0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= 1. Це рівняння визначає в площині Oxy еліпс із центром

у початку координат і півосями a = 3 і b = 2 ,

який ділить площину на дві

частини (рис. 1.3). Для точок однієї з цих

частин виконується умова

36 − 4x2 − 9y2

> 0 , а для іншої — 36 − 4x2 − 9y2 < 0 . Щоб виявити, яка з

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

2.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 282 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

прямих y = x та y = − x , зображених на рис. 1.2 пунктирною лінією. Шукана область є необмеженою, відкритою і незв’язною.

2. Знайдіть область визначення і множину значень функції

z = 36−4x2 −9 y2 .

Розв’язання. Функція z(x, y) визначена в усіх точках (x, y) , для яких підкореневий вираз невід’ємний, тобто виконується нерівність

36 − 4x2 − 9 y 2 ≥ 0 .

Межа даної області описується рівнянням 4x 2 + 9 y 2 = 36 , яке запише-

цих частин є областю визначення даної функції, достатньо перевірити умову 36 − 4x2 − 9y2 > 0 для однієї довільної точки, яка не належить еліпсу. Точка (0; 0) , яка лежить усередині еліпса, задовольняє дану умову. Отже,

областю визначення є множина точок, обмежена еліпсом,					x 2	+		y 2	= 1. При
областю визначення є множина точок, обмежена еліпсом,					9	+	4		= 1. При
цьому сам еліпс також належить області визначення.					9		4
цьому сам еліпс також належить області визначення.
	у			у
				2
				2
	О	х	–3	О	3		х
				–2
				–2
	Рис. 1.2			Рис. 1.3

Відзначимо, що шукана область замкнена, обмежена і зв’язна. Множиною значень функції z(x, y) є відрізок [0, 6] .

3. Знайдіть область визначення функції

z = y − x + 2 + arcsin x2 + y2 . 4

Розв’язання. Область визначення цієї функції визначаємо із системи нерівностей

y − x + 2 ≥ 0,				y ≥ x − 2,
		x2 + y2		y ≥ x − 2,
		x2 + y2		або	2		2
−1	≤		≤ 1,	x		+ y		≤ 4.
−1	≤	4	≤ 1,	x		+ y		≤ 4.
		4

Графічним образом нерівності y ≥ x − 2 є півплощина, розміщена над прямою y = x − 2 , разом з цією прямою. Нерівність x2 + y 2 ≤ 4 визначає в

площині круг із центром у початку координат і радіусом 2. Перетин цих множин і є областю визначення даної функції (рис. 1.4). Шукана множина є обмеженою, замкненою і зв’язною.

4. Обчисліть lim (x2 + y2 ) arctg			x	.
4. Обчисліть lim (x2 + y2 ) arctg				.
x→0,			y
y→0
Розв’язання. Функція arctg	x	обмежена: −			π	< arctg	x	<	π	. При x → 0
Розв’язання. Функція arctg	y	обмежена: −			2	< arctg	y	<	2	. При x → 0
	y				2		y		2

та y → 0 сума x2 + y 2 є нескінченно малою величиною. Оскільки добу-

ток нескінченно малої величини на обмежену є нескінченно малою величиною, то

			lim (x2 + y2 ) arctg			x	= 0 .
			lim (x2 + y2 ) arctg			y	= 0 .
			x→0,			y
			y→0
5. Доведіть, що	lim		2xy		не існує.
5. Доведіть, що	lim	x2	+ xy	+ y 2	не існує.
	x→0,	x2	+ xy	+ y 2
	y→0

Розв’язання. Нехай точка (x; y) наближається до точки y = kx (рис. 1.5).

Тоді
lim		2xy	=	lim	2x2 k		= lim	2k
x→0,	x2	+ xy + y 2		x→0 x2 + x2 k		+ x2 k2	x→0 1	+ k + k2
y→0

(0; 0) по прямій

=	2k
		.
	1+ k + k2

Значення виразу

змінюється зі зміною кутового коефіцієнта

1 + k + k 2

k , тобто від вибору прямої, вздовж якої точка (x; y)

наближається до точ-

ки (0; 0) . Це означає, що границя не існує.

y=k2x

y=k1x

–2

Рис. 1.4

Рис. 1.5

6. Доведіть, що

lim

x4 y

не існує.

+ y 2

x→0,

→0

Розв’язання. Розглянемо спочатку

границю за

умови, що y = kx

( k = const ). Маємо

lim

x4 y

= lim

x5 k

lim

x3 k

= 0 .

