Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

2.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2814 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

32 sin 6 x cos 4 x = (2 sin x cos x)4 2 sin2 x = sin 4 2x(1− cos 2x) =

= sin 4 2x − sin 4 2x cos 2x = 14 (1− cos 4x)2 − sin 4 2x cos 2x =

=14 (1− 2 cos 4x + cos 2 4x) − sin 4 2x cos 2x =

=14 − 12 cos 4x + 18 (1+ cos 8x) − sin 4 2x cos 2x .

Тоді

∫32 sin 6 x cos4 xdx =

∫ dx −

∫ cos 4xdx +

∫ dx +

∫ cos 8xdx −

− ∫sin 4 2x cos 2xdx =

−

∫ cos 4xd(4x) +

∫ cos 8xd(8x) −

−

∫sin 4 2xd(sin 2x) =

−

sin 4x +

sin 8x −

sin 5

2x + C .

∫sin 5 xdx .

Розв’язання.

∫sin 5 xdx = ∫sin 4 x sin xdx = ∫ (1− cos2 x)2 sin xdx =

= ∫ (1− cos2 x)2 d(− cos x) =

cos x = t

= −∫ (1− t 2 )2 dt =

= −∫(1− 2t2 + t4 ) dt = − t +

t 3

−

t 5

+ C = − cos x +

cos3 x −

cos5 x

+ C .

∫ tg5 xdx .

Розв’язання. Виконаємо перетворення

∫ tg

xdx

∫ tg x

(tg

= ∫ tg x (

− 1)

= ∫

tg x

−

cos

tg x

−2∫

dx +

∫ tg xdx

= ∫

sin x

−2∫ tg xd tg x + ∫

sin x

dx =

cos

cos x

= −∫

d cos x

− tg

− ∫

d cos x

− tg

− ln

cos x

+ C .

cos x

cos

4 cos

10. ∫

(sin x

+ cos x)

131

cos3 xdx

Розв’язання. Підінтегральна функція

R(sin x, cos x) =

(sin x + cos x)2

парна відносно cos x

і sin x одночасно:

R(− sin x,− cos x) =

= R(sin x, cos x) .

(− sin x − cos x)2

(sin x + cos x)2

Тому зведемо даний інтеграл до інтеграла відносно змінноїtg x :

∫

= ∫

d(tg x + 1)

= −

+ C .

(sin x + cos x)

(tg x + 1)

cos

(tg x + 1)

tg x

+ 1

11. ∫ (1− sin x)3 .

Розв’язання. Підінтегральна функція R(sin x, cos x) =

cos3 x

непар-

− sin x)3

на відносно cos x :

R(sin x,− cos x) =

(− cos x)3

= −

cos3

= −R(sin x, cos x) .

− sin x)3

(1− sin x)

Тому

cos

xdx

sin x = t,

1+ t

∫

cos xdx = dt,

= ∫

1− t

dt = ∫

dt =

(1− t)

(1− sin x)

cos2 x = 1− t 2

= ∫

(t − 1) + 2

dt =

∫

2∫

= ln

t − 1

−

+ C =

t − 1

(t − 1)

= ln

sin x − 1

−

+ C.

12. ∫

2 − sin x

dx .

sin x − 1

2 + cos x

Розв’язання. Виконаємо заміну tg

= t . Тоді

x = 2 arctg t ,

dx =

dt ,

sin x =

, cos x =

− t 2

;

+ t 2

+ t

+ t 2

132

2 − sin x

−

2dt

(

) − t

+ t

∫

= ∫

= 4∫

+ 1

dt =

+ cos x

1− t

1+ t

+ 1)(t

+ t

dt 2

= 4∫

dt − 2∫

arctg

−

+ 3

+ 1)(t

+ 3)

−∫

(t2 + 3) − (t

2 + 1)

arctg

− ∫

d(t 2 + 1)

+ ∫

d(t 2 + 3)

1)(t

+ 3)

+ 1

+ 3

arctg

− ln(t 2 + 1) + ln(t 2 + 3) + C .

Повертаючись до змінної x,

остаточно дістанемо

∫

2 − sin x

dx =

arctg(

) + ln(2

+ cos x) + C .

2 + cos x

13. ∫

sin x

dx .

+ sin x

Розв’язання. Як і в попередньому прикладі, можна скористатися універ-

сальною тригонометричною підстановкою tg

= t . Покажемо, як цей інте-

грал можна знайти іншим способом. Виконаємо перетворення:

sin x

sin x(1− sin x)

sin x

−

sin 2

1+ sin x

+ sin x)(1− sin x)

1− sin 2

cos2 x

cos2

sin x

−

+ 1 .

