Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

2.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

1 =

2 − 3 .

= −

+ tg x

1+ tg

3π

− cos 2x dx =

4. ∫

∫

sin x

dx = ∫sin xdx +

∫ (− sin x)dx =

= − cos x

+ cos x

3π

2 = −(−1− 0) + (0 − (−1)) = 2 .

5. Знайдіть середнє значення функції

f (x) =

напроміжку[2; 3].

x 2 − x + 1

Розв’язання. З теореми про середнє значення (властивість 5) випливає рівність

									1			b
						f (c)		=	1			∫ f (x)dx ,
						f (c)		=	b − a			∫ f (x)dx ,
									b − a			a
												a
де f (c) — середнє значення функції											f (x)		на [a; b] , c [a; b] .
У цьому випадку
													1
			3		dx		3			d x −												2x − 1		3
		1	3				3			d x −			2						2
f (c) =		1	∫			=	∫						2					=	2		arctg				=
f (c) =	3	− 2	∫	2	− x + 1	=	∫			1				3		2		=	3		arctg	3		2	=
	3	− 2	2 x		− x + 1		2			1		2		3					3			3		2
								x −				+
								x −				+
										2				2
										2				2
			=	2	(arctg		5	− arctg				3) =			2		arctg			3 .
				3			3								3					9
Тут ми застосували формулу arctg α − arctg β = arctg																					α − β		.
Тут ми застосували формулу arctg α − arctg β = arctg																							.
																				1+ αβ

6. Не обчислюючи інтеграла, доведіть рівність

∫ (x4 − x2 ) tg xdx = 0 .

− π

161

Розв’язання. Оскільки межі інтегрування симетричні відносно нуля, то згідно з властивістю 11 достатньо показати, що підінтегральна функція f (x) = (x4 − x2 ) tg x непарна. Маємо:

f (− x) = ((− x)4 − (− x)2 ) tg(− x) = − (x4 − x2 ) tg x = − f (x) ,

тобто f (x) — непарна функція.
7. Чи можна обчислити підстановкою x = sin t	інтеграл
2
∫ x 3 1−x2 dx .
0
Розв’язання. Змінній t на проміжку (−∞; ∞)	відповідає змінна x на

відрізку [−1; 1] , тоді як проміжок інтегрування — відрізок [0; 2] . Тому даний інтеграл за допомогою заміни x = sin t обчислити неможливо.

Обчисліть визначені інтеграли, використовуючи заміну змінної.

π 2		dx
8. ∫			.
	2	+ cos x
0

Розв’язання. Скористаємося універсальною тригонометричною підста-

новкою tg 2x = t . Тоді

			π 2									tg			x	= t,		x = 2arctg t,					π
															x
							dx							2							x	0
			∫0				dx		=						2dt		, cos x =		1− t2		x	0	2	=
					2 + cos x						dx =									,			2
																					t	0	1

														1+ t2					1+ t2
1						2dt								1		dt		2 = 2		t	1	2		1		π
= ∫						2dt						=	2∫			dt			arctg	t	=	2	arctg	1	=	π	.
= ∫										2		=	2∫			3 + t			arctg		=	3	arctg	3	=	3 3	.
0				2				1 − t						0		3 + t		3		3	0	3		3		3 3
0		+ t		2			2 +	1 − t						0				3		3	0
	(1				)
	(1				)			1 + t		2
								1 + t
	ln 5		e x			xe x −1 dx.
9. ∫			e x			xe x −1 dx.
	0			e			+ 3
	0

Розв’язання. Нехай e x − 1 = t , визначаємо межі змінної t :

α = e0 − 1 = 0 , β = eln 5 − 1 = 2 .

Знайдемо

e x = t 2 + 1 , e x dx = 2tdt , dx = 2tdt . t 2 + 1

162

Тоді

ln 5

e x

xe x −1dx =

2 + 1) t

2tdt

t 2

t 2 +

4 − 4

∫

= 2∫

dt = 2∫

dt =

+ 4

+ 3

+ 4 t

+ 1

= 2∫ (1−

)dt = 2(t − 2 arctg

)

= 4 − π .

+ 4

Обчисліть визначені інтеграли, використовуючи метод інтегрування частинами.

