− x)dx .
1.3.22.∫cos2 25x dx .
1.3.24.∫ cos2 (3 − x)dx .
1.3.26.∫cos3 4xdx .
1.3.28.∫(sin x − 5)2 dx .
1.3.30.∫sin 2 34x dx .
1.4.2.∫(x2 − 1)sin 3xdx .
1.4.4.∫(x2 − 3)e2x dx .
1.4.6. |
∫ 2x − 1 ln (2x − 1)dx . |
1.4.8. |
∫ln(x2 − 2x + 5)dx . |
1.4.10.∫(3x − 7)2− x dx .
1.4.12.∫arctg(3x)dx .
1.4.14. ∫ 4 x ln xdx .
1.4.16. ∫ x tg2 (2x)dx .
1.4.18.∫(3 − x)sin2 2xdx .
1.3.26.∫cos3 4xdx .
1.3.28.∫(sin x − 5)2 dx .
1.3.30. ∫sin 2 34x dx .
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1.4. Find the integrals. 1.4.1. ∫(4 − 3x)cos 2xdx .
1.4.3. ∫(x2 + 4)e− x dx .
1.4.5. ∫ x ln(4x − 1)dx .
1.4.7. ∫ln(x2 + 2x + 2)dx .
1.4.9. ∫(2 + x2 )cos xdx .
1.4.11. ∫(x + 2)3−2x+1 dx .
1.4.13. ∫ x ln(x + 3)dx .
1.4.15. ∫(3x − 1)ctg2 (3x − 1)dx .
1.4.17. ∫(2x − 1)cos2 xdx .
1.4.19. ∫ x arcsin x2dx .
1.4.21. ∫ x ln(4 − x)dx .
1.4.23. ∫ln(x2 + 4x + 5)dx .
1.4.25. ∫(1+ 2x2 )cos 4xdx .
1.4.27. ∫ x arccos3xdx .
1.4.29. ∫ x ln(x2 + 3)dx .
1.4.2.∫(x2 − 1)sin 3xdx .
1.4.4.∫(x2 − 3)e2x dx .
1.4.6. |
∫ 2x − 1 ln (2x − 1)dx . |
1.4.8. |
∫ln(x2 − 2x + 5)dx . |
1.4.10.∫(3x − 7)2− x dx .
1.4.12.∫arctg(3x)dx .
1.4.14. ∫ 4 x ln xdx .
1.4.16. ∫ x tg2 (2x)dx .
1.4.18.∫(3 − x)sin2 2xdx .
1.4.20.∫ x arcsin x4dx .
1.4.22.∫ 3 4 − 3x ln (4 − 3x)dx .
1.4.24.∫ln(x2 − 6x + 13)dx .
1.4.26.∫(x2 − 6)3x dx .
1.4.28.∫ x arctg(2x2 )dx .
1.4.30.∫ x arccos x2dx .
Topic 2. Polynomials. The rational functions
Values of polynomial functions. Fundamental theorem of algebra. Factor theorem. The factored form of a function. Proper and improper rational fractions. Long division to transform to mixed-number form — polynomial plus proper function. Linear factors of a polynomial function.
Literature: [1, ch. 4], [3, ch. 7, § 1], [4, section 7, § 22], [6, section 7], [7, ch.10, § 7—8], [8, 1 section, ch. 7, § 31].
Т.2 |
Main concepts |
|
2.1. Polynomial functions. Linear factors of a polynomial function
A polynomial function is a function that can be expressed in the form
Pn (x) = a0 xn +a1 xn−1 +...+an−1 x +an ,
88
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Where the degree n is a nonnegative integer, the coefficients a0, a1, …, an are real numbers, and an ≠ 0.
If Pn (x0 ) = 0 , the number x0 is called a root of the polynomial function Pn(x).
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(Factor |
theorem). x −x0 is a factor of polyno- |
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Theorem 1 |
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mial Pn (x) |
if and only if the polynomial equals 0 when x0 |
||
|
|
|||||
is substituted for x. On the other hand, |
||||||
|
|
|
|
|
, |
|
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|
|
Pn (x) = (x −x0 )Qn−1 (x) |
||
where Qn−1 (x) is a polynomial of n–1 degree. |
||||||
|
|
|
(Bezoo’s remainder theorem). If polynomial Pn(x) is |
|||
|
Theorem 2 |
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||||
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|
divided by (x - λ), then the remainder R is Pn(λ). That is, if |
|||
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|
|
||||
then |
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Pn(x) = (x - λ) Pn − 1(x) + R |
||||
|
|
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|
||
|
|
|
|
|
Pn(λ) = R. |
This is not difficult to show to be true, for if
Pn(x) = (x - λ) Pn − 1(x) + R
then
Pn(λ) = (λ - λ) Pn − 1(λ) + R = R.