Тоді

cos 2 x

cos2

sin x

∫

dx = ∫

dx − ∫

+ ∫ dx =

1+ sin x

cos

= −∫

d cos x

− tg x + x + C =

− tg x + x + C .

cos

cos x

14. ∫ sin 3 xdx .

3 cos4 x

Розв’язання. Запишемо інтеграл у вигляді

∫

sin2 x sin xdx

∫

(1−cos2 x) sin xdx

cos

133

Оскільки sin xdx =−d(cos x), то, запровадившизаміну cos x = t, дістанемо

∫	sin3 xdx	= −∫				(1− t2 )dt			=∫		t2 dt		− ∫		dt	=∫ t		2	dt − ∫ t	−	4
																		3			3	dt =
	3 cos4 x					3 t4									3 t4
											3 t4
		5				1				5							1
		3			+ 3t−			+ C =		3		cos		x + 3 cos−
=			t	3			3						3				3	x + C.
		5								5

15. ∫ cos x − sin x dx . sin x + cos x

Розв’язання. Застосування підстановок (наприклад, універсальної три-

гонометричної підстановки tg 2x = t ) недоцільне, оскільки можна помітити,

що cos x − sin x = (sin x + cos x)′ . Тоді

∫	cos x − sin x	dx = ∫	d(sin x + cos x)	= ln \| sin x + cos x \| + C .
	sin x + cos x		sin x + cos x

Т.4 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайдіть інтеграли від тригонометричних функцій.

1. ∫sin 3 x sin 2xdx .

4. ∫ tg4 xdx .

7. ∫sin 6x sin 4xdx .

10. ∫				dx			.
10. ∫	1		− ctg x				.
	1		− ctg x
13. ∫					dx			.
13. ∫	4			+ 3 tg x				.
	4			+ 3 tg x
16. ∫						dx					.
16. ∫		sin			4	x cos			3		.
		sin				x cos				x

19. ∫sin x sin 4x cos 7xdx .

22. ∫		dx			.
	1	+ sin	2
				x

2. ∫ cos4 xdx .											3. ∫sin 3 xdx .
5. ∫ ctg6 xdx .											6. ∫sin 3 x cos4 xdx .
8. ∫ cos 9x sin 5xdx .											9. ∫sin 6x cos2 xdx .
11.	∫		sin x + 2 cos 2x							dx .	12.	∫				sin x				dx .
11.	∫			cos x − sin 2x						dx .	12.	∫		sin x + cos x						dx .
14.	∫					dx					. 15.	∫	cos2				xdx		.
14.	∫	8		− 4 sin x + 7 cos x							. 15.	∫			sin		6	x	.
		8		− 4 sin x + 7 cos x											sin			x
17.	∫ ctg3 xdx .										18.	∫				dx					.
17.	∫ ctg3 xdx .										18.	∫	sin			5					.
													sin				x cos x
20.	∫	cos2			xdx		.				21.	∫					dx				.
20.	∫			sin	3	x	.				21.	∫	sin x + cos x								.
				sin		x							sin x + cos x
23.	∫					dx				.	24.	∫						dx				.
23.	∫	4		sin	3	x cos		5	x	.	24.	∫	4		+ tg x +				4 ctg x			.
		4			3			5					4		+ tg x +				4 ctg x

