0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat
.pdfОтже, якщо многочлен Pn (x) має пару комплексно-спряжених коренів
a ±bi , то у розкладі |
многочлена на множники (див. (*)) добуток |
(x−(a +bi))(x−(a−bi)) |
можна замінити квадратним тричленом x2 + px +q |
з дійсними коефіцієнтами і від’ємним дискримінантом.
Таким чином, якщо коефіцієнти многочлена — дійсні числа, то, об’єднуючи множники з комплексно-спряженими коренями, можна розкласти цей многочлен у добуток лінійних і квадратичних множників з дійсними
коефіцієнтами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Довільний многочлен з дійсними коефіцієнтами можна |
||||||||||||
Теорема 8 |
|||||||||||||
|
подати увигляді добутку лінійних і квадратичних множників |
||||||||||||
|
|||||||||||||
з дійсними коефіцієнтами, тобто |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P (x) = a (x − x )k1 ... (x − x )kr (x |
2 + p x + q )s1 |
... (x2 + p |
x + q )sm . |
||||||||||
n |
0 |
|
1 |
|
|
r |
|
1 |
|
1 |
|
m |
m |
При цьому k |
+ k |
|
+ ... + k |
|
+ 2(s |
+ s |
+ ... + s |
|
) = n , |
|
|
____ |
|
2 |
r |
m |
D = p2 − 4q < 0, i = 1, m. |
||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
i |
i |
i |
2.2. Дробово-раціональні функції
Дробово-раціональною функцією (або раціональним дробом) називають функцію вигляду
f (x) = Pn (x) , Qm (x)
де Pn (x) і Qm (x) — многочлени відносно x степенів n і m відповідно. Раціональний дріб називають правильним, якщо степінь чисельника
менший за степінь знаменника, тобто n < m ; |
якщо n ≥ m , то раціональний |
|||||||||
дріб називають неправильним. |
Pn (x) |
|
|
|
|
|
||||
Довільний неправильний дріб |
|
|
можна подати у вигляді суми |
|||||||
Qm (x) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
многочлена і правильного раціонального дробу: |
||||||||||
|
Pn (x) |
= Pn−m (x) + |
Pk (x) |
|
, |
k < m . |
||||
|
Qm (x) |
Qm |
(x) |
|||||||
|
|
|
|
|
Тут Pn−m (x) — ціла частина даного дробу (многочлени степеня n − m ),
Pk (x) – правильний раціональний дріб.
Qm (x)
Цілу частину неправильного дробу можна дістати, наприклад, виконавши ділення многочлена Pn (x) на многочлен Qm (x) «кутом».
101
Елементарними раціональними дробами називають раціональні дроби таких чотирьох типів:
|
І. |
A |
; ІІ. |
A |
; |
ІІІ. |
|
Mx + N |
; ІV. |
Mx + N |
, |
|
|
||||
x − a |
(x − a)n |
x |
|
(x 2 + px + q)n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 + px + q |
|
|
|
|||||||||
де a, p, q, A, M , N |
— дійсні |
числа, n = 2, 3, …, D = p 2 − 4q < 0 , |
тобто |
||||||||||||||
квадратний тричлен x 2 + px + q не має дійсних коренів. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Структура розкладу правильного раціонального дробу |
Pn (x) |
|
у суму |
||||||||||||||
Qm (x) |
|||||||||||||||||
елементарних дробів визначається таким правилом. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Pn (x) |
|
|
|||||||||||||
Якщо знаменник Qm (x) |
правильного раціонального дробу |
|
роз- |
Qm (x)
кладено на множники за формулою:
Qm (x) = a0 (x − a)α …(x − b)β (x 2 + px + q)μ …(x 2 + lx + s)ν ,
де α + …+ β + 2(μ + …+ ν) = m , причому фігуруючі тут лінійні та квадрати-
чні множники різні і, крім того, тричлени не мають дійсних коренів, тоді цей дріб можна подати у вигляді
|
|
|
|
P (x) |
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
Bβ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
= |
|
1 |
|
|
+ …+ |
|
|
α |
|
+ |
|
1 |
+ …+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|||||
|
|
|
|
Qm (x) |
x − a |
(x |
− a)α |
|
x − b |
(x |
− b)β |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
+ |
M1 x + N1 |
+ … + |
|
Mμ x + Nμ |
|
+… |
+ |
L1 x + S1 |
+ … + |
|
|
Lν x + Sν |
, |
|
||||||||||||||||
x 2 + px + q |
(x2 + px + q)μ |
|
x 2 + lx + s |
|
(x 2 + lx + s)ν |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
де A1 , …, Aα , B1 , …, Bβ , |
M1 , N1 …, M μ , Nμ , L1 , S1 …, Lν , Sν — деякі дій- |
||||||||||||||||||||||||||||||