(Fundamental theorem of algebra). If Pn(x) is a
polynomial function of degree n > 0, then Pn(x) has at least one complex zero.
Of course, a direct result of this is that the polynomial equation Pn(x) = 0 has at least one complex root.
Now, suppose that we have a polynomial function Pn(x) and that x1 is zero of P. By the theorem 1, this implies that (x − x1) is a factor of P and that we can write P as
Pn(x) = (x − x1) Qn − 1(x)
where Qn − 1(x) is a polynomial function of degree n − 1. Now, by the theorem 3, Qn − 1(x) in tern has a zero x2, and Qn − 1(x) can be written as
Qn − 1(x) = (x − x2) Qn − 2(x)
where Qn − 2(x) is a polynomial function of degree n − 2. This implies that
Pn(x) = (x − x1) (x − x2) Qn − 2(x). If we continue this process, eventually arrive at
Pn(x) = (x − x1) (x − x2) … (x − xn)Q0(x)
where Q0(x) is a polynomial function of degree 0, namely, a constant function. We have the rational function it to you as an exercise to show that Q0(x) = a0, the leading coefficient of P.
89
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Theorem 4 |
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If Pn(x) is polynomial function of degree n > 0 and |
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|
|
leading coefficient a0, then |
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|
Pn(x) = a0 (x − x1) (x − x2) … (x − xn) |
|
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|
|
|
where x1, x2, x3, …, xn are the complex zeros of Pn(x). Particularly,
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ax2 +bx +c = a(x −x )(x −x ) |
, |
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||||
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1 |
|
2 |
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|
|
where x1, x2, x3, …, xn are the complex zeros of ax2 +bx +c = 0 . |
|
||||||||||||
If P (x) |
is divided a without remainder by (x −x )k , but is not divided by |
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
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0 |
|
|
|
|
(x −x )k+1 , then x |
is called the repeated k times roots of |
P (x) . |
|
||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
In this case |
|
|
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|
|
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|||
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P (x) = (x −x )k Q |
(x) , Q |
|
(x ) ≠ 0 . |
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|||||||
|
|
|
n |
0 |
n−k |
n−k |
0 |
|
|
|
|
||
Whether |
a polynomial Pn(x) has the roots |
x1 , x2 , |
, xm (m ≤n) , |
with |
|||||||||
repeated accordingly k1 , k2 ,…, km , then |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
P (x) = a (x −x )k1 (x −x )k2 |
...(x −x |
)km |
. |
(*) |
||||||
|
|
|
n |
0 |
1 |
2 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Identity equations). An identity is an equation that is |
||||||||
|
Theorem 5 |
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true for all values of the variable. |
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||||||||
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|
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|
|
(Conditional equations). A conditional equation is one that is true for some value(s) of the variable and not true
for other values of the variable
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|
|
a0 =b0 , a1 = b1 , …, an = bn . |
||
|
|
|
(Conjugate root theorem). If Pn(x) is a polynomial |
||
|
Theorem 7 |
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|||
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|
function of degree n > 0 with real coefficients, and if a +bi |
|||
|
|
|
is a zero of P, then a −bi |
is also a zero of P. Moreover, the |
|
number of the conjugate roots a +bi |
and a −bi is the same. |
||||
Let us consider the product |
|
|
|||
(x −(a +bi))(x −(a −bi)) = ((x −a)−bi)((x −a) +bi) = (x−a)2 +b2 = |
|||||
|
|
|
= x2 −2ax +a2 +b2 = x2 + px +q , |
||
where p =−2a, |
q = a2 +b2 . |
|
|
||
|
Therefore, if |
a |
polynomial Pn(x) has a pair of conjugate complex roots |
||
a ±bi , we can substitute (see (*)) |
product |
(x −(a +bi))(x −(a −bi)) for a |
|||
quadratic trinomial |
x2 + px +q |
with real |
coefficients and a negative |
||
discriminant. |
|
|
|
|
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|
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|
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