0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

∫ x 2 9 − x 2 dx .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

2.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

IV. Виведітьрекурентніформулидлявідшуканнянаступнихінтегралів:

40.

J n =

n N

, n > 1 .

∫ (x 2

+ a 2 )n

Розв’язання. Покладемо u =

, dv = dx . Тоді

(x 2 + a 2 )n

du = −

2nx

dx , v = x ,

(x 2 + a 2 )n+1

J n =

+ 2n∫

x 2

2n∫

(x2 + a2 ) − a2

dx =

(x 2 + a 2 )n

(x 2 + a 2 )n+1

(x2 + a2 )n

(x2 + a2 )n+1

+ 2n∫

dx − 2na2 ∫

dx .

)

+ a

)

+ a

)

n+1

+ a

Отже,

J n

+ 2nJ n − 2na 2 J n+1 ,

(x2 + a 2 )n

або

Jn+1

2n − 1

Jn .

(2.3)

2na2

(x2 + a2 )n

Одержана рекурентна формула дає можливість поступово знаходити інтеграли J n для будь-якого значення n, починаючи з n = 1 .

Наприклад,

J1 =

arctg

+ C — табличний інтеграл;

∫ x

2 + a2

J 2

J1 =

∫ (x 2 + a 2 )2

2a 2

x 2 + a 2

a 2

arctg

+ C і т. д.

2a 2

2 + a 2

2a3

41.

J n, −m =

sin n x

dx .

∫ cosm x

Розв’язання. Підінтегральний вираз розіб’ємо на частини u = sin n−1 x ,

dv = sin x dx . Знайдемо cosm x

du = (n − 1) sin n−2 x cos xdx ,

v = ∫

sin x

dx = − ∫

d(cos x)

( m ≠ 1 ),

cos

(m − 1) cos

m−1

Jn, −m =

sinn−1 x

−

n − 1

∫

sinn−2 x

dx .

(m − 1) cosm−1 x

m − 1

cosm−2 x

Отже,

sinn−1 x

Jn, −m

−

n − 1

J n−2, 2−m .

(m − 1) cosm−1 x

m − 1

Т.1

ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайдіть інтеграли, використовуючи безпосереднє інтегрування.

∫ (x − 1)(2x + 3)dx .

∫

x3 − 8

dx .

x − 2

∫

x 2

+ 2x − 3

dx .

∫

(1−

x )dx

∫sin 2

dx .

∫ tg2 xdx .

1+ 5 cos

10. ∫

dx .

11. ∫

2+ 1

+ 1 dx

1+ cos 2x

+ 1

13. ∫

dx .

14. ∫ e x (3 − e− x )dx

x 2 − 4

16. ∫

6 x−1 + 8x

dx .

17. ∫

4 +

3. ∫ x x dx .

. 6. ∫	x − 1 dx .
	x − x

9. ∫(2ctg x −1)(2ctg x +1)dx.

.	12. ∫		dx	.

		16 − x 2
.	15. ∫		x 4	dx .
		x	2
			+ 1
	18. ∫		dx	.

		9 − 16x 2

19. ∫	3−x + 3+x	dx. 20.	∫ (3 x − 1)(2 4 x + 3)dx .

	9−x2

Знайдіть інтеграли, використовуючи метод заміни змінної або внесення функції під знак диференціала.

21. а) ∫sin 3 xd(sin x) ; б) ∫sin 3 x cos xdx ; в) ∫ cos3 2x sin 2xdx .

22.а) ∫ ln3 xd(ln x) ;

23.а) ∫ 2tg x d (tg x) ;

24.∫ (3x − 4)6 dx .


27.	∫		xdx	.
		5	2
			+ x
30.	∫		xdx		.
		4	4
			+ x
33.	∫ (3x 2 + 1)dx .
			x3 + x + 1

б) ∫ lnx3 x dx .

б) ∫ 2tg x dx . cos2 x

25.	∫ 3 2x + 5dx .
28.	∫	x 2 dx	.
		3
		4 + x

∫xdx

31..

	1− x 4
34. ∫	x 2 dx .
	1+ x6

26.	∫8 3 − xd(3x) .
29.	∫	(2x − 4)dx	.
		2
		5 + 4x − x
32. ∫		x3 dx .
		1− x 4

∫sin xdx

35..

