0887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

+ (x3e y + y3 )dy = 0 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

2.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2823 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Т.1 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1.1. Розв’яжіть диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

1.1.1. 3(x2 y 2 + x2 )dx + (2 y − x3 y)dy = 0 . 1.1.2. xey y ′ = e2 y +1.

1.1.3. y(4 + x2 )dy +

1 − y 2 dx = 0 .

1.1.4.

y′ = x4 x+ y .

1.1.5. (x2 − y2 x2 )dx + ( y2 − x2 y2 )dy = 0.

1.1.6.

1 − x2 dy − ydx = 0 .

1.1.7. x(1 − y 2 )dx −

1 − x2 dy = 0 .

1.1.8. yy′ +

4 + y 2

= 0 .

4 − x2

1.1.9. cos yex dx +(1+e2x ) sin ydy = 0 .

1.1.10. xy ′−4 = y2 .

1.1.11. y′ − x cos2 y sin 2 x = 0 .

1.1.12. yy′(1+ x 2 ) = 1+ y 2 .

1.1.13. (1 + y 4 )dx −

x ydy = 0 .

1.1.14. (x − 1) yy′ = 1 + y 2 .

1.1.15. y(1+ 2x) y′ = (1− 2x) .

1.1.16. x2 yy ′+3 = y2 .

1.1.17. y(1 + x2 ) y′ + x(1 + y 2 ) = 0 .

1.1.18. y ′ =

y3 −1

y2 x2

1.1.19. ydy −x sin x

9− y2 dx = 0 .

1.1.20. (1+ x3 ) y′ = x2 (1+ y) .

1.1.21. 1+ x2 dy = tg ydx .

1.1.22. x − xy2 = y′(4 + x2 ) .

1.1.23. (1+ x2 )dy = 1− y−2 dx .

1.1.24. (1 + x) yy′ = e− y2 .

1.1.25. tg xdy + 1− ydx = 0 .

1.1.26. y ′ = 2 y ctg x .

1.1.27. e1/ y y′ = y 2 x2 ln x .

1.1.28. xx′= y cos( y2 ) 1+ x2 .

1.1.29. e−sin y dx = x cos y ln xdy .

1.1.30. y 2 dx + x ln xdy = 0 .

1.2. Розв’яжіть однорідні диференціальні рівняння.

1.2.1.

2y ′ = ey / x + 2 y / x .

1.2.2. y ′ =

+ 2

1.2.3.

y′ =

x +

− 1.

1.2.4.

2y′ =

+ 2

− 4 .

x − y

1.2.5. (x + y)dx + ( y − 2x)dy = 0 .

1.2.6. (x2 + y 2 )dx + x2 dy = 0 .

1.2.7. ( y − 2x)dx + ( y + 2x)dy = 0 .

1.2.8.

2xydy = (x2 − y2 )dx .

221

1.2.9. (3y 2 + 2x2 )dx = ( y 2 − x2 )dy .

1.2.11.y′ = x + 2 y .

x− 4 y

1.2.13. (2x + 3y)dx = ( y + 2x)dy .

1.2.15.	xy′ = x sin	y	+ y .

		x
1.2.17.	4xy + y 2 = x(x + y) y′ .
1.2.19. (x2 − y 2 ) y′ = 2( y 2 + xy) .
1.2.21.	2x2 + y 2 = 2x2 y′ .
1.2.23.	xy′ = y(ln 2 ( y / x) + 1) .

1.2.25. (x − y) y′ = x + 2 y.

1.2.27. xy′ sin( y / x) + x = y sin( y / x) .

1.2.29. xy′ − y = y2 + x2 .

1.2.10. (2 y −x)dx = (3x + y)dy .

1.2.12. xy′− y = x ctg xy .

1.2.14. 2yxy ′ = x2 + y2 .

1.2.16. xy′ = xe2 y / x + y .

1.2.18. (x + 2y)dy + (2x + y)dx = 0 .

1.2.20. (2x2 + y2 ) y′ = y2 + 2xy .

