Higher_Mathematics_Part_2
.pdf3.2.25. ∫ |
(x |
+ 2)dx |
. |
|
3.2.26. ∫ |
(3 |
x − 2)dx |
. |
3.2.27. ∫ |
|
(x |
− 7)dx |
. |
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
x |
− x − 2 |
|
|
x |
+ 8x + 17 |
|
4x |
|
+ 3x − 1 |
|
|||||||||||
3.2.28. ∫ |
(2x + 1)dx |
|
. 3.2.29. ∫ |
|
(x − 4)dx |
|
. |
|
3.2.30. ∫ |
|
|
|
|
xdx |
|
. |
||||||
5x |
2 |
+ 2x + 1 |
|
x |
2 |
− x + 1 |
|
|
x |
2 |
− 8x + 20 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
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3.3. Express the integrant as the sum of partial fractions and determine the resulting integral.
3.3.1. ∫ |
|
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|
3x2 + 20x + 9 |
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||
(x |
2 |
+ 4x + |
3)(x + |
5) |
||||||||||||||||
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|||||||||||||
3.3.3. ∫ |
|
|
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|
43x − 67 |
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|
dx . |
||||||||
|
(x |
2 |
− x − 12)(x − 1) |
|||||||||||||||||
|
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||||||||||||
3.3.5. ∫ |
|
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|
12x |
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|
dx . |
||||||||
(x |
2 |
+ 6x + |
5)(x + |
3) |
|
|||||||||||||||
|
|
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||||||||||||
3.3.7. ∫ |
|
|
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|
x2 + 8x − 4 |
|
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|
dx . |
|||||||||
(x |
2 |
+ 5x + |
6)(x − |
1) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||
3.3.9. ∫ |
|
|
|
6x2 + 6x − 6 |
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|
dx . |
|||||||||||||
(x |
2 |
|
|
|
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|
|||||||||||
|
|
|
|
+ x − 2)(x + 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.3.11. ∫ |
|
|
|
3x2 + 3x − 24 |
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||
(x |
2 |
− x |
− |
2)(x − |
3) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.3.13. ∫ |
|
|
|
|
3x2 − 15 |
|
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|
dx . |
|||||||
(x |
2 |
+ 5x |
|
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|
||||||||
|
|
|
|
+ 6)(x − 1) |
||||||||||||||||
3.3.15. ∫ |
|
|
|
|
6x |
|
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|
|
dx . |
||||||||||
x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− x − 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
3.3.17. ∫ |
|
|
|
2x2 + 41x − 91 |
|
|
|
dx . |
||||||||||||
(x |
2 |
+ 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
− 3)(x + 2) |
||||||||||||||||
3.3.19. ∫ |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
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|
|
dx . |
||||
(x |
2 |
+ 8x |
+ 15)(x + |
1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.3.21. ∫ |
|
|
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|
6x4 |
|
|
dx . |
||||||||||||
(x |
2 |
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
− 1)(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.23. ∫ |
|
|
|
2x2 + 12x − 6 |
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||
(x |
2 |
1) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ 8x + 15)(x + |
|
3.3.2. ∫ |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
dx . |
||
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
− 2x + 3)(x − 2) |
|||||||||
3.3.4. ∫ |
|
|
|
|
2x2 + 8x + 9 |
dx . |
|||||||
(x |
2 |
+ x − 2)(x + 3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.3.6. ∫ |
|
|
|
|
|
|
2x − 7 |
|
|
dx . |
|||
|
(x |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
− 5x + 6)(x + 1) |
|||||||||
3.3.8. ∫ |
|
|
|
|
|
|
5x + 17 |
|
|
|
dx . |
||
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
+ 4x + 3)(x + 5) |
|||||||||
3.3.10. ∫ |
|
|
|
|
|
37x − 85 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
(x |
2 |
+ 2x − 3)(x − |
3) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.12. ∫ |
|
|
|
|
6x2 − 4x + 30 |
|
|
|
|
|
dx . |
||
|
(x |
2 |
− 2x − 3)(x − |
2) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.14. ∫ |
|
|
|
|
|
x2 − 19x + 6 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
(x |
2 |
+ 5x + 6)(x − |
1) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.16. ∫ |
|
|
|
|
4x2 + 32x + 52 |
|
|
|
|
|
dx . |
||
|
(x |
2 |
+ 6x + 5)(x + |
3) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.18. ∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
(x |
2 |
+ 2x − 3)(x + |
2) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.20. ∫ |
|
|
|
|
|
6x2 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
(x |
2 |
