0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

Оскільки

< 0 , то в точці M1 (1; 1)

екстремум відсутній.

Точці M 2

(1; − 1)

відповідають значення

A = 2 ,

B = 0 , C = 12 , = 24 > 0 .

Оскільки

> 0

і A > 0 ,

то в точці

M 2 (1; − 1) функція сягає мінімуму,

причому zmin

= z(1; − 1) = −3 .

звідки знаходимо єдину стаціонарну точку M (0; 0) .

Частинні похідні другого порядку мають вигляд

∂ 2 z

= 6x + 2 y ,

∂ 2 z

= 2 y + 2x ,

∂ 2 z

= 2x .

∂x2

∂x∂y

∂y

2

z(x;

0) = x3 > 0 , а при x < 0 z

(x; 0) = x3 < 0 . Отже, в довільному околі то-

чки

M (0; 0) функція набуває

як додатних, так і від’ємних значень. Це

∂u = 2x −4(1−x + y) = 0 ;

∂u = 2 y + 4(1−x + y) = 0 ;

∂x

∂y

x − 2(1− x + y) = 0,

y = − x,

x = 2 / 5,

y + 2(1− x + y) = 0;

5x = 2;

y = −2 / 5.

2

2

Отже, функція u(x, y) має єдину стаціонарну точку

M

; −

.

5

5

Частинні похідні другого порядку функції u(x, y) такі:

∂ 2u

= 6 ;

∂ 2u

= −4 ;

∂ 2u

= 6 .

∂x2

∂x∂y

∂y

2

Оскільки

(M ) = 6 6 − (−4)2 = 20 > 0 та

A =

∂ 2u

= 6 > 0 ,

то у точці

2

2

∂x2

M

; −

ця функція

досягає мінімуму.

Знаходимо

координату z:

5

5

z = 1 −

2

−

2

=

1

.

5

5

5

Отже,

функція u = x2 + y2 + 2z2

за умови x − y + z =1 має у точці

2

2

1

2

M1

; −

;

мінімум, причому umin = u(M1 ) =

.

5

5

5

5

x2

8. Знайдіть умовний екстремум функції z = 3x + 2 y3

за умови

+y2 =1,

4

x = 2 cos t , y = sin t , t −

π

;

π

.

2

2

За умовою t −

π

;

π

, тому t = 0 — єдина стаціонарна точка, пере-

2

2

максимуму

функції z(t).

Знаходимо xmax = 2 cos 0 = 2 ,

ymax = sin 0 = 0 ,

zmax = 6 .

(2; 0) — точка умовного максимуму функції

Таким чином, точка

z = 3x + 2 y3

на кривій

x2

+ y2 = 1, x ≥ 0 .

4

9. Знайдіть умовний екстремум функції z = 8 − 2x − 4 y

за умови x2 +

∂L

= −2

+ 2λx =

0,

∂x

λx = 1,

x = 1/ λ,

∂L

= −4

+ 4λy =

0,

λy = 1,

∂y

y = 1/ λ,

2

+ 2 y

2

= 12;

2

= 1/ 4,

∂L

= x2 + 2 y2 − 12

=

x

λ

∂λ

0;

x = y = 2 ; якщо

звідки знаходимо дві критичні точки: якщо λ = 1/ 2 ,

то

λ = −1/ 2 , то x = y = −2 . Отже, точки M1 (2; 2) , M 2 (−2; − 2)

— точки мож-

∂2 L

= 2λ ;

∂2 L

=

4λ ;

∂ 2 L

= 0

;

∂x2

∂y2

∂x∂y

d 2 L = 2λdx2 + 2 0dxdy + 4λdy2

= 2λ(dx2 + 2dy2 ) .

y

Розв’язання. Знайдемо спочатку стаціонарні точ-

ки функції z(x, y) . Маємо

2

В

∂z

= 2x + y = 0,

1

∂x

x = 0,

А

D

∂z

= x + 4 y = 0

y = 0.

∂y

–1

М

1

С

x

Отже, M (0; 0) — єдина стаціонарна точка даної

–1

К

функції, ця точка належить області D (рис. 1.13).

Переходимо до дослідження функції на межі об-

Рис. 1.13

ласті D, яка складається із чотирьох відрізків АВ,

ВС, СК і КА.