1.2.22. xy′ = y + x sec(y / x) . 1.2.24. x2 y ′ = y2 −2x2 .

1.2.26. xy′ = y − xey / x .

1.2.28. x2 y′ + y2 = xyy′.

1.2.30. xy + y 2 = (3x2 + xy) y′ .

1.3. Розв’яжіть лінійні неоднорідні диференціальні рівняння.

1.3.1. (1− x2 ) y′ + 2xy = x.

1.3.2. (4 + x2 )y′ − 2xy = (4 + x2 )2 .

1.3.3. y′ − y / x = x cos x .

1.3.4.

y′ −

= x

− x2

1.3.5. (9 − x2 ) y′ + 2xy − x3 = 0 .

1.3.6.

y′ − 2xy =

xex2

x + 1

1.3.7. y′−

= (x +1)2 .

1.3.8. y′ sin x − y cos x = cos2 x .

−1

1.3.9. x2 y′ + y = e1/ x x .

1.3.10. (x3 − 1) y′ − 3x2 y = x − 1.

cos x

1.3.11. x3 y′ + y = e

2x2

sin 2x.

1.3.12. y ′− y ctg x =

sin2 x

1.3.13. x2 y′ − y =

1.3.14. (x4 + 1) y′ − 4x3 y = x.

1.3.15. y′ +

= e

− x2

1.3.16.

y′ + 2xy = x sin xe

− x2

1.3.17. xy′ + y = x ln x + 2 .

1.3.18. xy′ + 2y = x x .

222

x + 1 .

tg x + sin x .

1.3.19. y′ sin x − 3y cos x = sin 2x .

1.3.21. (4 + x2 ) y′ + 2xy = 1 . 1.3.23. x2 y′ = e1/ x sin(1/ x) − y . 1.3.25. y ′− y tg x = cos−3 x . 1.3.27. y ′− y tg x = cos2 x .

1.3.29. y ′+ y ctg x = sin2 x .

1.4. Розв’яжіть рівняння Бернуллі.

1.4.1. xy′ − 2y − x2 y = 0 .

1.4.3. y′ +	2xy		+ y 2 = 0 .
	x2 +
		1
1.4.5. (1+ x2 ) y′ − xy = y2 .
1.4.7. y′ +	y	= xy3 .
	x − 1

1.4.9. xy′ − y = y4 .

1.4.11.	xy′ − y = xy3 .
1.4.13.	xy′ + y = xy2 sin x .
1.4.15.	y′ +	y	= y 2 ln 2	x .

		x

1.4.17. (4 + x 2 ) y′ − 2xy = x / y . 1.4.19. 3xy′ − y = (x2 + 1) y−2 .

1.4.21.	2xy′ + y = x2 y−1 .
1.4.23.	y′ + 2 y + 2	y = 0 .
	x + 1
1.4.25. xy′ + y = y 2 ln x .
1.4.27. xy′ − 2y = 2x3		y .

1.4.29. (1 − x2 ) y′ − xy = xy 2 .

1.3.20. y′ + 2 y tg x =

1.3.22. xy′ − 2y = x2 1.3.24. xy′ + y = sin x .

1.3.26. y′ − y sin x = 0.5sin 2x .

1.3.28. y ′+ y tg x =1/ cos x .

1.3.30. y′ − y = x ln x . x ln x

1.4.2. y ′− y ctg x = y2 .

1.4.4. xy′ − y = x2 y4 .

1.4.6. (1− x2 ) y′ − xy = xy2 .

1.4.8. xy′ + 2 y = y 2 ln x .

1.4.10. 4xy′ + 3y = −ex x4 y5 .

1.4.12.y ( y′ + 2xy) = x .

1.4.14. ( yx2 − 2) ydx − xdy = 0 .

1.4.16. y ′+ y ctg x = y3 cos x .

1.4.18. 3y 2 y′ − y3 / x = x + 1 .

1.4.20. 2(1 + x2 ) y′ − 2xy = x / y .