+ 3x + 2)(x − |
1) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.22. ∫ |
|
|
|
|
|
2x2 − 26 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
(x |
2 |
+ 4x + 3)(x + |
5) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.24. ∫ |
|
|
|
|
|
20x2 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
(x |
2 |
+ 2x − 3)(x − |
4) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
111
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.3.25. ∫ |
|
|
|
x − 7 |
|
|
|
dx . |
3.3.26. ∫ |
|
|
6x − 21 |
dx . |
|||
(x |
2 |
− 5x + 6)(x |
+ 1) |
|
(x |
2 |
+ x − 2)(x + 1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.3.27. ∫ |
|
|
|
2x4 − 3 |
|
|
|
dx . |
3.3.28. ∫ |
|
|
7x2 − 17x |
|
|
dx . |
|
(x |
2 |
− 5x + 4)(x |
+ 3) |
(x |
2 |
− |
2x − 3)(x − 2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.3.29. ∫ |
6x4 − 30x2 + 30 |
dx |
. |
3.3.30. ∫ |
|
3x2 − 17x + 2 |
|
|
dx . |
|||||||
(x |
2 |
− 1)(x + 2) |
|
(x |
2 |
+ |
5x + 6)(x − 1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. Express the integrant as the sum of partial fractions and determine the resulting integral.
3.4.1. ∫ |
|
x3 + 1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4.2. ∫ |
x3 |
− 2x 2 − 2x + 1 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
3 |
|
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.4.3. ∫ |
|
|
|
|
|
|
3x2 + 1 |
|
|
|
|
dx . |
|
3.4.4. ∫ |
|
|
|
|
x + 2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(x |
2 |
|
|
− 1)(x − |
1) |
|
|
x |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3.4.5. ∫ |
4x 4 |
|
|
+ 8x3 − 3x − 3 |
|
dx . |
3.4.6. ∫ |
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
+ x |
|
|
x |
3 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3.4.7. ∫ |
|
2x 2 |
|
|
− 2x − 1 |
dx . |
|
3.4.8. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− x |
3 |
|
|
|
|
|
(x |
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 1)(x + 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||
3.4.9. ∫ |
|
2x3 + 1 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
3.4.10. ∫ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.4.11. ∫ |
|
2x2 − 5x + 1 |
dx . |
|
3.4.12. ∫ |
|
|
x2 + x + 2 |
dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
− 2x |
2 |
+ x |
|
|
|
|
x |
3 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3.4.13. ∫ |
|
|
3x 2 + 2 |
|
dx . |
|
|
|
3.4.14. ∫ |
|
4x4 + 8x3 − 1 |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x(x + 1) |
2 |
|
|
|
(x |
2 |
+ x)(x + 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3.4. 15. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
3.4.16. ∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
− 2x |
2 |
+ x |
|
|
x |
3 |
|
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3.4.17. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 3 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
3.4.18. ∫ |
|
6x − 2x2 − 1 |
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x |
2 |
|
− 1)(x − 1) |
|
|
x |
3 |
|
− |
2x |
2 |
+ x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3.4.19. ∫ |
|
|
x3 − 4x 2 − 1 |
|
dx . |
|
3.4.20. ∫ |
4x 4 + 8x3 − 2 |
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
− 2x |
2 |
+ x |
|
|
|
x(x + 1) |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3.4.21. ∫ |
|
|
|
|
x3 − 4x + 5 |
|
|
dx . |
|
3.4.22. ∫ |
|
x 2 − 3x + 2 |
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x |
2 |
|
− 1)(x − 1) |
|
|
x |
3 |
|
+ |
2x |
2 |
+ x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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112 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.4.23. ∫ |
|
|
|
|
x + |
5 |
|
|
|
|
dx . |
3.4.24. ∫ |
|
|
3x2 − 7x + 2 |
|
dx . |
|||||||||||||
x |
3 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
− x + 1 |
|
|
|
|
− x)(x − 1) |
||||||||||||||||||||
3.4.25. ∫ |
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
dx . |
3.4.26. ∫ |
|
2x3 + 4x + 3 |
dx . |
|||||||||||||||
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
+ x |
2 |
|||||||||||||
|
|
− 1)(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.4.27. ∫ |
|
|
|
2x2 + 1 |
|
|
dx . |
3.4.28. ∫ |
|
2x3 |
+ 5x2 − 1 |
dx . |
||||||||||||||||||
x |
3 |
− 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
+ x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3x − x |
2 |
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
4x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
3.4.29. ∫ |
|
|
|
dx . |
3.4.30. ∫ |
|
|
+ 1 |
dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x(x − 1) |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. Express the integrant as the sum of partial fractions and determine the resulting integral.