4 − cos x

36. ∫ sin xdx .	37. ∫	tg xdx	.	38. ∫	ln xdx .	39. ∫ x 2 e x3 dx .

x		x			x

40.	∫ esin				x cos x			dx	.
40.	∫ esin				x cos x				.
								2 x
43.	∫		xdx .
		x(x + 1)
46.	∫ x tg(x2 − 1)dx.
49.	∫ (1− 2x)99 xdx .
52.	∫			dx		.
52.	∫	1	+	3	x + 1	.
		1	+		x + 1
55.	∫			dx		.
55.	∫	x		x 2 − 4		.
		x		x 2 − 4
58.	∫				dx		.
58.	∫	x	2		x 2 − 1		.
		x	2		x 2 − 1

			x − 1		dx
41.	∫		x
			x	2 .

44.	∫		dx			.
		e	x
			+ 1
47.	∫ x3 dx .
			x − 1
50.	∫	x	dx .
			x + 1
53.	∫		dx .
			1+ e x

56.∫ 1+ x 2 dx .

59. ∫	e2x dx .
	4 1+ e x


42.	∫	1		dx .
				+	x
45. ∫		1		xdx .
				+ x
48.	∫		(2x + 7)dx			.
			3
			(3x − 2)

51.∫ (x + 1)dx .

x x − 2

+ 4)dx .

62. ∫

65. ∫

67. ∫

70. ∫

Знайдіть інтеграли, використовуючи метод інтегрування частинами.

61. ∫ x cos 4xdx .

64. ∫(x3 − 2x2 + 4)e2xdx .

66. ∫ x 2 2 x dx .

69. ∫ ln(x 2

72. ∫ x 3 ln 2 xdx .

75. ∫ x arcsin xdx .

78. ∫ arccos xdx .

81. ∫ e x cos 2xdx .

84. ∫ x sin x dx . cos3 x

87. ∫ arctg2 x dx . x3

(2x − 5) sin 2xdx . 63. ∫ (x + 3)e x dx . (x3 + x2 − 3x −1)cos xdx.

		ln(2x − 1)dx .
		x ln(x − 1)dx .
73.	∫ ln 2 xdx .
76.	∫ xtg 2 xdx .
79.	∫	x arctg x	dx .

		1+ x2
82.	∫sin ln xdx .

∫x 2 e x

85.(x + 2)2 dx .

88. ∫ arcsin x dx .

1+ x

68.	∫	x ln xdx .
71.	∫ x ln(x 2 + 1)dx .
74.	∫ x arctg xdx .
77.	∫ x cos2 xdx .
80.	∫	ln 2 x	dx .
		3
		x
83.	∫ e px sin qxdx .
86.	∫ arcsin 2 xdx .
89.	∫	x arcsin x dx .
		1− x 2

Доведіть рекурентні формули.

90.

J n

= ∫

(a 2 − x 2 )n dx =

x(a 2 − x 2 )n

2na 2

J n−1 .

2n + 1

91.

J n

= ∫ (ln x)n dx = x(ln x)n − nJ n−1 .

92.

J n

= ∫ x p (ln x)n dx =

x p+1 (ln x)n

−

J n−1 .

p + 1

93.

= ∫ (tg x)n dx =

(tg x)n−1 − Jn−2 .

n −

Відповіді

− 3x + C . 2.

x3 + x2 + 4x + C . 3.

x7 / 4 + C . 4.

x8 / 3

x5 / 3

−

–

x2 / 3

+ C . 5.

x7 / 4 −

x9 / 4 + C . 6. −x − 2

x + C .

7. (x − sin x)/ 2 + C .