1.4.22. y′ −	4xy		= 2 y (x + 2) .
	4 + x2
1.4.24. y′ +	2y =		2 y .
	x	cos2 x

1.4.26. 3x2 y′ + xy + y −2 = 0 . 1.4.28. 2 y′ − y tg x + y3 tg x = 0 .

1.4.30. y′ + xy = y 4 (1 − x2 ) .

223

1.5. Розв’яжіть задачі Коші.

1.5.1.y′ sin x = y ln 2 y ,

1.5.2.y ′−2y tg x = sec x ,

1.5.3.2( y − x) = (x + 2y) y′ ,

1.5.4.2y 2 + x 2 − x2 y′ = 0 ,

1.5.5.y′(4 + x 2 ) = 4 + y 2 ,

1.5.6.(x2 + 4) y′ − 2xy = x ,

1.5.7.(xy′− y) arctg xy = x ln x ,

1.5.8.xy′ = y 1− ln2 y ,

1.5.9.2(1 + e x ) yy′ = e x− y2 ,

1.5.10.y ′+ y tg x = cos2 x ,

1.5.11.y ′− y ctg x = sin 2x cos x ,

1.5.12.y ′+ y tg x = ex cos x ,

1.5.13.sin x sin yy′ = cos x cos2 y ,

1.5.14.y + x2 + y 2 − xy′ = 0 ,

1.5.15.y′ = 4 + y / x + ( y / x)2 ,

1.5.16.y′ sin2 x = y + 1,

1.5.17.(x2 + y2 )dy − 2xydx = 0 ,

1.5.18.y′ cos2 x = y ,

1.5.19.2yy ′ = ( y2 −1) ctg x ,

1.5.20.tg ydx −x ln xdy = 0 ,

1.5.21.xy′ − y / x = 1/ x ,

1.5.22.y′ = yy +− xx ,

1.5.23.	y′ =	y	+	x		,
				1 + x2
		x
1.5.24.	y′ =	− 2 y 2			,
		y 2 + x2
1.5.25.	y′ + 3x2 y = 3x5 ,

y(π / 2) = e . y(0) = 1 . y(1) = 0 . y(1) = 0 . y(0) = 2 . y(0) = 1 .

y(e) = 0 .

y(1) = e .

y(0) = 0 .

y(π / 4) = 0,5 . y(π / 2) = 0 . y(0) = 1 .

y(π / 2) = 0 . y(1) = 1 . y(1) = 2 . y(π / 4) = 1. y(1) = 2 . y(π / 4) = e . y(π / 2) = 0 . x(π / 2) = e . y(1) = 0 .

y(1) = 0 .

y(1) = 1 .

y(0) = 1 .

224

1.5.26. (x + y) y′ = y − 2x ,			y(1)	= 0 .
1.5.27. xy′ = y(1 + ln	y	) ,	y(1)	= ee .

	x
1.5.28. x2 y′ − y 2 = 1 ,			y(1) = 0 .
1.5.29. (x2 + 1) y′x tg y ,			y(0) = π / 6 .
1.5.30. yy′ + xey2 = 0 ,			y(1) = 0 .

1.6. Розв’яжіть рівняння у повних диференціалах.

1.6.1.(4x3 y3 + 3x2 y2 + 2xy)dx +(3x4 y2 + 2x3 y + x2 )dy = 0 .

1.6.2.(4x3 y2 + 3x2 y + 2x)dx +(2x4 y + x3 + 2 y)dy = 0 .

1.6.3.(ln x + 2xy2 )dx +(2x2 y + ln y)dy = 0 .

1.6.4.(cos x sin y + xex )dx +(sin x cos y + yey )dy = 0 .

1.6.5.(ln x + y)dx +(ln y + x)dy = 0 .

1.6.6.(arctg x + ln y)dx +( y /(1+ y2 ) + x / y)dy = 0 .

1.6.7. (2x sin y + 3x2 )dx + (x2 cos y + 1/ y)dy = 0 .

1.6.9. ( y + sin x cos2 x)dx + (x + cos y sin3 y)dy = 0 .