10. ∫ x 2 sin xdx .

Розв’язання. Використавши двічі формулу інтегрування частинами, дістанемо:

u = x

dv = sin xdx,

∫ x 2 sin xdx =

= − x2 cos x

+ 2∫ x cos xdx =

du = 2xdx, v

= − cos x

u = x,

dv = cos xdx,

= 2∫ x cos xdx =

= 2x sin x

− 2∫sin xdx =

du = dx, v = sin x

= π + 2cos x

= π − 2 .

11. ∫ arcsin xdx .

1+ x

Розв’язання. Покладемо u = arcsin x ,

dv =

. Тоді du = dx ,

1+ x

1− x 2

v = 2 1+ x . Отже,

arcsin x

1+ x arcsin x1

+ x

∫

dx = 2

−

∫

dx = 2

2 arcsin1−

1+ x

1− x2

1− x 1

−2 arcsin 0 − 2∫

= π

2 + 4

= π

2 − 4 .

1− x

163

12. ∫sin n xdx

( n – натуральне число).

Розв’язання.

n−1

u = sin

= sin xdx,

Jn = ∫ sinn xdx =

n−

x cos xdx,

du = (n −1)sin

= − cos x

= − cos x sin n−1 x

+ (n − 1)

∫ cos2 x sin n−2 xdx =

= (n − 1)∫ (1− sin2 x)sinn−2 xdx = (n − 1)∫sin n−2 xdx − (n − 1)∫sin n xdx .

Отже,

J n = (n − 1)J n−2 − (n − 1)J n ,

звідси

n −1

J n =

J n−2 .

Якщо n = 2k − 1 — непарне число, то одержана рекурентна формула

зводить обчислення J n до інтеграла J1 = ∫sin xdx = − cos x

= 1 .

Тоді

J 2k −1

(2k − 2)!!

(2k − 2)(2k − 4)… 4 2

( k N ).

(2k − 1)!!

(2k − 1)(2k − 3)… 5 3

Якщо n = 2k — парне число, то одержана рекурентна формула зводить

обчислення J n

до J 0 = ∫ dx =

Тоді

J 2k

(2k − 1)!!

(2k − 1)(2k − 3)… 31

( k N ).

(2k)!!

(2k)(2k − 2)… 4 2

164

Т.6 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Обчисліть визначені інтеграли.

	16		x − 4 dx .
1.	∫		x − 4 dx .
	1		x + 2
	π 2					dx
4.	∫					dx				.
4.	∫		2 cos x					+ 3		.
	0		2 cos x					+ 3
	0
	4			x
7.	∫			x			dx .
	1		x +			1
	ln14			e	x		e	x	− 5
10.		∫		e			e		− 5		dx .
10.		∫				e	x	+ 1			dx .
	ln 5					e		+ 1
	ln 5

	a
13.	∫	a 2 − x 2 dx .
	0
	3	dx
16.	∫	dx	.
16.	∫	x x 2 + 5x + 1	.
	1	x x 2 + 5x + 1

e−2

19. ∫ ln(x + 2) dx .

Доведіть рівності.

	2			2
2.		∫		x		x 2 + 1dx .
	0					1
	2		sin
		π

5.		∫			x		dx .
				x	2
	1

8.∫0 1+xx dx .

−ln 2

11. ∫ 1− e2x dx .

0
2	dx
14. ∫	dx	.
14. ∫		.
2 x5	x 2 − 1

17. ∫ xe− x dx .

3		xdx
20. ∫					.
20. ∫		sin	2		.
	π	sin		x
4

	e				dx
3.	∫				dx	.
3.	∫					.
	1		x	1− ln 2 x
	2			dx
6.	∫			dx		.
6.	∫		x(x + 1)			.
	1		x(x + 1)
	1
	14			x
9.	∫			x		dx .
	2			2 + x
		1
12. ∫ x 2					1− x 2 dx .
		0
		2		dx
15. ∫				dx			.
15. ∫				3			.
		1		x + x

18. ∫ x cos 2xdx .

21. ∫ln2 xdx.