сні сталі, що підлягають визначенню. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Іншими словами, структура розкладу правильного раціонального |
||||||||||||||||||||||||||||||
дробу |
Pn (x) |
|
у суму елементарних дробів визначається коренями зна- |
||||||||||||||||||||||||||||
Qm (x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
менника Qm (x) , а саме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1) простому дійсному кореню x = a , |
тобто лінійному множнику |
|||||||||||||||||||||||||||||
x − a , відповідає дріб |
|
|
A |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
− a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102
2) |
дійсному кореню x = b кратності |
m , тобто множнику |
(x − b)m , |
|||||||||||||||
відповідає сума дробів |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
B1 |
|
B2 |
|
|
|
Bm |
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ + |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x − b |
(x − b) 2 |
(x − b) m |
|
|
|||||||||
3) |
парі комплексно спряжених коренів α ± βi |
кратності один, тобто |
||||||||||||||||
множнику x 2 + px + q , де |
p = −2 α , |
q = α2 + β2 , |
p2 − 4q < 0, відповідає |
|||||||||||||||
дріб |
|
Mx + N |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x 2 + px + q |
|
|
|
|
|
|
α ± βi кратності |
k , тобто |
||||||||
4) |
парі комплексно спряжених коренів |
|||||||||||||||||
множнику (x 2 + px + q) k відповідає сума дробів |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
M1 x + N1 |
+ |
|
M 2 x + N 2 |
|
+ + |
|
M k x + N k |
. |
|
||||||
|
|
|
x 2 + px + q (x 2 + px + q) 2 |
|
|
|
(x 2 + px + q)k |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Невідомі коефіцієнти (їхня загальна кількість дорівнює степеню зна-
менника) знаходять, наприклад, за методом невизначених коефіцієнтів (порівняння коефіцієнтів) чи конкретних значень аргументу, суть яких ста-
не зрозумілою з наступних прикладів.
Т.2 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ
1. Розкладіть на множники многочлени:
а) |
P (x) = 3x2 |
+ x −14 ; б) P (x) = x3 |
+ 2x2 |
− x − 2; |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
в) P (x) = x4 |
− x3 − 6x2 + 14x − 12 . |
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
Розв’язання: а) розв’язавши квадратне рівняння 3x2 + x − 14 = 0 , діста-
немо корені x1 = 2, x2 = − 73 . Тоді
P2 (x) = 3(x − 2)(x + 73) = (x − 2)(3x + 7) ;
б) P3 (x) = x2 (x + 2) − (x + 2) = (x + 2)(x2 − 1) = (x + 2)(x + 1)(x − 1) .
в) скористаємося таким твердженням.
103
Якщо многочлен |
Pn (x) |
із цілими коефіцієнтами має цілі корені, то |
||||||||||||||||||
вони є серед дільників вільного члена an . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Дільники вільного члена : ±1; ± 2; ± 3; ± 6; ± 12 . Оскільки |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P4 (2) = 16 − 8 − 24 + 28 − 12 = 0 , |
||||||||||||||
то P4 (x) = (x − 2)Q3 (x) . |
|
|
|
|
|
на x − 2 : |
|
|
||||||||||||
Виконаємо ділення P4 (x) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
4 |
− x |
3 |
− 6x |
2 |
+ 14 x − 12 |
|
x −2 |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x4 − 2 x3 |
|
|
|
|
|
|
x3 + x 2− 4 x + 6 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 − 6 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x3 − 2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 x2 + 14 x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 x2 + 8 x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x−12 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x − 12 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
||
Отже, |
|
|
|
P (x) = (x − 2)(x3 + x 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 4x + 6) . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число x = −3 — корінь многочлена Q (x) = x3 + x2 − 4x + 6 , бо Q (−3) = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
= −27 + 9 + 12 + 6 = 0 . Виконавши ділення Q3 (x) на х + 3, дістанемо остаточний розклад
x 4 − x3 − 6x 2 + 14x − 12 = (x − 2)(x + 3)(x 2 − 2x + 2) .