8. tg x −

− x + C . 9. −4ctg x −5x +C . 10.

	x
12. arcsin		+ C . 13. ln	x + x2 − 4
	4

	tg x +5x
		+C . 11. ln	x + 1+x2				+arctg x +C .
2
				1
+ C . 14. 3ex − x + C . 15.					x3	−x +arctg x +C .
				3

16.				3x						+			4x			+ C . 17.								1	arctg									3x				+C . 18.											1		arcsin										4x					+ C . 19. 2															3 + x − 2													3 − x + C .
			6ln3									ln4											6											2															4													3
20. x(−3+													9 3			x	–	8 4				x +				24					12				x		7	) +C . 21. а)															sin4 x									+ C; б)											sin4 x							+ C; в) −										1			cos			4	2x + C.
20. x(−3+													4			x	–	5				x +				19									x			) +C . 21. а)																4								+ C; б)													4					+ C; в) −										8			cos				2x + C.
													4					5								19																						2tgx						4															2tgx						4															8
22. а)								ln4 x						+ C			;		б)				ln4 x								+ C .								23. а)									2tgx							+ C ;									б)					2tgx					+ C .							24.						(3x − 4)7											+ C .
			3							4													4								9																	ln2								1													ln 2														1								21
25.			3		3				(2x + 5)4								+ C . 26. −														9		3 (3 − x)4 + C . 27.																							1			ln(x2 + 5) + C . 28.																								1		ln(x3 + 4) + C .
		8																												4																										2																									3
29.			− ln						5 + 4x − x2										+ C . 30.													1				arctg					x2		+ C .									31.					1				arcsin x2 + C .																			32. −						1						1− x4 + C .
																																1									x2																1																													1

																											1				4									2																2																														2
																															4									2																2																														2
33.		2				x3 + x + 1 + C .																34.							ln					x3				+	1+ x3								+ C .								35. −8 ln(4− cos x)−2																																						cos x +C .
33.		2				x3 + x + 1 + C .																34.							ln					x3				+	1+ x3								+ C .								35. −8 ln(4− cos x)−2																																						cos x +C .
																											3																																			2
																																																														2																																	1
36. −2cos													x + C .									37. −2ln												cos					x			+ C .										38.															× (ln x)3/ 2 + C.																			39.										ex3 + C .
																																																																3
																																																																																															3
				sin						x												2		x − 1 3																																																																							3
40.		e		sin						x		+ C .					41.					2		x − 1 3														+ C .				42. 2											x − 2ln(1 +																			x ) + C .									43. 2arctg																x + C .

																						3						x
																						3						x
44.			x − ln(ex + 1) + C. 45. 2																								x −2arctg															x +C . 46. −																1			ln				cos(x2 − 1)															+ C . 47.										2					(x − 1)7 +
																																																										1																																2
																																																																																										7
																																																								2
																																																								2
+	6			(x − 1)5 + 2													(x − 1)3 + 2														x − 1							+ C . 48.								−								2								−						25								+C . 49. −												(1−2x)100										+C.
+				(x − 1)5 + 2													(x − 1)3 + 2														x − 1							+ C . 48.								−			9(3x− 2)													−													2	+C . 49. −																						+C.
5																																																	9(3x− 2)														18(3x−2)																														200
																																																																													t2
										x + 1 − 1																																													x − 2																						t2
50.		ln															+ C . 51. 2														x − 2 +											2 arctg																				+ C . 52. 3																			− 2t + ln											t		+ C , де
									x + 1 + 1																																													2																										2


t = 1+ 3 x + 1 .															53. ln							ex + 1 −1													+ C .						54.				1		arcsin x −													x			×					1− x2							+ C . 55.											1			arccos								2	+ C .
																						ex + 1 + 1																				2														2																														2											x
56. −						(1+ x2)3										+ C .							57.					81					arcsin							x		−		x					9 − x2 ×													(9 − 2x2) + C .																			58.												x2 − 1					+ C .
				4					3x3										4											8										3		8																																		x										1									x
59.						4				(1+ ex )7							−				4 (1 + ex )3 + C .																			60.							ln			arctg x										+ C .										61.								sin 4x +													cos 4x + C .


				7														3																																																					x		3		4											16
				7														3																																																									4											16
			5 − 2x																1																			63. (x + 2)ex + C .																																							7					7									9
62.			5 − 2x								cos 2x +								1	sin 2x + C .																		63. (x + 2)ex + C .																									64.												−		7		x2 +			7		x +							9			e2x				+ C .
					2													2																																																						2			4						4										8
					2													2																																																						2			4						4										8
65.		(3x					2			+ 2x − 9)cos x + (x																	3			+				x		2		− 9x − 3)sin x + C .																														66.							x2 ln2						2 − 2xln2 + 2																x	+ C .
																																																																																																	2
																																																																																	ln3 2																2
																																																																																	ln3 2

67.

xln(2x −1) − x −

ln(2x −1) + C .

