0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

Тема 3. ДЕЯКІ ЗАСТОСУВАННЯ ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ

Дотична площина та нормаль до поверхні. Похідна за напрямом. Градієнт функції кількох змінних. Екстремум функції двох змінних. Найбільше і найменше значення функції кількох змінних.

Література: [3, розділ 6, §3], [4, розділ 6, §20], [6, розділ 6], [7, розділ 8, §14—18], [9, §45—46].

Т.3 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

3.1. Дотична площина та нормаль до поверхні

Дотичною площиною до поверхні у точці дотику M 0 (x0 , y0 , z0 ) називають площину, що містить у собі всі дотичні прямі в точці M 0 до кривих, що лежать на поверхні і проходять через точку M 0 .

Нормаллю до поверхні у точціM 0 називають пряму, що проходить через точку M 0 перпендикулярно до дотичної площини в цій точці.

Рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні подано у таблицях

1.1 та 1.2.

Таблиця 1.2

41

3.2. Похідна за напрямом. Градієнт функції кількох змінних

Нехай функція u = f (x, y, z) визначена і неперервна в околі точки

42

Градієнтом функції u = f (x, y, z) у точці M (x, y, z) називають вектор, координатами якого є частинні похідні функції u(x, y, z) , обчислені в точці М, тобто

Між градієнтом і похідною за напрямом існує такий зв’язок:

3.3. Екстремум функції двох змінних

Нехай функція z = f (x, y) (або z = f (M ) ) визначена в деякому околі точки M 0 (x0 , y0 ) .

Функція z = f (M ) має в точці M 0 локальний максимум (мінімум),

якщо існує такий окіл точки M0 , при якому для всіх відмінних від M 0 точок цього околу виконується нерівність

f (M ) < f (M0 ) ( f (M ) > f (M0 ) ).

Точки локального максимуму та мінімуму називають точками локального екстремуму.

43

Означення локального екстремуму можна сформулювати ще й так.

Функція z = f (M ) має в точці M 0 локальний екстремум, якщо у достатньо малому околі точки M 0 приріст функції z(M 0 ) зберігає сталий знак, а саме: якщо z(M 0 ) > 0 , то M 0 — точка локального мінімуму, якщо ж z(M 0 ) < 0 , то M 0 — точка локального максимуму.

Далі поняття екстремуму та локального екстремуму будемо ототожнювати.

Наведемо приклади, які ілюструють поняття екстремуму.

Сформулюємо необхідні та достатні умови існування локального ек-

44

Зокрема, якщо z = f (x, y) — диференційовна функція і M 0 (x0 , y0 ) — точка екстремуму, то в цій точці виконується умова

Точку M 0 (x0 , y0 ) , яка задовольняє умову (1.11), називають стаціонарною точкою функції z = f (x, y) .

Стаціонарні точки та точки, в яких частинні похідні не існують, нази-

Тоді:

1)якщо > 0 , A > 0 ( C > 0) , то M 0 (x0 , y0 ) — точка мінімуму;

2)якщо > 0 , A < 0 ( C < 0) , то M 0 (x0 , y0 ) — точка максимуму;

3)при < 0 екстремум не існує;

4)при = 0 питання про екстремум відкрите.

3.4. Умовний екстремум

Розглянемо функцію z = f (x, y) за умови, що її аргументи зв’язані між собою співвідношенням

яке визначає на площині Oxy деяку лінію L і називається рівнянням зв’язку. Нехай координати точки M 0 (x0 , y0 ) задовольняють рівняння зв’язку (1.12), тобто точка M 0 лежить на лінії L .

45

Функція z = f (M ) має в точці M 0 умовний мінімум (максимум) за умови зв’язку (1.12), якщо існує такий окіл точки M 0 , що для довільної точки M (x, y) ( M ≠ M 0 ) із цього околу, координати якої задовольняють рівняння зв’язку, виконується нерівність

f (M ) > f (M 0 ) ( f (M ) < f (M 0 ) ).