3.5.1. ∫ |
|
|
3x + 13 |
dx . |
(x |
2 |
+ 2x + 5)(x − 1) |
||
|
|
|
3.5.3.∫ x2 − 6x + 8 dx .
x3 + 8
3.5.5. ∫ |
|
2x2 + 2x + 20 |
dx . |
|
(x |
2 |
+ 2x + 5)(x − 1) |
||
|
|
|
3.5.7.∫ 7x − 10 dx .
x3 + 8
3.5.9.∫ 4x − x2 − 12 dx .
x3 + 8
3.5.11. ∫ |
|
2x2 + 2x + 20 |
dx . |
|
(x |
2 |
+ 2x + 5)(x − 1) |
||
|
|
|
3.5.13.∫ 6 − 9x dx .
x3 + 8
3.5.15.∫ 4x + x + 10 dx .
x3 + 82
3.5.17. ∫ |
|
(x 2 + 4x + 20)dx |
. |
|
|||
2 |
|||||||
|
(x |
|
− 4x + 13)(x + 1) |
||||
3.5.19. ∫ |
|
|
|
8 |
|
|
dx . |
|
(x |
2 |
+ 6x + |
|
|
||
|
|
|
13)(x + 1) |
3.5.2. ∫ |
|
|
|
|
12 − 6x |
||
|
(x |
2 |
− 4x |
+ 13)(x + 1) |
|||
|
|
|
|
||||
3.5.4. ∫ |
|
|
|
4x + 2 |
dx . |
||
|
x |
4 2 |
|||||
|
|
|
+ 4x |
|
3.5.6.∫ x2 + 3x + 2 dx .
x3 − 1
9(x − 1)dx 3.5.8. ∫ (x 2 − 4x + 13)(x + 1) .
3.5.10.∫ 3 − 9x dx .
x3 − 1
3.5.12. ∫ |
|
|
(4x − 10)dx |
. |
|||
|
|
2 |
|
||||
|
(x |
− 2x + 10)x |
|||||
3.5.14. ∫ |
|
(x |
2 − 13x + 40)dx |
||||
2 |
− 4x + 13)(x + 1) |
||||||
|
(x |
||||||
3.5.16. ∫ |
|
|
6x |
|
dx . |
||
|
x |
3 |
− 1 |
||||
|
|
|
|
|
3.5.18.∫ 3x + 2x + 1 dx .
x3 − 12
3.5.20. ∫ |
|
(4x 2 + 38)dx |
(x |
2 |
|
|
− 2x + 2)(x + 2) |
dx .
.
.
113
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3.5.21. ∫ |
|
|
|
19x − x |
2 − 34 |
|
dx . |
3.5.22. ∫ |
|
2x 2 + 7x |
dx . |
|
|
|
|
|||||||
|
(x |
2 |
− 4x + |
|
|
|
|
x |
3 |
− 8) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
13)(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.5.23. ∫ |
|
|
|
|
36 |
|
|
|
dx . |
3.5.24. ∫ |
|
|
|
|
5x + 13 |
|
|
|
dx . |
|||
|
(x |
2 |
− 2x + |
|
|
|
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
10)(x + 2) |
|
|
|
+ 6x + 13)(x + 1) |
|||||||||||||||
3.5.25. ∫ |
|
|
|
|
x2 − 5x + 40 |
dx . |
3.5.26. ∫ |
|
|
|
4x2 + 7x + 5 |
|
dx . |
|||||||||
|
(x |
2 |
− 2x + |
5)(x + 2) |
(x |
− |
1)(x |
2 |
+ 2x + |
5) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.5.27. ∫ |
|
|
|
|
x2 + 23 |
|
dx . |
3.5.28. ∫ |
|
|
|
4x2 + 3x + 17 |
|
|
|
dx . |
||||||
|
(x |
2 |
+ 2x + |
5)(x + 1) |
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x + 5)(x − 1) |
|||||||||||||
3.5.29. ∫ |
|
|
5x2 + 17x + 36 |
dx . |
3.5.30. ∫ |
|
|
|
|
2x + 22 |
|
dx . |
||||||||||
(x |
2 |
+ 6x + 13)(x + 1) |
(x |
2 |
− 2x + 5)(x − |
1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Topic 4. Integrals involving powers of trigonometric functions
This section shows how to integrate certain products of powers of the six trigonometric functions, sin x, cos x, tg x (tan x), ctg x (cot x), sec x, cosec x (csc x),
sin mx, cos nx and so on. Since tg x = |
sin x |
, ctg x = |
cos x |
, sec x = |
1 |
and |
|
cos x |
sin x |
cos x |
|||||
|
|
|
|
cosec x = sin1 x , any such product can be expressed in the form sinnx cosmx for some integers n and m, positive, zero, or negative. The methods in this section
thus show how to compute ∫ sinn x cosm x dx for certain convenient
combinations of n and m.