68.

x x ln x −

x + C

. 69.

xln(x2 + 4) − 2x +

+ 4 arctg

+ C .

70.

ln(x −1) −

(x +1)2 −

x −1

+C .

71.

[(x2 + 1)ln ×

3 3

× (x

+ 1)

− x

− 1]

+ C .

72.

(8ln

x − 12ln x + 9) + C . 73. x(ln

− 2ln x + 2) + C .

74.

+1)arctg x−

+C . 75.

2x2 − 1

arcsin x +

1− x

+ C .

76.

x tg x −

+ln

cos x

+ C .

77.

sin 2x +

cos 2 x + C .

78.

x arccos x −

1 − x2 + C .

2ln2 x + 2ln x + 1

79.

1+x

arctg x

−ln(x +

1+x

) +C .

80. −

+ C .

81.

(2sin 2x +

4x2

+ cos 2x) + C . 82.

(sinln x − cosln x) + C .

83.

epx ( psin qx − qcosqx)

+ C. 84.

−

p2 + q2

2cos2 x

−

tgx+ Ñ . 85.

x − 2

+ C . 86.

xarcsin2 x + 2arcsin x

1− x2 − 2x + C . 87. −

arctg2 x

−

x + 2

2x2

−

arctgx

−

arctg2 x

+ln

–

ln(1+x2)

+C.

88. 2 1+ x arcsin x + 4

1− x + C.

89.

−arcsin x×

× 1 − x2 + x + C.

Т.1 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1.1. Знайдіть інтеграли.

1.1.1. ∫	x2 − 3x + 2				dx .	1.1.2. ∫ 4 x7 (2 − x )dx .

	4 x
1.1.3. ∫ 5 x3 (4 + 3 x )dx .						1.1.4. ∫ 3 x2 (1− 4 x )dx .
1.1.5. ∫ 5 x4 (1+ 3 x )dx .						1.1.6. ∫ 6 x5 (3 − 3 x )dx .
1.1.7. ∫	x3 + 1		dx .			1.1.8. ∫	x − x + 1	dx .

	7 x2						3 x4
1.1.9. ∫	x +	x − 2		dx .		1.1.10. ∫ 3 x7 (5 − 5 x )dx .

	5 x4
1.1.11. ∫ (5 x4			+ 1) 3 x4 )dx .			1.1.12. ∫ 4 x5 (2 − 6 x )dx .
1.1.13. ∫ 3 x8 (1+ 3 x )dx .						1.1.14. ∫ (4 x9 + 1) 3 x2 )dx .

1.1.15. ∫ 7 x5 (1− 7 x )dx .

1.1.16. ∫

x + 1

dx .

3 x2

1.1.17. ∫

3 x − x2 + 2

dx .

1.1.18. ∫

x4 +

x − 3

dx .

3 x4

3 x5

1.1.19. ∫ 3 x7 (3 + 4 x )dx .

1.1.20. ∫ 3 x4 (1+ 5 x )dx .

1.1.21. ∫ 5 x3 (5 −

x )dx .

1.1.22. ∫

x + 4

dx .

3 x4

1.1.23. ∫

3 x − 2x3 + 1

dx .

1.1.24. ∫

x2 +

x − 1

dx .

3 x2

3 x7

1.1.25. ∫ 4 x9 (1−

x )dx .

1.1.26. ∫ (5 x + 2) 3 x2 )dx .

1.1.27. ∫ 4 x3 (3 − 3 x )dx .

1.1.28. ∫

x + 1

dx .

3 x

1.1.29. ∫

3 x − 3x2 + 1

dx .

1.1.30. ∫

x4 +

x − 2

dx .

3 x5

4 x3

1.2. Знайдіть інтеграли.

1.2.1. ∫

2 − 3x

dx .

1.2.2. ∫

3 − 5x

dx .

1.2.3. ∫

8 − 13x

dx .

+ 2

− x2

x2 − 1

1.2.4. ∫

6x + 1

dx .