Рівняння відрізка АВ:

y = x + 1, x [−1;1] , на цьому відрізку функція

max z(x, y) = z(1; 2) = 11 ;

min z(x, y) = z(0; 0) = 0 .

D

D

1.

z = x 2 + 3y 2

, M (2; 1) .

2.

sin 2 x + sin 2

y + cos2 z = 2 , M (π / 2, π / 4, π / 4) .

6. Знайдіть похідну функції

z = ln(x2 + y 2 ) в точці M (2; 1) в напрямі

до точки N (6; 4) .

7. Знайдіть похідну функції

z = x 2 − 3xy + 2 y 2 у точці M (1; 1) за на-

прямом її градієнта.

11.

z = x 2

− 4xy + 5y 2 − 2x + 10 y .

12.

z = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y .

13.

z = x2

+ xy + y 2 − 4 ln x − 10 ln y .

14.

z = 2x4 + xy3 .

15.

z = x

1 + y + y 1 + x .

16.

z = e x2 − y (5 − 2x + y) .

17.

u = x2 − y 2 ,

якщо x + 2y − 6 = 0 .

18.

u = xyz ,

якщо x + y + z = 6 .

19.

u = 4x 2 + y 2 ,

якщо

1

+

2

− 4 = 0 .

x

y

20.

u = xy 2 z 2 ,

якщо x + 4 y − 2z − 10 = 0 .

21.

u = 16 − 10x − 24 y ,

якщо x2

+ y 2 − 169 = 0 .

22.

u = 4x2 + 2y 2 + z 2 ,

якщо x2

+ y 2 + z 2 − 1 = 0 .

Знайдіть найбільше та найменше значення функції

z(x, y)

у вказаній

області D.

23.

z = x 2 − xy + y 2 − 3x + 3y , D = {(x, y)

x ≥ 0, y ≤ 0, x − y ≤ 3} .

24.

z = x3 + y3 − 3x − 9 y + 9 ,

D = {(x, y)

x

+

y

≤ 3} .

25.

z = 3x2 + 3y2 − x − y , D = {(x, y)

x ≤ 5, y ≥ 0, y ≤ x − 1} .

26.

z = 2x2 y − x3 y − x2 y2 , D = {(x, y)

x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6} .

27.

z = 4 − 2x2 − y2 ,

D = {(x, y)

y ≥ 0, y ≤

1 − x2 } .

Відповіді

1. 4x + 6 y − z − 7 = 0 ,

x − 2

=

y − 1

=

z − 7

. 2.

y − z = 0 ,

x − π / 2

=

y − π / 4

=

z − π / 4

4

6

− 1

0

1

=

.

3.

y + z + 2 = 0 ,

x − 2

=

y + 1

=

z + 1

.

4.

M1(1; 0; 0), x − y − 2z − 1 = 0,

−1

0

x − 1

y

z

3

3

x − 1

y

z

=

=

;

M2 (2;0;0),

x + 2 y + 4z − 2 = 0,

=

=

. 5. 5 або – 6. 6. 22 / 25 .

1

2

−1

1

2

4

7. 2. 8.

gradu = ek . 9. (2; 1), (0; –1). 10. 180° . 11. (–5;–3) — точка локального

= f (−3; 0) = −9, zmax = f (3; 0) = 27 . 25. zmin = f (1/6; 1/6) = −1/6,

zmax = f (5; 4) = 114.

26. zmin = 0, zmax = f (1; 0,5) = 0,25. 27. zmin = f (1; 0) = f (−1; 0) = 2 ,

zmax = f (0; 0) = 4.

3.1.29. z = 3 x2 + 3xy − 4x + 3y − 1,

M (1; 2) .

3.1.30. z = ln(x2 − 3xy − y − 2) ,

M (4; 1) .

3.2. Знайдіть кут між градієнтами функцій u і v у точці М.

3.2.1. u = arctg( x / y) ,

v = ln(x 2 +

y ) ,

M (1; 1) .

3.2.2. u =

3x2 + 4 y2 + z2 ,

v = 4 2x + 5y + 3z ,

M (1; 1; 3) .

3.2.3. u = arcsin(xy) ,

v = arccos(xy) ,

M (3; 1/ 4) .

3.2.4. u = x2 + y2 + z2 ,

v = x2 − 4 y + z2 ,

M (1; 1; 1) .