The technique described in this section — a particular substitution — reduces the integration of any rational function R of sin x and cos x such as
∫ R(sin x, cos x)dx to the integration of a rational function of t. The latter can be accomplished by partial fractions. The method depends on the fact that sin x and cos x can both be expressed as rational functions of tg 2x .
Consider – π < x < π and let t = tg 2x .
Literature: [1, section 6, ch. 6.5], [2, section 2, ch. 2.1], [4, section 7, § 22], [6, section 8], [7, section 10, § 12], [9, § 32].
114
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Т.4 |
Main concepts |
|
|
4.1. Integration of sin mx cos nx, sin mx sin nx and cos mx cos nx
In this case are given the formulas:
sin mx cos nx = |
|
1 |
[sin(m + n)x + sin(m − n)x] , |
||
2 |
|||||
|
|
||||
sin mx sin nx = |
1 |
|
[cos(m − n)x − cos(m + n)x] , |
||
2 |
|
||||
|
|
|
|||
cos mx cos nx = |
|
1 |
[cos(m − n)x + cos(m + n)x] . |
||
2 |
|||||
|
|
||||
4.2. Integration of sinnx cosmx |
|
|
|
|
Consider the integral ∫ sinn x cosm xdx , where n and m are nonnegative integers.
4.2.1.If m = 1 and n ≥ 1 then the integral becomes: ∫ sinn x cos xdx . The substitution t = sin x turns this integral into the easy integral ∫tndt.
4.2.2.If n = 1 and m ≥ 1 then the integral becomes: ∫ cosm xsin xdx .
The substitution t = cos x turns this integral into the easy integral −∫tndt. 4.2.3. If m = 0 and n ≥ 3 and n = 2k + 1 is odd positive integer then the given
integral becomes ∫sinn x dx .
Recall that d(cos x) = –sin x dx. Thus
∫sin2k +1x dx = ∫sin2k x sin xdx = −∫(1− cos 2 x)k d (cos x) . This integral is easier than is given.
4.2.4.Similarly if n = 0 and m ≥ 3 and m = 2k + 1 is odd positive integer:
∫cos2k +1x dx = ∫cos2k x cos xdx = ∫(1− sin 2 x)k d (sin x) .
4.2.5.If m = 0 and n ≥ 2 and n = 2k is even positive integer then the given integral becomes ∫sin2k x dx .
Replace sin2x by |
1− cos2x |
. Then the given integral becomes |
|
2 |
|
|
1− cos 2 x k |
|||
∫ |
|
|
dx and is easier than |
|
2 |
||||
|
|
|
4.2.6. If n = 0 and m ≥ 2 and m integral becomes ∫cos2k x dx .
is given.
= 2k is even positive integer then the given
115
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Similarly replace cos2x by 1+ cos2x . 2
4.2.7. More generally to find ∫ sinn x cosm xdx , where m and n are non-
negative integers and n is odd, pair one sin x with dx to form sin x = − d(cosx) and use the identity sin2x = 1 − cos2x together with the substitution t = cosx. The new integrand will be a polynomial in t. A similar approach works on
∫ sinn x cosm xdx , if m is odd, as is illustrated by example 9.