134

Відповіді

	1.								2			sin5 x + C . 2.														3		x +			1	sin 2x +												1		sin 4x + C . 3. − cos x +																											1		cos3 x + C . 4. − tg x +
	1.											sin5 x + C . 2.																x +				sin 2x +														sin 4x + C . 3. − cos x +																											1		cos3 x + C . 4. − tg x +
						5																			8					4					32																																					3
+		1	tg3 x + C .																				5.	−	1			ctg5 x +							1			ctg3 x − ctg x − x + C .																														6. −						1				cos5 x +									1				cos7 x + C .
	3																								5										3																																					5															7
7.				1			sin 2x −														1		sin10x + C .									8.				1				cos 4x −									1				cos14x + C .													9.						−					1			cos6x −											1			cos8x −
7.				4			sin 2x −												20				sin10x + C .									8.			8					cos 4x −													cos14x + C .													9.						−								cos6x −											32			cos8x −
				4															20											x					8												28																									12																			32
–	1				cos 4x + C .																				10.							+		1			ln				cos x − sin x															+ C .													11. C − ln														cos x − sin 2x																	.
–	1				cos 4x + C .																				10.							+		1			ln				cos x − sin x															+ C .													11. C − ln														cos x − sin 2x																	.
16					x																									2		2																																																						tg					x		− 5
16																														2		2
											1																								4												3
																																																																																											2
																																																																																											2
12.				2			−				2				ln		cos x + sin x											+ C .				13.							25				x +					25		ln				4cos x + 3sin x															+ C . 14. ln																	tg					x		− 3				+ C .
				2							2																					13.							25				x +					25		ln				4cos x + 3sin x															+ C . 14. ln																						x
																																																																																											2
						1					3								1				5										sin x														2								1				5											π							x															1					2
						1					3								1				5										sin x														2								1				5											π							x															1					2
15. −								ctg x −														ctg		x + C . 16.																		−									−								+					ln			tg(					+							)		+ C . 17. −															ctg x			−
15. −						3		ctg x −												5		ctg		x + C . 16.									2cos2 x									−			sin x						−	3sin3 x							+			2		ln			tg(			4		+					2		)		+ C . 17. −													2		ctg x			−
− ln					sin x									+ C .									18. −					1	ctg4 x − ctg2 x − ln																						ctg x					+ C .										19.						1						sin10x +													1	sin10x +
																												1																																												1																			1

																									4																																															40																40
																									4																							cos x																	x							40																40					x				π
+	1				sin4x −											1					sin12x −					1	sin2x + C . 20. −																												−		1	ln			tg						+ C . 21.															1			ln					tg(					+			)	+
+	1				sin4x −											1					sin12x −					1	sin2x + C . 20. −																												−		1	ln			tg						+ C . 21.															1			ln					tg(					+			)	+
	16															48									8																							2sin2 x							2						2																				2											2					8
+ C. 22.													1				acrtg(							2 tg x) + C . 23. 4 4 tg x + C . 24.																																				4			x −					3			ln					tg x + 2								+								2							−
+ C. 22.													1				acrtg(							2 tg x) + C . 23. 4 4 tg x + C . 24.																																				4			x −					3			ln					tg x + 2								+								2							−
		3									2																																																25							25																							5(tg x + 2)
											2																																																25							25																							5(tg x + 2)
−						ln				cos x								+ C .

	25
	25

Т.4 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

4.1. Знайдіть інтеграли від тригонометричних функцій.

4.1.1.

а) ∫cos

3x sin

3xdx

;

б) ∫

tg xdx

;

в)

∫ cos 3x cos xdx .

4 tg

4.1.2.

а) ∫cos

sin

xdx ;

б) ∫

tg 2xdx

;

в) ∫sin x cos 4xdx .

4 + tg

4.1.3.

а) ∫cos3 x sin8 xdx ;

б) ∫

;

в) ∫ cos 7x cos 5xdx .

sin

x cos

4.1.4.

а) ∫ cos3 xdx ;

б) ∫

;

в)

∫sin 5x cos 3xdx .

+16 sin

3 sin 4 x

135

4.1.5. а) ∫

sin 3

xdx

;

б) ∫

cos2 xdx

;

в) ∫sin 3x sin 2xdx .

3 cos

4 x

sin

4.1.6. а) ∫

cos3

xdx

;

б) ∫

sin 2xdx

;

в) ∫sin 3x cos xdx .

3 sin

2 x

sin

x + cos

4.1.7. а) ∫ sin 3 xdx ;

б) ∫

;

в) ∫sin 9x cos xdx .

+ 8sin x + 6cos x

cos

4.1.8. а) ∫

3sin 3 xdx

;

б) ∫

tg xdx

;

в) ∫ cos 2x cos 3xdx .

cos

−

4 tg

4.1.9. а) ∫

sin3 xdx

;

б) ∫

(3 − sin x)dx

;

в) ∫sin 5x sin 7xdx .

cos

3 + cos x

4.1.10. а) ∫cos4 x sin3 xdx ;

б) ∫

;

в) ∫sin 4x cos 2xdx .

+ cos

4.1.11. а) ∫ 8 cos5 x sin3 xdx ;

б) ∫

;

в) ∫sin x cos 9xdx .