1.2.5. ∫

x − 2

dx .

1.2.6. ∫

3 − 7x

dx .

−

− x2

− 4x

1.2.7. ∫

5 − 3x

dx .

1.2.8. ∫

1 + x

dx .

1.2.9.

∫

3x + 2

dx .

2x2 + 1

2 − x2

+ 1

1.2.10. ∫

1 − 5x

dx .

1.2.11. ∫

4x − 3

dx .

1.2.12.

∫

5x + 1

dx .

25x

+ 1

− 4

x2 − 6

1.2.13. ∫

x − 3

dx .

1.2.14. ∫

5 − 3x

dx .

1.2.15.

∫

4 − 2x

dx .

+ 7

4 − 3x2

1 − 4x2

1.2.16. ∫

5 − x

dx .

1.2.17. ∫

1 + 3x

dx .

1.2.18.

∫

5 − 4x

dx .

4x2 + 1

1 − x

1.2.19. ∫

5x − 1

dx .

1.2.20. ∫

1 − 3x

dx .

1.2.21.

∫

x − 5

dx .

x2 − 3

−

− 2x


1.2.22. ∫	x + 4			dx .
	9 − x2
1.2.25. ∫	1 + 3x			dx .
	x2 + 1
1.2.28. ∫	8 −	2x	dx .
1.2.28. ∫	2		dx .
	3x	+ 1

1.3. Знайдіть інтеграли.

1.3.1. ∫sin 2 (1 − x)dx .

1.3.3. ∫ (1− 2 sin x)2 dx .

1.3.5. ∫cos3 (1 + 3x)dx .

1.3.7. ∫sin 2 32x dx .

1.3.9. ∫cos3 (2x + 3)dx .

1.3.11. ∫(1 − cos 2x)2 dx .

1.3.13. ∫sin 3 6xdx .

1.3.15. ∫sin 2 (4x − 3)dx .

1.3.17. ∫ (1+ 2 cos x)2 dx .

1.3.19. ∫ sin2 (2x − 1)dx .

1.3.21. ∫ (1− 3cos x)2 dx .

1.3.23. ∫sin 3 (5x − 1)dx .

1.3.25. ∫ cos2 (2x + 1)dx .

1.3.27. ∫ cos2 7xdx .

1.3.29. ∫sin 3 4xdx .

1.2.23. ∫

2x − 7

dx .

1.2.24.

∫

7x − 2

dx .

− 5

2 − 1

1.2.26. ∫

x − 5

dx .

1.2.27.

∫

3 − 7x

dx .

+ 7

+ 1

1.2.29. ∫ 3x + 7 dx .

1.2.30.

∫

2x − 1 dx .

x2 + 4

3x2 − 4

1.3.2. ∫sin3 (1 − 2x)dx .

1.3.4. ∫ cos3 (5x −1)dx .

1.3.6. ∫(3 − sin 2x)2 dx .

1.3.8. ∫(cos x + 3)2 dx .

1.3.10. ∫sin 3

dx .

1.3.12. ∫sin 2 (2x − 1)dx .

1.3.14. ∫sin 2

dx .

1.3.16. ∫ cos2 (1− 2x)dx .

1.3.18. ∫ cos2 3xdx .

1.3.20. ∫ sin2 (1− x)dx .

1.3.22. ∫ cos2

dx .

1.3.24. ∫ cos2 (3 − x)dx .

1.3.26. ∫ cos3 4xdx .

1.3.28. ∫ (sin x − 5)2 dx .

1.3.30. ∫sin 2 34x dx .

Тема 2. МНОГОЧЛЕНИ. РАЦІОНАЛЬНІ ФУНКЦІЇ

Многочлен, корінь многочлена. Основна теорема алгебри. Розкладання многочлена на множники. Дробові раціональні функції. Правильні і неправильні раціональні дроби. Елементарні дроби. Розкладання неправильного дробу у суму многочлена і правильного раціонального дробу. Розкладання правильного раціонального дробу на елементарні дроби.

Література: [1, розділ 4], [3, розділ 7, § 1], [4, розділ 7, § 22], [6, розділ 7], [7, розділ 10, § 7—8], [8, 1 част., розділ 7, § 31].