If both n and m are even in ∫ sinn x cosm xdx the method of example 9 does
not apply. It |
then helps |
to use the identities sin2 x = |
1− cos 2x |
and |
cos2 x = 1+ cos 2x . |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
4.3. Integration of tgmx secnx |
|
|
||
Recall that |
d(tg x) = sec2 |
x dx and d(sec x) = sec x tg x dx. These formulas |
facilitate the computation of ∫tgmx secnx dx m and n nonnegative integers, when
m is odd or n is even. When m is odd , form sec x tg x dx , when n is even, form sec2x dx.
4.4. Description of the method
The method depends on the fact that cos x and sin x can both be expressed
as rational functions of |
|
tg |
|
|
x |
= t |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
The substitution t = tg |
|
x |
|
|
x |
= arctg t x = 2arctg t |
dx = |
2dt |
, |
||||||||||||
thus leads to the formulas: |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x = |
|
2t |
|
|
, |
cos x = |
1− t 2 |
and |
dx = |
|
2 |
dt . |
|
|
|
|||||
|
|
+ t 2 |
|
1+ t 2 |
|
+ t 2 |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
This substitution transforms any integral of a rational function of cos x and sin x into an integral of a rational function of t. The resulting rational function can then be integrated by the method of partial fractions.
This method is used to integrate a function such as
∫ dx . a cos x + b sin x + c
Keep in mind that the substitution t = tg 2x is called upon only when easier ways, such as those in the preceding section, don’t work.
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Summary of this section
The following table summarizes the techniques discussed and similar ones for other powers of trigonometric functions.
Table 2.2
№ |
Integrand |
|
|
|
|
|
|
|
Technique |
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|
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|
|
|
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|
|
1 |
sin2x |
|
|
|
|
Write sin2x as |
1− cos2x |
|
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|||||||||||||||
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|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
cos2x |
|
|
|
|
Write cos2x as |
1+ cos2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
sinnx (n odd) |
|
|
Write sinnx dx = sinn - 1x(sin x dx) and |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
use t = cos x; hence 1 – t2 = sin2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
4 |
cosmx sinnx |
Write cosmx sinnx dx = cosmx sinn - 1x(sin x dx) and |
||||||||||||||||||||||||||
|
(n odd) |
|
|
|
use t = cos x; hence 1 – t2 = sin2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
5 |
cosmx sinnx |
Write cosmx sinnx dx = cosm - 1 x sinnx (cos x dx) and |
||||||||||||||||||||||||||
|
(m odd) |
|
|
|
use t = sin x; hence 1 – t2 = cos2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
6 |
cosmx sinnx |
Replace cos2x by |
1+ cos2x |
|
and sin2x by |
1− cos2x |
||||||||||||||||||||||
|
(m and n |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
positive even |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
integers) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
tgmx secnx |
Write tgmx secnx dx as tgmx secn -2 x (sec2x dx) and |
||||||||||||||||||||||||||
|
(n ≥ 2 even) |
|
|
|
use t = tg x; hence 1 + t2 = sec2x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8 |
tgmx secnx |
Write tgmx secnx dx as tgm - 1x secn - 1 x (tg x sec x dx) |
||||||||||||||||||||||||||
|
(m odd) |
|
|
and use t = sec x; hence t2 – 1 = tg2x. |
|
|||||||||||||||||||||||
9 |
tgnx (n ≥ 2) |
Write tgnx= tgn - 2x tg2x = tgn – 2x sec2 x - tgn – 2x and |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
repeat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10 |
sec x |
|
|
|
∫sec x dx = ln |sec x + tg x| + C |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11 |
ctgmx cosecnx |
Write ctgmx cosecnx as ctgmx cosecn - 2x (cosec2 x dx) |
||||||||||||||||||||||||||
|
(n ≥ 2 even) |
and use t = ctg x; hence 1 + t2 = cosec2x |
||||||||||||||||||||||||||
12 |
ctgmx cosecnx |
Write ctgmx cosecnx as ctgm - 1x cosecn - 1x (сtg x |
||||||||||||||||||||||||||
|
(m odd) |
cosec x dx) and use t = cosec x; hence t2 - 1= ctg2x |
||||||||||||||||||||||||||
13 |
tgmx secnx(m |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
x + 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
and n even) |
|
|
|
|
Replace sec x by tg |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
∫sin |
n |
|
1 |
|
|
n−1 |
|
|
|
|
n − 1 |
∫sin |
n−2 |
xdx |
||||||||||||
|
sinn x |
|
xdx |
= − n cos xsin |
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
15 |
|
∫cos |
n |
|
|
1 |
|
|
n−1 |
|
|
|
n −1 |
∫ cos |
n−2 |
|
||||||||||||
|
cosn x |
|
x dx = |
|
sin x cos |
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
secn−2 x tg x |
|
|
n − 2 |
∫sec |
n−2 |
|
|
|||||||||||||
|
secn x (n ≥ 2) |
∫secn x dx = |
n − 1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
x dx |
|||||||||||||||||
|
|
n − 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
117 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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Т.4 |
Typical problems |
|
|
Find the integrals 1. ∫sin 2x cos 6xdx .