+ y 2

x→0,

x→0 x8 + x2 k

x→0 x6 + k 2

y→0

Проте це ще не означає, що шукана границя існує і також дорівнює нулю. Нехай точка (x; y) прямує до точки (0; 0) вздовж кривої y = x4 , тоді

lim

x4 y

= lim

+ y

+ x

x→0,

x→0

y→0

Отже, значення границі залежить від шляху наближення довільної точ-

ки (x; y) до точки (0; 0),		а тому границя не існує.
7. Обчисліть lim	e x4	− e y4	.
	x 2	− y 2
x→0,
y→0

Розв’язання. Маємо

lim

e x4

− e y4

= lim

e y4 (e x4 − y4 − 1)

= lim

e x4 − y4

− 1

x 2

− y 2

x 2 − y 2

x 2

− y 2

x→0,

y→0

− y

→ 0

− y

= lim

= lim (x2 + y 2 ) = 0 .

− 1 x4 − y4

− y 2

− y

x→0,

y→0

8. Дослідіть на неперервність функцію

x + y

якщо x − y ≠ 0,

x − y

f (x, y) =

якщо

x − y = 0

у точці (0; 0) .

Розв’язання. Розглянемо границю даної функції вздовж координатної осі

ординат. Для цього покладемо x = 0 , тоді lim	x + y	= −1 . Оскільки знайде-
ординат. Для цього покладемо x = 0 , тоді lim	x − y	= −1 . Оскільки знайде-
y→0	x − y
x=0,

на границя відмінна від значення функції у точці (0; 0) :

−1 ≠ 0 , то робимо

висновок про те, що дана функція у точці (0; 0) розривна.

9. Дослідіть на неперервність функцію

sin(x

2 + y2 )

якщо x2

+ y2

≠ 0,

+ y2

(x, y) =

якщо x = y = 0.

Розв’язання. Дана функція визначена у кожній точці площини Оху.

Крім того,

lim

sin(x2 + y2 )

sin(x2

+ y2 ) ~ x2 + y2

= lim

x2 + y2

= 1 = f (0; 0) ,

x2 + y2

x→0,

x2 + y2

x→0,

y→0

sin(x2 + y

2 )

sin(x2

+ y2 )

для випадку x2 + y2 ≠ 0 .

lim

x→ x0 ,

x2 + y2

x02 + y02

y→ y0

Згідно з означенням неперервності (1.1) функція f (x, y) неперервна у кожній точці площини Оху.

− 1) .

Т.1 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайдіть і зобразіть на площині Oxy область визначення функцій.

1.	z = ln( y − x 2 + 3x − 2) .	2.	z =	(x − 1)( y − x2 ).
3.	z = arcsin(x 2 + 4 y 2 ) .	4.	z = tg		πx	ctg πy .
3.	z = arcsin(x 2 + 4 y 2 ) .	4.	z = tg			ctg πy .
				2			1
5.	z = (ln(5 − x2 − y2 ))−1 / 2 .	6.	z =	x 2 + y 2 − 1 +			1	.
							x 2 − y 2

Знайдіть і зобразіть у просторі Oxyz область визначення функцій.

7. u = 4 − x2 − y2 − z2 + x .

8. u = 4 (x2 + y 2 − 1)(z 2

9.u = ln(1− x2 ) + ln(4 − y2 ) + ln(9 − z2 ) .

10.u = arccos x + arccos 2 y + arccos z 2 .

Обчисліть границю або доведіть, що вона не існує.

11.

lim

x + 2 y

12.

lim

x4 + y

13.

lim

sin(x + y)

x→0,

x + 6 y

x→0,

+ y

x→0,

+ y

y→0

14.

lim

arctg(xy)

15.

lim

tg(xy)

16.

lim

sin(x + 2 y)

x→∞,

+ y

x→0,

x→∞,

2xy − 3

y→∞

y→2

y→1

lim xe−(x2 + y2 ) .

17.

lim e

x2 + y2

18.

x→∞,

y→1

y→∞

Дослідіть функції на неперервність.

19.

f (x, y) =

+ y2

20. f (x, y) =

+ y 2

− y

x2 − xy + 2 y 2

sin x +sin y

, якщо

x + y ≠ 0,

21.

x + y

f (x, y) =

якщо

x + y = 0.

			3
			x	y				2		2
			x	y		, якщо	x	2	+ y	2	≠ 0,

		2			2
22.		2	+ y		2
22.	f (x, y) = x		+ y


			0,			якщо	x = y = 0.
			0,			якщо	x = y = 0.

Знайдіть точки чи лінії розриву функцій.

23. z =	x + y	.	24. z =	x − y	.	25.	z =	sin(x + y)	.
	x2 + y2			x3 + y3				sin( y − x)

Відповіді

1.Рис. 1.6. 2. Рис. 1.7. 3. Рис. 1.8. 11. Не існує. 12. 0. 13. ∞ . 14. 0. 15. 1/ 2 . 16. 0. 17.