Т.2 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

2.1. Многочлени. Розкладання многочленів на множники

Многочленом (поліномом, або цілою раціональною функцією) n-го сте-

пеня називають функцію вигляду

Pn (x) = a0 xn +a1 xn−1 +...+an−1 x +an ,

де n — натуральне число (степінь многочлена), a0 ≠ 0, a1 , …, an — довіль-

ні сталі.

Число x0 , для якого Pn (x0 ) = 0 , називають коренем многочлена Pn (x) .

	Якщо x0 — корінь многочлена Pn (x) , то многочлен ділиться без
Теорема 1
Теорема 1	остачіналінійниймножник x −x , тобтосправедливаформула
	остачіналінійниймножник x −x , тобтосправедливаформула
	0

		Pn (x) = (x −x0 )Qn−1(x),

де Qn−1 (x) — многочлен степеня n – 1.

Теорема 2 (Безу). Остача від ділення многочлена Pn (x) на двочлен x − λ дорівнює значеннюмногочлена Pn (x) при x = λ , тобтоPn (λ) .

Теорема Безу дає змогу знайти остачу від ділення многочлена Pn (x) на двочлен x − λ , протезаїїдопомогоюнеможназнайтичасткувідцьогоділення.

		(основна теорема алгебри). Довільний многочлен ненульо-
	Теорема 3	(основна теорема алгебри). Довільний многочлен ненульо-
	Теорема 3	вого степеня має принаймні один корінь — дійсний або ком-
		плексний.

Теорема 4 Довільний многочлен Pn (x) можна подати у вигляді

Pn (x) = a0 (x −x1)(x −x2 ) (x −xn ),

де x1 , x2 , , xn — корені многочлена, a0 — коефіцієнт многочлена при xn . Зокрема,

ax2 +bx +c = a(x −x1)(x −x2 ),

де x , x

— корені рівняння ax2 +bx +c = 0 .

Якщо

P (x)

ділиться

без остачі

на (x −x )k ,

але

не ділиться на

(x −x )k+1 , то x

називають коренем многочлена P (x) кратності k.

У такому разі

P (x) = (x −x )k Q

(x) , Q

(x ) ≠ 0 .

n−k

Якщо многочлен Pn (x) має корені x1 , x2 ,

, xm

(m ≤n),

кратність

яких відповідно k1 , k2 ,…, km , то його можна розкласти на множники:

P (x) = a (x −x )k1

(x −x )k2 ...(x −x )km .

(*)

Многочлен

Pn (x) тотожно рівний нулю тоді і тільки тоді,

Теорема 5

коли всі його коефіцієнти рівні нулю.

Многочлени

P (x) =a xn +a xn−1

+...+a

x +a

і Q (x) =

Теорема 6

b xn + b xn

n−1

−1 + ... + b

x + b тотожно рівні тоді і тільки тоді,

n−1

коли виконуються рівності

a0 = b0 , a1 = b1 , …, an = bn .

Теорема 7 Якщо многочлен Pn (x) з дійсними коефіцієнтами має комплекснийкорінь a +bi , тоспряжене число a −bi — теж його

корінь, причому корені a +bi і a −bi мають однакову кратність. Розглянемо добуток

(x −(a +bi))(x −(a −bi)) = ((x −a) −bi)((x −a) +bi) = (x −a)2 +b2 = = x2 −2ax +a2 +b2 = x2 + px +q ,

де p =−2a, q = a2 +b2 .

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.20196.01 Mб39(Т3укр)м(Л14).doc
#
29.08.20195.47 Mб21(Т4 укр)м(Л21).doc
#
29.08.20193.68 Mб36(Т5укр)м(Л22-23).doc
#
11.12.2018296.96 Кб12+Изгот микросхем.doc
#
11.12.2018437.76 Кб3+страничная память.doc
#
19.02.20162.32 Mб210887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20163.59 Mб510887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.09.2019106.5 Кб01 000 000 $.doc
#
16.11.20191.38 Mб11 Lab (Neuro).docx
#
19.02.20161.12 Mб1001 Конспект лекций Основы системного анализа.doc
#
25.11.2019238.27 Кб41 Літосферні стихійні лиха.docx