2. Розкладіть дріб |
x4 |
+ 2x2 |
− 3x + 2 |
у суму многочлена і правильного |
|
x2 |
+ 4 |
||
|
|
|
раціонального дробу.
Розв’язання. Запишемо чисельник дробу у такому вигляді:
x4 + 2x2 − 3x + 2 = x2 (x2 + 4) − 2x2 − 3x + 2 = = x2 (x2 + 4) − 2(x2 + 4) − 3x + 10 .
104
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 + 2x2 − 3x + 2 |
= |
x2 |
(x2 |
+ 4) − 2(x2 + 4) − (3x − 10) |
= x |
2 |
− 2 − |
3x |
−10 |
. |
|
x2 + 4 |
|
|
x2 + 4 |
|
x2 |
+ 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Розкладіть у суму елементарних дробів раціональний дріб
3x 2 − 21x . x3 − 3x 2 − 6x + 8
Розв’язання. Корені многочлена Q3 (x) = x3 − 3x 2 − 6x + 8 — дійсні різні числа –2; 1 та 4. Тоді Q3 (x) = (x − 1)(x + 2)(x − 4) . Запишемо розклад
|
|
|
3x 2 − 21x |
= |
|
3x 2 − 21x |
|
= |
A |
|
+ |
|
B |
|
+ |
C |
|
, |
|
||
|
x3 |
− |
3x 2 − 6x + 8 |
(x + 2)(x − 1)(x − 4) |
x + |
2 |
|
x − 1 |
x − |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3x2 − 21x |
|
= |
A(x − 1)(x − 4) |
+ B(x + 2)(x − 4) |
+ C(x + 2)(x − 1) |
. |
|||||||||||
|
|
(x + 2)(x − 1)(x − 4) |
|
(x + 2)(x − 1)(x − |
4) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Невідомі сталі А, В і С визначаємо так. Прирівняємо чисельники останньої формули:
3x2 − 21x = A(x − 1)(x − 4) + B(x + 2)(x − 4) + C(x + 2)(x − 1) .
Два многочлени тотожно рівні тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при однакових степенях х рівні. Розкривши дужки у правій частині і прирівнявши відповідні коефіцієнти, дістанемо систему рівнянь
x2 : A + B +C = 3 ; х: −5A−2B +C =−21 ; x0 : 4A−8B −2C = 0,
її розв’язок A = 3 , B = 2 , C = −2 . Таким чином,
3x 2 − 21x |
= |
3 |
+ |
2 |
|
− |
2 |
. |
|
(x + 2)(x − 1)(x − 4) |
x + 2 |
x − 1 |
x − 4 |
||||||
|
|
|
|
4. Розкладіть у суму цілої частини і елементарних дробів вираз
x 4 − 3x 2 − 3x − 2 . x3 − x 2 − 2x
Розв’язання. Степінь чисельника вищий за степінь знаменника, отже, дріб неправильний. Тому спочатку виділимо цілу частину дробу:
105
|
|
|
|
x 4 − 3x 2 − 3x − 2 |
= |
|
x(x3 |
− x2 − 2x) + x3 − x2 − 3x − 2 |
= |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
− x 2 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
x3 − x2 − 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
x(x3 |
− x2 |
− 2x) + (x3 − x2 − 2x) − x − 2 |
= x + 1− |
x + 2 |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 − x2 − 2x |
|
|
|
|
|
x3 − x 2 |
− 2x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Тепер записуємо розклад правильного дробу |
|
x + 2 |
на елемента- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 − x 2 − 2x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
рні дроби: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x + 2 |
|
= |
A |
+ |
|
B |
|
+ |
|
|
C |
|
|
= |
|
A(x − 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 2) |
. |
||||||||||||
|
x(x − 2)(x + 1) |
|
x |
|
x − |
2 |
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
x(x − 2)(x + 1) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Звідси |
|
|
|
x + 2 = A(x − 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 2) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Для визначення коефіцієнтів |
A, |
B, C застосуємо метод окремих зна- |
чень аргументу.