								π																	2											2
						4					x + tg x														2	x sin 3x					+ 1					2		x sin 3x + 1
		22.						∫									dx = 0 .						23.		∫									dx = 2∫											dx .
		22.						∫						2		x	dx = 0 .						23.		∫	ln(1+ x					4	)		dx = 2∫				ln(1+ x				4		)	dx .
							−		π 1+ sin							x									−2	ln(1+ x						)				0		ln(1+ x						)
							−		4																				f (x)					= sin 2 x				на проміжку [0; π] .
		24. Знайдіть середнє значення функції																											f (x)					= sin 2 x				на проміжку [0; π] .
																		π						Відповіді																					π
		1. 12.								2.		26	.			3.		π	.		4.		2	arctg	1		.	5. 1.					6.	ln	4	. 7. 3. 8.						2		−		.		9.			88		.
		1. 12.								2.			.			3.			.		4.			arctg			.	5. 1.					6.	ln	4	. 7. 3. 8.						2		−		.		9.			88		.
										3						3		2				3	5		5						π			3			πa2				1				2		7	3	3
10.			6 − 2							6 arctg						3	.	11.				3	+ ln(2 −		3) .			12.			π		.	13.			πa2	.	14.		1			(π +			7	3	− 8) .
10.			6 − 2							6 arctg						2	.	11.			2		+ ln(2 −		3) .			12.		16			.	13.		4		.	14.	32				(π +				2	− 8) .
																2					2									16						4				32								2
15.		1		ln		8		.			16. ln				7 + 2			7		.		17. 1−2/e .			18.			π −	1	. 19. 2 − 2ln 2 .									20.				π		(9 − 4				3) +
		2				5											9											8	4													36
+	1		ln		3		. 21. e − 2 . 22. Вказівка. Врахуйте непарністьпідінтегральної функції. 24.																																											1		.
+			ln																																														2			.
2		2																																															2

165

Т.6 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

Обчисліть визначені інтеграли, використовуючи заміну змінної.

293 (x − 2)2

1.∫3 3 + 3 (x − 2)2 dx .

8		x + 1 + 1 dx .
4. ∫		x + 1 + 1 dx .
3		x + 1 − 1
ln 5		e x	xe x − 1 dx .
7. ∫		e x	xe x − 1 dx .
0		e	+ 3
4			dx
10. ∫			dx			.
10. ∫						.
0 1 +			2x + 1
0.5 ln 2			e x dx
13.		∫	e x dx
								.
			x			− x		.
		0	e	+ e
		0
	2			dx
16. ∫				dx					.
16. ∫		x +1 +				(x +1)3			.
	0	x +1 +				(x +1)3
	5		x2 dx
19. ∫			x2 dx			.
	2	(x − 1)			x − 1
ln 2			dx
22. ∫			dx			.
22. ∫						.
	0	e x	1 + e−2x
e3		ln xdx
25. ∫		ln xdx					.
25. ∫					2		.
e	2 x(1 − ln					x)
e
13		(3x + 1)dx .
28. ∫		(3x + 1)dx .
0		2x + 1

	ln 2						dx
2.	∫						dx						.
2.	∫		e	x		(3		+ e		− x		)	.
	0		e			(3		+ e				)
	0
	5						dx
5.	∫						dx					.
5.	∫											.
	0	2x +						3x + 1
	ln 2
8.	∫			e x − 1dx .
	0
	7 / 3						xdx
11.		∫					xdx					.
11.		∫					3x + 2					.
	2 / 3						3x + 2
	0						dx
14. ∫							dx					.
14. ∫				+			3	x +		1		.
	−11			+				x +		1
	5				xdx .
17. ∫					xdx .
	0			3x + 1
	π / 2						cos xdx .
20.		∫					cos xdx .
		0		4 +				sin x
	e3						dx
23. ∫							dx					.
23. ∫												.
	1 x 1 + ln x
		26						x3dx
26.		∫						x3dx						.
26.		∫			(1 + x				2	)	2 / 3			.
		7			(1 + x					)
		7
	ln12						dx
29.		∫					dx					.
29.		∫					4 + e x					.
	ln 5						4 + e x