+ 5 cos

4.1.12. а) ∫cos

x sin

xdx ;

б) ∫

cos2 xdx

;

sin

4.1.13. а) ∫ 3 cos2 x sin3 xdx ;

б) ∫

;

1+ 4 tg x

4.1.14. а) ∫ 3 sin2 x cos3 xdx ;

б) ∫

;

+ 4 cos x

4.1.15. а) ∫cos4 x sin5 xdx ;

б) ∫ sin−5 x cos−5 xdx ;

4.1.16. а) ∫cos4 x sin6 xdx ;

б) ∫

(2 − 3sin x)dx

;

3 + 2 cos x

4.1.17. а) ∫cos2 2x sin4 2xdx ;

б) ∫

;

sin

x cos

4.1.18. а) ∫cos3 x sin3 xdx ;

б) ∫

;

− sin

4.1.19. а) ∫

cos3 xdx

;

б) ∫

sin

+ 4 sin x + 3 cos x

4.1.20. а) ∫

sin3 xdx

;

б) ∫

;

3 cos2 x

sin

x cos

в) ∫sin 3x cos 2xdx .

в) ∫cos 5x cos xdx .

в) ∫ cos 4x cos 3xdx .

в) ∫ sin 3x sin 8xdx .

в) ∫ sin 6x sin 5xdx .

в) ∫ cos 3x cos 7xdx .

в) ∫ cos 4x cos 9xdx .

;в) ∫ sin 7x cos 2xdx .

в) ∫ sin 4x sin12xdx .

136

4.1.21. а) ∫

cos3 2xdx

;

б) ∫

(3 + sin x)dx

;

в) ∫ sin 8x cos 2xdx .

sin

4 + 3cos x

4.1.22. а) ∫

sin3 2xdx

;

б) ∫

;

в) ∫ sin x sin11xdx .

6 + 8sin x +

5 cos x

cos

4.1.23. а) ∫

sin3 xdx

;

б) ∫

;

в) ∫ sin12x cos 6xdx .

16 + tg x

cos

3cos

4.1.24. а) ∫

xdx

;

б) ∫

;

в) ∫ cos11x cos 2xdx .

sin

x cos

sin

4.1.25. а) ∫cos2 x sin4 xdx ;

б) ∫

;

в) ∫ sin 8x sin 3xdx .

sin

x cos

4.1.26. а) ∫ 5 cos3 x sin5 xdx ; б) ∫

;

в) ∫ cos 5x cos 8xdx .

25 − cos

4.1.27. а) ∫cos5 x sin4 xdx ;

б) ∫

;

в) ∫ sin 6x cos 4xdx .

sin

x cos

4.1.28. а) ∫cos2 3x sin4 3xdx ; б) ∫

(2 + sin x)dx

;

в) ∫ cos 4x cos13xdx .

4 + cos x

4.1.29. а) ∫cos3 x sin4 xdx ;

б) ∫

; в) ∫ sin13x cos 3xdx .

2 + 4sin x + cos x

4.1.30. а) ∫sin3 x cos8 xdx ;

б) ∫

;

в) ∫ sin16x sin 2xdx .

sin

x cos

Тема 5. ІНТЕГРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Інтегрування квадратичних ірраціональностей. Інтегрування деяких ірраціональних виразів. Інтегрування диференціальних біномів. Підстановки Ейлера. Метод М. Остроградського.

Література: [1, розділ 6, п. 6.6], [2, розділ 2, п. 2.1], [3, розділ 7, § 1], [4, розділ 7, § 22], [6, розділ 8], [7, розділ 10, § 10—11], [9, 1 част., § 33].

137

Т.5 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

5.1.Інтегрування виразів, що містять квадратичні ірраціональності

Інтеграли вигляду

∫	dx	, ∫	Ax + B	dx ( a ≠ 0	, D ≠ 0 )
	ax 2 + bx + c		ax 2 + bx
				+ c
знаходять за тією самою схемою, що й інтеграли J1					та J2 , розглянуті на

с. 110—111, тобто спочатку доцільно під радикалом виділити повний квад-

рат і зробити заміну			x +			b	= t	. При цьому перший інтеграл зводиться до
рат і зробити заміну			x +			2a	= t	. При цьому перший інтеграл зводиться до
						2a
одного з табличних інтегралів
∫		dz				= ln z +			z 2 ± m2 + C , якщо a > 0 ,
∫	z 2 ± m2
або				dz			= arcsin z + C , якщо a < 0 ,
	∫			dz			= arcsin z + C , якщо a < 0 ,
			m	2	− z		2		m
			m		− z

а другий інтеграл — до суми двох табличних інтегралів.