Якщо рівність виконується при всіх значеннях аргументу, то вона справджується при будь-яких конкретних значеннях цього аргументу. Зручніше за x вибирати корені знаменника, оскільки вони обертають у нуль частину
доданків. Так, при x = 0 дістанемо 2 = −2A , тобто |
A = −1 ; якщо x = 2 , то |
|||||||||||||||
4 = 6B , B = 2 / 3 , і, нарешті, якщо x = −1 , то 1 = 3C , C = 1/ 3 |
. Тоді |
|||||||||||||||
|
|
x + 2 |
|
= |
−1 |
+ |
|
|
2 |
|
+ |
|
1 |
|
. |
|
|
|
x(x − 2)(x + 1) |
|
x |
3(x − 2) |
|
3(x + 1) |
|
|
|||||||
Остаточно дістанемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 4 − 3x 2 − 3x − 2 |
= x |
+1+ |
1 |
− |
|
2 |
|
− |
|
1 |
. |
||||
|
x3 − x 2 − 2x |
|
x |
3(x −2) |
3(x +1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Розкладіть у суму елементарних дробів правильний раціональний
дріб |
x2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x − 1)(x + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Розв’язання. Знаменник (x − 1)(x + 1)2 |
має простий дійсний корінь x = 1 |
|||||||||||||
і дійсний корінь x = −1 кратності два. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отже, розклад на елементарні дроби має вигляд |
|
|
||||||||||||
|
|
|
x 2 + 2 |
|
= |
A |
|
+ |
B |
|
+ |
|
C |
, |
|
|
|
(x − 1)(x + |
1)2 |
x − 1 |
x + 1 |
(x |
+ 1)2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
106
звідси дістанемо тотожність
|
|
|
|
x 2 + 2 = A(x + 1)2 + B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1) . |
|
|
|
|
|||||||||
Послідовно покладаючи |
x = 1 та |
x = −1 , одержимо значення |
A = |
3 |
, |
||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
C = − |
. Далі прирівняємо коефіцієнти при x 2 : |
A + B = 1 , тоді B = |
. |
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x 2 + 2 |
3 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
− |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 1)(x + 1)2 |
4(x − 1) |
4(x + 1) |
2(x + 1)2 |
|
|
|
|
||||||
6. Розкладіть у суму елементарних |
дробів |
правильний раціональний |
|||||||||||||||
дріб |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(x + 1)(x3 + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Оскільки (x + 1)(x3 + 1) = (x + 1)(x + 1)(x2 − x + 1) = (x + 1)2 ×
×(x2 − x + 1) і множник x 2 − x + 1 не має дійсних коренів, то розклад підінтегрального дробу буде таким:
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
A |
+ |
|
|
|
|
|
B |
|
+ |
|
Cx + D |
. |
|||||
|
|
(x + 1)2 (x 2 − x + 1) |
|
(x + 1)2 |
|
|
x + 1 |
|
x 2 − x + 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 2 = A(x 2 − x + 1) + B(x 2 − x + 1)(x + 1) + (Cx + D)(x + 1)2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Підставивши у рівність значення кореня знаменника x = −1 , дістанемо |
||||||||||||||||||||||||||||||
3A = 1 або A = |
1 |
. Далі, розкривши у правій частині останньої рівності ду- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 , x2 |
та x0 , дістанемо систему для |
||||||||||||||||
жки і прирівнявши коефіцієнти при |
||||||||||||||||||||||||||||||
визначення інших коефіцієнтів: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x3 : B + C = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
: A |
|
+ 2C + D |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
0 |
: A + B + D = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Її розв’язок такий: A = |
1 |
, |
|
B = − |
1 |
, C = |
1 |
|
, |
D = 0 . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
. |
||||
|
(x + 1)2 (x 2 − x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x + 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
(x + 1)2 |
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
107