Solution. Since sin 2x cos 6x = 12 (sin 8x − sin 4x) , then
∫sin 2x cos 6xdx = 12 ∫(sin 8x − sin 4x)dx = − 161 cos 8x + 18 cos 4x + C .
2.∫cos2 xdx .
Solution. Replace cos2x by |
|
1+ cos2x , then |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∫cos |
2 |
xdx = ∫ |
1+ cos 2x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 cos 2xdx = |
2 x + |
4 sin 2x + C. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
I = ∫sin4 2xdx . |
|
|
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|
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|
|
1− cos2x , then |
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Solution. Replace sin2x by |
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2 |
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||
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|
I = ∫(sin |
2 |
2 |
= ∫ |
1 − cos4x |
2 |
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||||||||||||||||||||
|
|
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|
2x) dx |
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|
2 |
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dx = |
|
|
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|
|
|
|
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∫(1− 2 cos 4x + cos |
|
4x)dx = |
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|
|
|
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|||||||||||||
|
|
|
= |
1 |
2 |
1 |
|
∫ |
|
|
− 2 cos 4x + |
1+ cos8x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
dx = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||
|
1 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
∫ |
|
|
|
− 2 cos 4x + |
|
|
|
cos8x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
x |
− 2 |
|
|
sin 4x + |
|
|
|
sin 8x |
+ C= |
|||||||||||||||
4 |
2 |
2 |
|
4 |
2 |
|
|
4 |
2 |
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
= |
3 x − 1 sin 4x + |
|
|
1 |
|
sin 8x + C. |
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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64 |
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|
|
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|
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8 |
|
|
|
8 |
|
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4. |
∫sin 5 xdx . |
|
|
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Solution. ∫sin 5 xdx = ∫sin 4 x sin xdx = ∫(1− cos2 x)2 sin xdx = |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
= ∫(1− cos2 x)2 d(− cos x) = |
|
cos x = t |
|
= −∫(1− t 2 )2 dt = |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= −∫(1− 2t 2 + t 4 )dt = − t + |
2 |
t 3 − |
t 5 |
|
+ C = − cos x + |
2 |
cos |
3 x − |
cos5 x |
|
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||
5. |
∫ tg5 xdx . |
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||
Solution. Multiplying the integrand we get |
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|
|
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118 |
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
∫ tg |
5 |
|
xdx |
|
= |
∫ tg x |
(tg |
2 |
x) |
2 |
dx = ∫ tg x ( |
|
1 |
|
|
− 1) |
2 |
dx |
= ∫ |
|
|
tg x |
|
|
dx |
− |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
cos |
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
− 2 ∫ |
|
|
tg x |
|
|
dx +∫ tg xdx = ∫ |
sin x |
|
dx |
−2∫ tg xd tg x |
+ ∫ |
|
|
sin x |
dx = |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
2 |
|
|
cos |
5 |
x |
|
|
cos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= −∫ |
|
d cos x |
− tg |
2 |
x |
− ∫ |
d cos x |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
− tg |
2 |
x |
− ln |
|
cos x |
|
+ C . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
4 cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. ∫sin7 3xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|||||||
Solution. |
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
Recall that d(cos 3x) = − 3sin 3x dx. Thus:
∫sin7 3xdx = ∫sin6 3x sin 3xdx = − 13 ∫(1− cos2 3x)3 d (cos3x).
Let t = cos3x, we obtain then |
∫sinn 3xdx = − |
1 |
∫(1− t2 )3 dt = |
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
∫(1− 3t |
2 |
|
4 |
|
|
6 |
)dt = − |
1 |
|
3 |
|
3 |
|
5 |
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
= − |
|
|
+ 3t |
|
− t |
|
|
t − t |
|
+ |
|
t |
|
− |
|
t |
|
− |
3C |
= |
||||
3 |
|
|
|
3 |
|
5 |
|
6 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=− 13 cos3x + 13 cos3 3x − 15 cos5 3x + 181 cos6 3x + C.