Отже, умовний мінімум (максимум) — це найменше (найбільше) значення функції в точці M 0 відносно тільки тих точок із деякого околу точки

M 0 , які належать лінії L .

Наприклад, умовний мінімум функції z = x2 + y 2 за умови x + y = 1

zдосягається у точці M 0 (1/ 2;1/ 2) , тоді як безумовний екстремум — у точці O(0; 0) (рис. 1.12).

Точки умовного екстремуму функції z = f (x, y) ,

аргументи якої задовольняють умову (1.12), знаходять так: якщо рівняння зв’язку ϕ(x, y) = 0 можна розв’язати, наприклад, відносно змінної y : y = g(x) ,

M 0 (1/ 2;1/ 2) .

Коли ж рівняння зв’язку допускає параметризацію: x = x(t) , y = y(t) ,

46

тобто

ϕ(x(t), y(t)) ≡ 0 ,

задача відшукання умовного екстремуму зводиться до задачі на звичайний екстремум функції z = f (x(t), y(t)) .

Проте не завжди рівняння зв’язку можна параметризувати або розв’язати відносно якоїсь змінної. У цьому разі застосовують метод множників Лагранжа, суть якого полягає в тому, що задача умовного екстремуму функції z = f (x, y) за умови ϕ(x, y) = 0 замінюється задачею від-

шукання звичайного екстремуму функції Лагранжа:

де λ — множник Лагранжа, який не залежить від x і y .

Зазначимо, що в довільній точці M (x, y) , координати якої задовольняють рівняння зв’язку, виконується рівність:

L(x, y, λ) = f (x, y) .

Для відшукання точок можливого екстремуму функції (1.13) необхідно

за умови, що ϕ(x, y) = 0 . Далі досліджують знак другого диференціала d 2 L функції Лагранжа, враховуючи співвідношення

dϕ = 0 ∂∂ϕx dx + ∂∂ϕy dy = 0 .

Якщо d 2 L(M0 ) > 0 , то M 0 — точка умовного мінімуму. Якщо d 2 L(M0 ) < 0 , то M 0 — точка умовного максимуму.

3.5. Найбільше і найменше значення функції кількох змінних

Нехай у замкненій та обмеженій області D задано неперервну функцію z = f (x, y) . Згідно з теоремою Вейєрштрасса функція z досягає свого най-

більшого та найменшого значень.

47

Відшукання цих значень здійснюють за таким алгоритмом:

1. Знаходять усі точки можливого екстремуму функції z, які належать області D. Це — стаціонарні точки і точки, в яких не існує хоча б одна

частинна похідна ∂∂xz або ∂∂yz .

2.Знаходять усі точки межі області D, в яких може бути екстремум. Для цього необхідно скористатися одним із методів відшукання умовного екстремуму.

3.Знаходять точки перетину різних гладких частин межі.

4.Обчислюють значення функції z у відібраних точках, після чого вибирають серед них найбільше та найменше значення.

Т.3 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Напишіть рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні z = x 2 y + xy 3 у точці (2; 1).

Розв’язання. За умовою x0 = 2 , y0 = 1. Знаходимо аплікату точки до-

Підставивши ці значення у відповідні формули з таблиць 1.1 і 1.2, дістанемо рівняння дотичної площини

z − 6 = 5(x − 2) + 10( y − 1) , або 5x + 10 y − z − 14 = 0

і рівняння нормалі

x − 2 = y − 1 = z − 6 . 5 10 − 1

2. Напишіть рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні

x3 + y3 + z3 + xy2 z3 = 4

у точці M 0 (1; 1; 1) .

Розв’язання. Скористаємося формулами, вміщеними у таблицях 1.1 та 1.2. Маємо

48

49

Необхідна умова екстремуму (2.11) набуває вигляду

2x − 2 = 0,− 6 y 2 + 6 = 0,

звідки дістаємо дві точки можливого екстремуму: M1 (1; 1) і M 2 (1; − 1) .

З’ясуємо виконання достатньої умови локального екстремуму у знайдених точках.

Знайдемо частинні похідні другого порядку даної функції:

50