	8		xdx .
3.	∫		xdx .
	3		x + 1
	2 ln 2 dx
6.	∫								.
6.	∫			e		x			.
	ln 2			e			− 1
	ln 2
	5	xdx .
9. ∫		xdx .
	0	x + 4
	ln 3						dx
12. ∫							dx				.
12. ∫			e		x		− e		− x		.
	ln 2		e				− e
	ln 2
	1			x2 dx
15. ∫				x2 dx						.
15. ∫		(1 + x)						4		.
	0	(1 + x)
	0
	3

∫x2 dx

18..7 3

0 9 + x

	0	x
21.	∫	1 − e	dx .
21.	∫	x	dx .
	ln 3	1 + e
	ln 3
	ln 3	dx
24.	∫	dx		.
24.	∫	1 + e x		.
	ln 2	1 + e x
	9	xdx .
27.	∫	xdx .
	4	x − 1
	1	xdx .
30. ∫		xdx .
	−1	5 − 4x

Тема 7. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

Невласні інтеграли першого і другого роду. Означення, обчислення, ознаки збіжності.

Література: [1, розділ 8], [3, розділ 7, §2], [6, розділ 9, п. 9.4], [7, розділ 11, § 7], [9, § 40].

166

Т.7 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Для практичного застосування важливе значення має розширення поняття визначеного інтеграла у випадку нескінченного проміжку інтегрування, а також якщо функція необмежена на скінченному відрізку інтегрування. Такі інтеграли називають невласними інтегралами відповідно пер-

шого і другого роду.

7.1. Невласні інтеграли першого роду

Нехай функція f (x) задана на нескінченному проміжку [a, ∞) та інтегровна на будь-якому скінченному відрізку [a, A] , a < A < ∞ (рис. 2.2).

Границю lim ∫ f (x)dx називають невласним інтегралом першого

A→∞ a

роду від функції f (x) і позначають

∞A

∫ f (x)dx = Alim→∞ ∫ f (x)dx .

Аналогічно визначають невласні інтеграли

на проміжках (−∞,b]

та (−∞, ∞) :

∫

f (x)dx =

lim

∫

f (x)dx ,

у = f(x)

B→−∞

∞

−∞

∫

f (x)dx =

lim

f (x)dx + lim

f (x)dx ,

B→−∞ ∫

A→∞ ∫

Рис. 2.2

−∞

де c — довільне дійсне число.

Якщо границі у правих частинах існують і скінченні, то відповідні невласні інтеграли називають збіжними. В іншому випадку — розбіжними.

У деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Сформулюємо без доведення ознаки збіжності невласного інтеграла першого роду.

Якщо на проміжку [a;∞) функції f (x) та g(x) неперервні і задовольняютьТеорема 1 умову 0 ≤ f (x) ≤ g(x) принаймні на проміжку [a + α;∞) , де

167

	∞
α ≥ 0 , то	із збіжності інтеграла ∫ g(x)dx	випливає збіжність інтеграла
	a	∞
∞	∞	∞

∫ f (x)dx , а ізрозбіжностіінтеграла ∫ f (x)dx — розбіжністьінтеграла ∫ g(x)dx .

a a a

f (x)

Теорема 2

Якщо існує

lim

= k , 0 < k < ∞ ( f (x) > 0 , g(x) > 0 ), то

x→∞ g(x)

∞

обидва інтеграли ∫ f (x)dx

та ∫ g(x)dx

збіжні або розбіжні одночасно.

∞

Теорема 3

Якщо інтеграл

∫

f (x)

збігається, то збігається й інтеграл

∞

∫ f (x)dx .

7.2. Невласні інтеграли другого роду

Нехай функція

f (x)

визначена на проміжку [a, b) . Точку x = b назве-

мо особливою точкою функції

f (x) , якщо lim f (x) = ∞ (рис. 2.3). Крім то-

x→b

го, нехай функція f (x)

інтегровна на кожному відрізку [a, b − ε] при дові-

льному ε > 0 ( b − ε > a ).

b−ε

Границю

ε→lim0

∫ f (x)dx

називають невласним інтегралом другого

роду від функції

і позначають

f (x)

b−ε

∫ f (x)dx = ε→lim0 ∫ f (x)dx .