Т.2 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Розкладіть на множники многочлени:
1. |
P (x) = x2 |
− 2x − 8 . |
2. |
P (x) = 2x2 − x − 10 . |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
3. |
P (x) = x3 |
+ x2 + x + 1 . |
4. |
P (x) = x5 |
− 16x . |
|
3 |
|
|
5 |
|
5. |
P (x) = x4 |
− 3x3 + x2 + 3x − 2 . |
6. |
P (x) = x4 |
+ 3x3 + 6x2 + 5x + 3 . |
|
4 |
|
|
4 |
|
Розкладіть у суму цілої частини й елементарних дробів вирази:
|
|
7. |
|
|
|
x3 |
+ 1 |
|
|
. |
|
|
8. |
|
x3 |
− x + 1 |
. |
|
|
|
|
|
9. |
|
|
x3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
2 + |
5x + |
6 |
|
|
|
x2 |
+ x + 1 |
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Розкладіть у суму елементарних дробів вирази: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
10. |
|
|
|
|
|
x2 − 6x − 7 |
. |
11. |
|
x4 − |
4x3 + 8x2 − 4 |
. |
|
12. |
|
8x3 |
+ 2x − 2 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x2 + 4x − 5)(x − 3) |
|
(x + |
1)(x2 − 2x)2 |
|
|
|
|
x4 − 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповіді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1. (x + 2)(x −4) . 2. (x + 2)(2x − 5) . 3. |
(x +1)(x2 +1) . 4. |
x(x + 2)(x −2)(x2 + 4) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
(x + 1)(x −1)2(x − 2) . 6. (x2 + x + 1)(x2 + 2x + 3) . |
7. |
x − 5 + |
26 |
|
− |
|
|
7 |
|
|
. 8. |
x −1+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 3 |
|
x |
+ |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
|
− x + 2 |
|
|
. 9. |
|
x2 − 2x + 4 − |
8 |
|
. 10. |
1 |
|
|
− |
|
1 |
|
+ |
1 |
|
. 11. |
|
|
1 |
|
|
− |
1 |
+ |
|
|
1 |
|
. |
||||||||||||||||
|
x2 + x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
x − 3 |
|
x + |
5 |
|
|
(x − 2)2 |
|
|
|
x2 |
|
x + 1 |
|
||||||||||||||||||||
12. |
|
2 |
|
|
+ |
|
|
3 |
|
+ |
3x + 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x + 1 |
x |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.2 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
2.1. Розкладіть на множники многочлени:
2.1.1. P (x) = x3 |
+ x2 −2x −8 . |
2.1.2. P (x) = x3 |
−x2 −2x +8 . |
||
|
3 |
|
|
3 |
|
2.1.3. P (x) = x3 |
−3x2 −4x +12 . |
2.1.4. P (x) = x3 |
+4x2 +5x +2 . |
||
|
3 |
|
|
3 |
|
2.1.5. |
P (x) = x3 |
−7x2 +16x −12 . |
2.1.6. |
P (x) = x3 |
+5x2 +8x +4 . |
|
3 |
|
|
3 |
|
108
2.1.7. P (x) = x3 +3x2 +6x −10 . |
2.1.8. P (x) = 2x3 |
−7x2 +8x −3 . |
|||
3 |
|
|
3 |
|
|
2.1.9. P (x) = 3x3 |
+4x2 |
−2x −5 . |
2.1.10. P (x) = 2x3 |
+3x2 −6x −7 . |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
2.1.11. P (x) = x4 |
+3x2 |
−4 . |
2.1.12. P (x) = x4 |
+2x2 −8 . |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
2.1.13. P (x) = x4 |
−2x3 |
−x2 +2x . |
2.1.14. P (x) = 2x4 |
+7x2 −9 . |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
2.1.15. P (x) = x3 |
+6x2 |
+13x +10 . |
2.1.16. P (x) = 5x4 |
−3x2 −8 . |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
2.1.17. P (x) = x4 |
−6x3 +11x2 −6x . |
2.1.18. P (x) = 4x4 |
−4x2 +1 . |
||
4 |
|
|
4 |
|
|
2.1.19. P (x) = 4x3 + x2 |
−3x −2 . |
2.1.20. P (x) = 9x4 |
+6x2 +1 . |
||
3 |
|
|
3 |
|
|
2.1.21. P (x) = x3 |
+ 3x2 − 2x − 8 . |
2.1.22. P (x) = x3 −x2 −4x −6 . |
|||
3 |
|
|
3 |
|
|
2.1.23. P (x) = x3 |
+2x2 |
+5x +24 . |
2.1.24. P (x) = 2x3 |
+ x2 −3x +6 . |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
2.1.25. P (x) =−x3 −7x2 +6x +2 . |
2.1.26. P (x) = 2x4 |
+3x2 −5 . |
|||
3 |
|
|
4 |
|
|
2.1.27. P (x) = 3x3 + x2 |
−9x −10 . |
2.1.28. P (x) = 4x4 |
−20x2 +25 . |
||
3 |
|
|
4 |
|
|
2.1.29. P (x) =−x3 −x2 |
+11x +3 . |
2.1.30. P (x) = 9x4 |
+ 12x2 + 4 . |
||
3 |
|
|
4 |
|
|
Тема 3. ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ВИРАЗІВ
Інтегрування елементарних раціональних дробів. Інтегрування раціональних функцій.