5.2. Інтеграли вигляду

	m	ax + b	n	m
	m	ax + b	1	m
∫ R x,	1		,	2
		cx + d

раціоналізуються підстановкою

кратне чисел m1 , m2 , …, mk .

		n				m		n
ax + b			2	,…,		m	ax + b		k
				,…,			k			dx
cx + d							cx	+ d


	ax + b	= tλ			, де		λ — найменше спільне
	cx + d	= tλ			, де		λ — найменше спільне
	cx + d

Зокрема, інтеграли вигляду ∫ R(x, m xn )dx раціоналізуються підстано-

вкою x = tm .

138

5.3. Інтегрування диференціальних біномів.

Вираз вигляду xm (a + bxn ) p , де m, n, p — раціональні сталі, а a і

b — довільні сталі, називають диференціальним біномом.

Інтеграл від диференціального бінома ∫ x m (a + bx n ) p dx виражається

через інтеграл від раціональної функції лише у таких трьох випадках (див.

табл. 2.4):

Таблиця 2.4

	№		Властивість чисел				Заміна
	№			p , m, n			Заміна

1			p — ціле число		x = tλ ,	де λ — найменший спільний знамен-
					ник дробів m і n
2			m + 1	— ціле число	a + bx n	= t r , де r — знаменник дробу		p
2			n	— ціле число	a + bx n	= t r , де r — знаменник дробу		p
			n

			m + 1	+ p — ціле число	−n	r
3					ax + b = t , де r — знаменник дробу			p
3			n
			n

			Зауваження. Щоб уникнути громіздких перетворень у третьому ви-
			падку, радимо скористатися формулою a + bx n = x n (ax −n + b) .
				5.4. Підстановки Ейлера
		Інтеграл вигляду ∫ R(x,			ax 2 + bx + c )dx виражається через раціональні
функції за допомогою таких підстановок (див. табл. 2.5):
							Таблиця 2.5

	№		Властивість коефіцієнтів				Заміна
	№		тричлена ax2 +bx +c				Заміна

	1			a > 0	ax 2 + bx + c = t ± x a
	2			c > 0	ax 2 + bx + c = tx ± c
3			D = a2 −4ac > 0		ax2 + bx + c = (x − α)t , де α — один із дій-
					сних коренів тричлена ax 2 + bx + c

139

Зауваження. У разі застосування підстановок Ейлера в усіх трьох випадках після того, як вибрана відповідна заміна, потрібно обидві частини рівності піднести до квадрата. З одержаної рівності після

спрощень знайти вираз для x, dx, ax2 + bx + c та підставити ці значення під знак інтеграла.

5.5. Інтеграли вигляду

∫	dx
	(x + m) ax 2 + bx + c

доцільно знаходити за допомогою оберненої заміни x + m = 1t .

5.6. Інтеграли вигляду

f (x)dx

∫ F(x) ax2 +bx +c

де

f (x)

— раціональна функція, слід розпочинати

з розкладу

виразу

F(x)

f (x)

у суму елементарних дробів.

F(x)

5.7. Метод М. Остроградського

Якщо

∫

R(x, ax 2 + bx + c )dx =

Pn (x)dx , де P (x) — многочлен

∫ ax 2 + bx + c

степеня n , тоді

∫

R(x, ax 2 + bx + c )dx = P

(x) ax 2 + bx + c +λ

∫

n−1

ax2 + bx + c

де

Pn−1 (x) — многочлен степеня

n − 1 з невизначеними коефіцієнтами, а

λ — деяке невідоме число.

Коефіцієнти многочлена Pn−1 (x) та число λ визначають за допомогою диференціювання останньої рівності.

140

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2814 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.20196.01 Mб39(Т3укр)м(Л14).doc
#
29.08.20195.47 Mб21(Т4 укр)м(Л21).doc
#
29.08.20193.68 Mб36(Т5укр)м(Л22-23).doc
#
11.12.2018296.96 Кб12+Изгот микросхем.doc
#
11.12.2018437.76 Кб3+страничная память.doc
#
19.02.20162.32 Mб210887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20163.59 Mб510887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.09.2019106.5 Кб01 000 000 $.doc
#
16.11.20191.38 Mб11 Lab (Neuro).docx
#
19.02.20161.12 Mб1001 Конспект лекций Основы системного анализа.doc
#
25.11.2019238.27 Кб41 Літосферні стихійні лиха.docx