1.18. 0. 19. Неперервна при всіх значеннях x та y за винятком точок прямої у = х.

20. Неперервна при всіх значеннях x та y за винятком точки (0; 0). 21. Неперервна

при всіх значеннях

x та y. 22. Неперервна при всіх значеннях

x та

y. 23. (0; 0) —

точка розриву. 24. Пряма у = –х — лінія розриву. 25. Сім’я прямих

y = x + πn, n z

—

лінії розриву.

у = х2 – 3х + 2

у= х2

1/2

х2 + 4у2 = 1

O 1

х=1

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Рис. 1.8

Т.1 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1.1. Знайдіть і зобразіть на площині						Oxy область визначення функції
z(x, y).
1.1.1. z = ln(x − y) arccos(x2 + y2 ) .						1.1.2. z = x2 − y 2 ln x .
1.1.3. z =	4−x	2	− y	2	ln(x − y) .	1.1.4. z = arcsin	x2 + y		2	.
1.1.3. z =	4−x		− y		ln(x − y) .	1.1.4. z = arcsin	2x			.
							2x
1.1.5. z =	x − y +			1 − x2 − y2 .		1.1.6. z = arcsin	x	.
1.1.5. z =	x − y +			1 − x2 − y2 .		1.1.6. z = arcsin	x − y	.
							x − y

1.1.7. z = arccos

+ (4 − x 2 − y 2 )−1/ 2 .

1.1.9. z = ln(9 −x2 − y2 ) ln(x2 −1) .

1.1.11. z = ln sin x + ln cos y .

1.1.13. z = arcsin

ln(2 −

) .

1.1.15. z =

y −

− x + ln(4− y2 ) .

1.1.17. z =

9 − x2 − y 2 arccos y .

1.1.19. z = arcsin

+ y

− yx .

1.1.21. z = arccos

+ y 2

+ arcsin ln x .

1.1.23. z = ln((x + y) ln( y − x)) .

1.1.25. z = tg πx ln(9−x2 − y2 ) .

1.1.27. z = ctg πx +arccos

+ y2

1.1.29. z = ((x 2 + y 2 − 1)(x + y))1/ 2 .

1.1.8. z =

9x 2

+ 4 y

2 − 36

36 − 4x 2

− 9 y 2

1.1.10.

z =

y −x2

ln(x + y −1)

1.1.12. z = ln(sin x sin y) .

1.1.14.

z =

x2 + y2 −1

16−x2

− y2 .

+ y 2

1.1.16.

z = ln

+ 2y

1.1.18. z =

4−

ln sin πx .

ln(1− y )

1.1.20. z = arcsin x .

1.1.22. z = ln( y(9−x2 )) .

1.1.24. z =	y −ln x	.

	x − y

1.1.26.	z = ln(1 − xy) ln(x + y) .
1.1.28.	z = ln(x(1−x2 − y2 )) .
1.1.30.	z = (−ln(x2 + y2 ))1/ 2 .

1.2. Обчисліть границю або доведіть, що вона не існує.

1.2.1.	lim	−x + 2 y	.			1.2.2.	lim	x2 + 2xy +3y2			.
1.2.1.	lim	3x −4 y	.			1.2.2.	lim	x2 + y2			.
	x→0,	3x −4 y					x→0,	x2 + y2
	y→0						y→0
1.2.3.	lim	1− 1−x2 − y2			.	1.2.4.	lim	x +6 y	.
1.2.3.	lim				.	1.2.4.	lim		.
	x→0,	x2 + y2					x→0,	6x − y
	y→0						y→0
1.2.5.	lim	x2 −xy + 2 y2		.		1.2.6.	lim	x6 + y6		.
1.2.5.	lim	x2 + y2		.		1.2.6.	lim	x2 + y2		.
	x→0,	x2 + y2					x→0,	x2 + y2
	y→0						y→0

1.2.7. lim

x +5y

y→0

4x +3y

x→0,

1.2.9. lim

arctg(x + y)

x→∞,

x2 +2 y2

y→∞

1.2.11. lim

ex6 −ey6

x2 − y2

x→0,

y→0

1.2.13. lim

2x2 −5xy + 2 y

x −2 y

x→0,

y→0

1.2.15. lim

x2 + xy −2 y2

x − y

x→0,

y→0

1.2.17. lim

sin x

y→0

tg y

x→0,

1.2.19. lim

x2 −xy −2 y2

x + y

x→0,

y→0

1.2.21. lim

ex2 −ey2

x − y

x→0,

y→0

1.2.23. lim

x2 + y2

x − y

y→0

x→0,

1.2.25. lim

x + y

3x + 4 y

x→0,

y→0

1.2.27. lim

ln(1+ x2 + y2 )

x2 + y2

x→0,

y→0

1.2.29. lim

ex −1

x→0,

y→0

1.2.8. lim x2 −3xy +5y2 .