Література: [1, розділ 6, п. 6.4], [2, розділ 2, п. 2.1], [3, розділ. 7, § 1], [4, розділ 7, § 22], [6, розділ 8], [7, розділ 10, § 7—9], [9, § 31].
Т.3 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
3.1. Інтегрування елементарних дробів
Нагадаємо (див. с. 102), що елементарними називають такі раціональні дроби:
І. |
A |
; ІІ. |
A |
; ІІІ. |
Mx + N |
; ІV. |
Mx + N |
, |
x − a |
(x − a)n |
|
(x 2 + px + q)n |
|||||
|
|
|
x 2 + px + q |
|
109
де a, p, q, A, M , N — дійсні числа, n = 2, |
3, …, |
D = p 2 − 4q < 0 , тобто |
|||||||||||||||||||
квадратний тричлен x 2 + px + q не має дійсних коренів. |
|||||||||||||||||||||
Розглянемо інтеграли від елементарних дробів: |
|
|
|
||||||||||||||||||
І. ∫ |
|
A |
dx = A∫ |
d (x − a) |
= A ln |
|
x − a |
|
+ C . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x − a |
|
|
|
x − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ІІ. ∫ |
|
A |
|
|
dx = A∫ (x − a)− n d(x − a) = |
|
A |
|
|
+ C ( n ≠ 1 ). |
|||||||||||
|
(x − a) |
n |
|
− n)(x − a) |
n−1 |
||||||||||||||||
|
|
|
(1 |
|
|
||||||||||||||||
ІІІ. Розглянемо спочатку інтеграл |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J1 = ∫ |
dx |
( a ≠ 0 ). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 + bx + c |
|
|
|
|
Виконаємо перетворення квадратного тричлена:
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
b |
|
|
c |
|
|
|||
ax |
|
+ bx + c = a x |
|
+ |
|
|
x + |
|
|
= a x + |
||||||
|
|
|
a |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де ± m2 = − |
b 2 |
|
+ |
c |
|
= − |
b 2 − 4ac |
= |
− |
|||||||
4a 2 |
a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a 2 |
|
знаку дискримінанта D . Тоді
|
b 2 |
|
b2 |
c |
|
|
|
b |
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
= a x + |
|
|
± m |
|
, |
|||
|
|
4a |
2 |
|
|
|
|||||||||||
2a |
|
|
|
a |
|
|
|
2a |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
. |
Знак перед |
m2 |
протилежний |
|||||||||||
|
4a 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
d x |
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
dz |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
J1 |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
2a |
|
= |
|
|
, |
||||||||||
∫ ax2 + bx + c |
a |
∫ |
b 2 |
2 |
a |
∫ |
|
|
b |
|
2 |
|
2 |
a ∫ |
z2 |
± m2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
± m |
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
± m |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де z = x + |
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можливі такі три випадки:
1)якщо D < 0 , то J1 = am1 arctg mz + C ;
2)якщо D = 0 , то J1 = − az1 + C ;
3)якщо D > 0 , то J1 = 2am1 ln zz +− mm + C .
110