1.6.10. (2x cos(x2 + y2 ) + x2 )dx +(2y cos(x2 + y2 ) + y)dy = 0 .

1.6.11. (x( y + 2)exy + 2x)dx +(2x + x2 exy )dy = 0 .

1.6.12. ( y cos x +cos y)dx +(sin x −x sin y + 2 y)dy = 0 . 1.6.13. (2x sin y + 4x3 )dx +(x2 cos y −sin y)dy = 0 .

1.6.14. (y −x		1+ x2 )dx +(y		y2 −1 + x)dy = 0 .
1.6.15. (2xe x2 + y + cos x)dx + (e x2 + y − sin y)dy = 0 .
	2x −1		cos	y		2

1.6.16.		+ 2xy dx +			+ x		dy = 0 .


				y
	1+ x

1.6.17.	cos(ln x) + ln y	dx +	ln x − sin(ln y)	dy = 0 .
	x
			y

225

1.6.18.(ex−y + y2 +3x2 )dx +(2xy −ex−y )dy = 0 .

1.6.19.(2xex2 +y2 +3x2 )dx +(2 yex2 +y2 −3y2 )dy = 0 .

1.6.20.(4x3 y2 + 2xy3 )dx +(2yx4 +3x2 y2 + 4 y3 )dy = 0 .

1.6.21.(3x2 y + y2 + 2x)dx +(x3 + 2xy)dy = 0 .

1.6.22.(sin x + y)dx + ( y cos y2 + x)dy = 0 .

1.6.23.(ln x + ex+ y )dx + (ex + ey )ey dy = 0 .

1.6.24.(2xey + y3ex + 2)dx +(x2ey +3y2ex )dy = 0 .

1.6.25.(x−1 + 2xy2 )dx +( y−1 + 2x2 y)dy = 0 .

1.6.26.(4x3 sin y + 2x cos y)dx + (x4 cos y − x2 sin y) dy = 0 .

1.6.27.(y2 + 3x2 y4 + 2x)dx + (2xy + 4x3 y3 − 3y2 )dy = 0 .

1.6.28.

+ln y + 2x dx + ln x +

+ 2 y dy = 0 .

1.6.29.

+ y dx + x −

= 0 .

1−x

1− y

1.6.30. (sin2 x + 2xy2 )dx +(2x2 y −cos2 y)dy = 0 .

1.7. Складіть диференціальні рівняння та розв’яжіть їх.

1.7.1. Знайдіть рівняння кривої, яка проходить через точку M 0 (2; 2) і

має ту властивість, що ордината точки перетину нормалі з віссю ординат дорівнює добутку координат точки дотику.

1.7.2. Знайдіть криву, яка проходить через M 0 (2; 1) , якщо кутовий кое-

фіцієнт дотичної в довільній точці кривої дорівнює квадрату ординати точки дотику.

1.7.3. Матеріальна точка масою т рухається прямолінійно під дією сили F , прямо пропорційної часу від початку руху і обернено пропорційної швидкості руху v. Встановіть залежність між швидкістю v і часом t, якщо

v = v0 при t = 0.

1.7.4. Швидкість точки, яка рухається прямолінійно, пропорційна кубу часу (коефіцієнт пропорційності дорівнює k). Через 2 с після початку руху точка буде на відстані 12 м. Знайдіть закон руху точки (тобто залежність шляху від часу).

226

1.7.5. Знайдіть рівняння лінії, яка перетинає вісь ординат у точці M0 (0; 1), і кутовий коефіцієнт її дотичної в довільній точці дорівнює добу-

тку абсциси на ординату точки дотику.

1.7.6. Знайдіть криву, яка проходить через точку M0 (2; 1), якщо сума

катетів трикутника, утвореного дотичною, ординатою точки дотику та віссю абсцис, дорівнює 3.

1.7.7.У посудину, яка містить 10 л води, неперервно наливається зі швидкістю 2 л/хв розчин, у кожному літрі якого міститься 0,3 кг солі. Розчин, що наливається в посудину, перемішується з водою; утворена суміш витікає з посудини з тією самою швидкістю. Скільки солі буде в посудині через 5 хв?