Якщо x = a — особлива точка, то невласний інтеграл визначають так:

b			b
∫ f (x)dx = ε→lim0			∫ f (x)dx .
a			a+ε
Якщо x = c — особлива точка, причому				a < c < b (рис. 2.4), тоді за
означенням
b		c−ε			b
∫ f (x)dx =	ε→lim0	∫ f (x)dx + δ→lim0			∫ f (x)dx .
a		a			c+δ

168

y				y


	у = f(x)				у = f(x)
			х				c


O a		b – ε b		O	a c – ε c			+ δ b х
		Рис. 2.3				Рис. 2.4

Ознаки збіжності для невласних інтегралів другого роду.

Теорема 4	Якщо функції	f (x)	та g(x) неперервні на [a; b) , мають
	особливу точку	x = b	і задовольняють умову 0 ≤ f (x) ≤ g(x)

принаймні на проміжку [a + α; b) , де	0 ≤ α < b , то із збіжності інтеграла
b	b

∫ g(x)dx випливає збіжність інтеграла ∫ f (x)dx , а із розбіжності інтеграла

a					a
b					b
∫ f (x)dx випливає розбіжність інтеграла ∫ g(x)dx .
a					a

Теорема 5	Нехай функції f (x) та g(x) неперервні на проміжку [a; b) ,
	мають особливу точку x = b , тоді, якщо існує границя
			lim	f (x)	= k , 0 < k <∞ ,
			lim		= k , 0 < k <∞ ,
			x→b g(x)
	b		b
то інтеграли ∫ f (x)dx			та ∫ g(x)dx		або одночасно збігаються, або одночас-
	a		a
но розбігаються.
			x = b — особлива точка функції f (x) і інтеграл
Теорема 6	Якщо		x = b — особлива точка функції f (x) і інтеграл
	b				b
	∫	f (x)	dx збігається, то інтеграл ∫ f (x)dx також збігається.


	a				a

169

Т.7 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

Обчисліть невласні інтеграли першого роду або встановіть їх розбіжність.

∞

1. ∫

+ x

Розв’язання. За означенням невласного інтеграла першого роду маємо

∞

−π

= π .

∫

= lim

∫

= lim arctg x

= lim (arctg A−arctg1) =

1+ x

A→∞

1+ x

A→∞

1 A→∞

Отже, інтеграл збігається і дорівнює π4 . Геометрично це означає, що

площа необмеженої криволінійної трапеції скінченна і дорівнює π4 (рисунок виконайте самостійно).

∞

2. ∫ dx .

∞

Розв’язання. ∫

= lim

∫

= lim ln

lim ln

= ∞ .

A→∞

Отже, інтеграл розбігається.

∞

3. Дослідіть збіжність інтеграла ∫

залежно від

p .

Розв’язання. Випадок

p = 1 розглянуто в прикладі 2. Нехай p ≠ 1 , тоді

∞

− p+1

, якщо

p > 1,

= lim

p − 1

∫1 x p

A→∞

A→∞ − p + 1

1 A→∞ − p + 1

p − 1

∞,

якщо

p < 1.

∞

Висновок.

Невласний інтеграл першого роду

∫

збігається для

p > 1 і розбігається для

p ≤ 1 .

∞

∫

−∞ x

− 6x + 10

Розв’язання. Длязручностівиконаємо заміну x −3 = t , дістанемоінтеграл

∞ dt

−∫∞ t2 +1 .

170

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.20196.01 Mб39(Т3укр)м(Л14).doc
#
29.08.20195.47 Mб21(Т4 укр)м(Л21).doc
#
29.08.20193.68 Mб36(Т5укр)м(Л22-23).doc
#
11.12.2018296.96 Кб12+Изгот микросхем.doc
#
11.12.2018437.76 Кб3+страничная память.doc
#
19.02.20162.32 Mб210887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20163.59 Mб510887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.09.2019106.5 Кб01 000 000 $.doc
#
16.11.20191.38 Mб11 Lab (Neuro).docx
#
19.02.20161.12 Mб1001 Конспект лекций Основы системного анализа.doc
#
25.11.2019238.27 Кб41 Літосферні стихійні лиха.docx