Знайдітькутміжградієнтамифункції u , обчисленимивточках M1 та M2 .

3.2.5. u = xy 2 z 4 ,

M1 (1; 2;1) ,

M 2 (1; − 1; 0) .

3.2.6. u =

xy z −2 ,

M1 (4;1;1) ,

M 2 (1; 9; − 1) .

3.2.7. u = 3

xy + 3 yz + 3 xz ,

M1 (1; 8;1) ,

M 2 (1; 1; 1) .

3.2.8. u = arctg(x + y2 z) ,

M1 (1;1;1) ,

M 2 (0;1; 2) .

Знайдіть похідну функції u в точці M1

у напрямку до точки M2 .

3.2.9. u =

x2 + xy + y3 ,

M1 (1; 0) ,

M 2 (2;1) .

3.2.10. u = ln(x2 − 3x + y2 ) ,

M1 (3; 1) ,

M 2 (2; 2) .

3.2.11. u = e x2 y (x + y)2 ,

M1 (0;1) ,

M 2 (−1; 2) .

3.2.12. u = sin 2 x cos 2y ,

M1 (π / 4;

π / 3) ,

M 2 (π / 3; 0) .

Знайдіть похідну функції u в точці M1

у напрямку її градієнта, обчис-

леного в цій точці.

3.2.13. u = 3 x + y 2 + z3 ,

M1 (3; 4; 2) .

3.2.14. u =

x2 + y 2

(x2 + z 2 )−1/ 2 ,

M1 (3; 4; − 4) .

3.2.15. u = ln( xy +

yz ) ,

M1 (1; 4;1) .

3.2.16. u = arcctg(xy2 z) ,

M1 (1; − 1; 2) .

Знайдіть grad u та | grad u | функції u в точці М.

3.2.17. u = xy 2 z −3 +

x ( yz)−1 ,

M (1; − 2; 2) .

3.2.18. u =

xyz +

x2 + y 2 + z 2 − 2 ,

M (1; 4; 1) .

3.2.19. u = ln(x3 + y3 + z3 ) ,

M (1; − 1; 2) .

3.2.20. u =

x2 + y2 + z2 ,

M (6; −2; 3) .

Знайдіть точки, для яких виконується умова grad u = a .

3.2.21. u = x2 + xy + yz + xz ,

aG = 5i + 3Gj + 2k .

3.2.22. u = x2 + y 2 + z 2 + 3xy + 2y + xz , aG = −i + 4k .

3.2.23. u =

x3

2

2

G

G

+ xy

+ z

,

a = 4i +

4 j − k .

3

3.2.24. u = x2 + 2 y2 − z2 − xy + 2x − 4z , aG = 5i + 2 Gj .

Знайдіть точки, в яких | grad u |= b .

3.2.25. u = ln(x2 + y 2 ) ,

b = 2 .

3.2.26. u = arctg

x

, b = 3 .

y

3.2.27. u =

x + 2y , b = 1 .

Знайдіть похідну функції u у точці М у напрямку її радіус-вектора.

3.2.28. u = arcsin

yzx ,

M (1; 1; 2) .

3.2.29. u =

x2 + y2 + z2 , M(1; 2; − 2).

3.2.30. u = ln sin(x + 2 yz) , M (0; π / 6;1) .

3.3. Дослідіть функцію z = f (x, y)

на екстремум.

3.3.1. z = 4x +

y 2

+ 2 y + y 2 .

x

3.3.5. z = ln(x4 y) +

1

+

1

− 3x .

x

y

3.3.6.

z = ln(xy2 ) +

5y + 6x

.

xy

3.3.7.

z = 9x +

y 2

+ 6y + 3y 2 + 2 .

x

3.3.15. z = x2

+ xy + y2 − 6x − 9 y .

3.3.16. z =

x2

− 2x −

1

− 2 y − 2 .

y

y3

3.3.17. z = x 2

+ 5y 2 + 2x + 4xy − 6 y .

3.4.1. u = x + 2 y ,

якщо 4x2 + 9 y2

= 36 .

3.4.2. u = 16x2 + y2 ,

якщо

1

+

2

− 4

= 0 .

2x

y

3.4.3. u = x − 2y + z ,

якщо x + y 2 − z 2 − 1 = 0 .