x→0, x2 + y2 y→0

1.2.10. lim

sin x

x→0,

y→0

1.2.12. lim

4 + y

y→0

3x −5y

x→0,

1.2.14. lim

sin(2xy)

x→3,

x2 y +sin y

y→0

1.2.16. lim

ln(1−x2 − y

2 )

x2 + y2

x→0,

y→0

1.2.18. lim

ex2 −1

x→0,

−1

y→0

1.2.20. lim

sin(xy)

x→0,

tg(xy2 )

y→2

1.2.22. lim

2− 4−x2 − y2

x2 + y2

x→0,

y→0

1.2.24. lim

arcctg(xy)

x→∞,

x2 + 4 y2

y→∞

1.2.26. lim

2x + y

x→0,

x2 + y2

y→0

1.2.28. lim

ex −1

ey −1

x→0,

y→0

1.2.30. lim

arctg(x − y)

x→∞,

3x2 + 2 y2

y→∞

Тема 2. ПОХІДНІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ

ФУНКЦІЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ

Частинний і повний прирости функції двох змінних. Частинні похідні функції кількох змінних. Повний диференціал функції кількох змінних і його застосування до наближених обчислень. Частинні похідні і диференціали вищих порядків.

Література: [2, розділ 1, п. 1.2], [3, розділ 6, §2], [4, розділ 6, §16], [6, розділ 6, п. 6.1], [7, розділ 8, §5 — 12], [9, §44].

Т.2 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

2.1. Частинний і повний прирости функції кількох змінних

Нехай	на деякій множині D задано функцію					z = f (x, y) і	точку
M (x, y) D .
Повним приростом функції z = f (x, y)				у точці М називають функцію

		z = f (x + x, y + y) − f (x, y).

Частинним приростом функції			z = f (x, y) у точці М, який відповідає
приросту	x аргумента x , називають функцію

		x z = f (x + x, y) − f (x, y).
За аналогією,

		y z = f (x, y + y) − f (x, y)			—
частинний приріст за змінною y.
Зауважимо, що повний приріст функції z = f (x, y)						— це функція двох
змінних x	та y , тоді як приріст x z		— функція однієї змінної x , а				y z —
функція змінної y . У загальному випадку
		z ≠	x z +	y z .

2.2. Частинні похідні функції кількох змінних

Нехай функція z = f (x, y)

визначена в деякому околі точки M (x, y) .

Якщо існує границя

lim

x z = lim

f (x + x, y) − f (x, y)

x→0

то її називають частинною похідною функції f (x, y)

у точці M (x, y) за

змінною x і позначають z′ ,

f ′ ,

∂z

∂f

∂x

За аналогією,

z′ =

lim

y z

lim

f (x, y + y) − f (x, y)

—

y→0

частинна похідна функції f (x, y) у точці M (x, y) за змінною у.

Щоб знайти частинну похідну

∂z

, потрібно взяти звичайну похідну

∂x

функції

z = f (x, y)

за змінною х, вважаючи змінну у сталою. Аналогіч-

но,

∂z

— це похідна за змінною у функції z = f (x, y) при фіксованому

∂y

значенні х. Звідси випливає, що частинні похідні знаходять за звичайни-

ми правилами диференціювання функції однієї змінної.

Для функції u = f (x1 , x2 ,…, xm ) може існувати m частинних похідних:

∂u

, …,

∂u

∂x

Частинну

похідну

∂u

знаходять, як звичайну похідну

функції

∂xk

u(x1 , x2 ,…, xm ) за змінною xk , вважаючи решту змінних сталими.

Частинні похідні складеної функції u = f (x1 , x2 ,…, xm ) , де хі

= хі (t1,

t2,

…, tk ) , i = 1, 2, …,

т, знаходять за формулами

<<< < Предыдущая 12 / 282 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.20196.01 Mб39(Т3укр)м(Л14).doc
#
29.08.20195.47 Mб21(Т4 укр)м(Л21).doc
#
29.08.20193.68 Mб36(Т5укр)м(Л22-23).doc
#
11.12.2018296.96 Кб12+Изгот микросхем.doc
#
11.12.2018437.76 Кб3+страничная память.doc
#
19.02.20162.32 Mб210887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20163.59 Mб510887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.09.2019106.5 Кб01 000 000 $.doc
#
16.11.20191.38 Mб11 Lab (Neuro).docx
#
19.02.20161.12 Mб1001 Конспект лекций Основы системного анализа.doc
#
25.11.2019238.27 Кб41 Літосферні стихійні лиха.docx