7.∫sin5 x cos xdx .
Solution.
The substitution sin x = t transforms the given integral into
∫ sin5 x cos xdx = ∫ sin5 xd(sin x) = ∫ t5 dt = |
t6 |
+ C = |
sin6 x |
+ C . |
|
|
|||
6 |
6 |
|
8. I = ∫sin4 xcos5 xdx.
Solution.
Let’s represent the product of cos x and dx as cos x dx = d(sin x), which suggests the substitution t = sin x:
I = ∫sin4 xcos4 xd(sin x) =
= ∫sin4 x(1 − sin2 x)2 d(sin x) = ∫t 4 (1 − t 2 )2 dt = ∫t 4 (1 − 2t 2 + t 4 )dt =
∫(t 4 − 2t6 + t8 )dt = |
t5 |
− |
2t7 |
+ |
t9 |
+ C = sin5 x |
− |
2sin7 x |
+ sin9 x |
+ C. |
|
7 |
|
7 |
|||||||
5 |
|
9 |
5 |
|
9 |
|
9. I = ∫sin4 xcos2 xdx.
119
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Solution. I = ∫(sin |
2 |
2 |
|
2 |
xdx = ∫ |
1 − cos2x 2 |
1 + cos2x |
dx |
= |
|
|
|
|||||||||
|
x) cos |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
1 ∫ (1− 2 cos 2x + cos2 |
2x)(1+ cos 2x)dx = |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
∫ (1− cos 2x |
8 |
|
|
|
|
2x)dx = |
1 |
x |
|
sin 4x |
|
sin3 |
2x |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
− cos |
|
2x + cos |
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
+ C. |
|||||
8 |
|
|
8 |
2 |
8 |
|
6 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. Find ∫ tgm x dx. |
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Solution. Keep in mind that tg′ x = sec2x |
and that tg2x = sec2x − 1. The steps |
||||||||||||||||||||
are few: ∫ tgm x dx = ∫ tgm−2 x tg2 xdx = ∫ tgm−2 x (sec2 x − 1)dx = |
|
|
|
|
= ∫ tgm−2 x sec2 xdx − ∫ tgm−2 xdx = t = tg x =∫tm−2dt − ∫ tgm−2 xdx =
=tgm−1 x − ∫ tgm−2 xdx. m − 1
Repeated application of this recursion eventually produces ∫ tg xdx or
∫ tg0 xdx. Both are easily computed: ∫ tg xdx = − ln |
|
cos x |
|
+ C; |
∫ tg0 xdx = x + C. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
11. Obtain a recursion formula for ∫secn xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Solution. Write secnx as secn –2x sec2x and use integration by parts: |
|
|||||||||||||||
∫secn−2 x sec2 xdx = |
|
u = secn−2 |
x du = |
( |
n − 2 |
) |
secn−2 |
x tg xdx |
|
= |
||||||
|
|
|||||||||||||||
|
dv = sec |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
xdx v = tg x |
|
|
|
||||||||||
= secn−2 tg x − ∫ tg x (n − 2)secn−2 x tg xdx = secn−2 x tg x − |
|
|||||||||||||||
− (n − 2)∫secn−2 x(sec2 x − 1)dx = secn−2 x tg x − (n − 2)∫secn xdx + |
+ (n − 2)∫secn−2 xdx. Collecting ∫secn x dx, we obtain
(n − 1)∫secn xdx = secn−2 x tg x + (n − 2)∫secn−2 xdx and therefore
∫secn xdx = |
secn−2 x tg x |
+ |
|
n − 2 |
|
∫secn−2 dx . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
n − 1 |
|
|
|
|
|
|
n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
12. ∫sec xdx. |
|
dx |
|
cos x dx |
|
|
|
cos x dx |
|
|
|
|||||||||||
Solution. ∫sec xdx = ∫ |
= ∫ |
= ∫ |
= |
|
|
|||||||||||||||||
cos x |
cos |
2 |
x |
1 − sin |
2 |
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
t = sin x; |
|
= ∫ |
|
|
dt |
|
|
= 1 ln |
|
1+ t |
|
+ C. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dt = cos x dx. |
1 |
− t |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1− t |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
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