1.7.8.Знайдіть криву, яка проходить через точкуM0 (0; 2), якщо відрі-

зок осі абсцис, який відтинається дотичною та нормаллю, проведеними з довільної точки кривої, дорівнює 4?

1.7.9.Посудина об’ємом 20 л містить повітря (80 % азоту та 20 % кисню). У посудину за кожну секунду надходить 0,1 л азоту, який неперервно змішується, і витікає така сама кількість суміші. Через який час у посудині буде 99 % азоту?

1.7.10.У посудину, яка містить 20 кг солі на 100 л суміші, кожну хвилину надходить 20 л води та витікає 10 л суміші. Визначте, яка кількість солі залишається в посудині через t хвилин.

1.7.11.Температура вийнятого з печі хліба протягом 20 хв падає від

100° до 60° С. Температура повітря 20° С. Визначте, через скільки часу від початку охолодження температура хліба стане 30° С, якщо швидкість охолодження тіла пропорційна різниці температур тіла та середовища.

1.7.12. Знайдіть криву, що проходить через точку M0 (1; 1/ 3), якщо ку-

товий коефіцієнт дотичної в довільній точці кривої втричі більший за кутовий коефіцієнт радіуса-вектора точки дотику.

1.7.13. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v, що пропорційна квадрату часу. Знайдіть залежність між пройденим шляхом S і часом t , якщо S(0) = S0 .

1.7.14.Знайдіть криві, в яких точка перетину довільної дотичної з віссю абсцис рівновіддалена від точки дотику і початку координат.

1.7.15.Точка масою m рухається прямолінійно. На точку діють сила, пропорційна часу, та сила протидії, пропорційна добутку швидкості на час. Знайдіть залежність швидкості від часу.

1.7.16.Знайдіть лінію, що проходить через точку M0 (3; 1), якщо орди-

ната точки перетину дотичної з віссю ординат дорівнює подвоєній сумі координат точки дотику.

227

1.7.17. Знайдіть лінію, що проходить через точку M0 (1; 0), якщо орди-

ната точки перетину дотичної з віссю ординат дорівнює добутку координат точки дотику.

1.7.18.Знайдіть лінії, в яких відстані від будь-якої дотичної до початку координат дорівнюють абсцисі точки дотику.

1.7.19.Знайдіть закон руху точки, що падає під дією сили ваги, якщо в

початковиймомент часу t = t0 їївисота h = h0 , апочатковашвидкість v = v0 . 1.7.20. Знайдіть рівняння кривої, яка проходить через точку M0 (4; 3),

якщо довжина відрізка нормалі від точки кривої до точки перетину з віссю ординат дорівнює 5.

1.7.21. Знайдіть лінії, для яких площа трикутника, утвореного дотичною, ординатою точки дотику та віссю абсцис, є величина стала, що дорівнює 25.

1.7.22.Відношення відрізка, який відтинає дотична до кривої на осі ординат, до відрізка, який відтинає ця сама дотична на осі абсцис, дорівнює подвоєній абсцисі точки дотику. Знайдіть рівняння таких кривих.

1.7.23.Точка рухається прямолінійно зі сталим прискоренням a . Знай-

діть закон руху точки, якщо в початковий момент часу швидкість дорівнювала v0 , а шлях — S0 .

1.7.24. Знайдіть лінію, що проходить через точку M0 (1; 0), яка має таку

властивість: кут нахилу дотичної до осі Ох на 45° більший за кут між раді- ус-вектором точки дотику і віссю Ох.

1.7.25. Одиниця маси рухається вздовж осі абсцис під дією сталої сили F, яка спрямована вздовж осі. Сила опору повітря чисельно дорівнює швидкості руху. Знайдіть закон руху, якщо x(0) = x0 , v(0) = v0 .

1.7.26.Знайдіть криві, якщо квадрат довжини відрізка, що відтинає довільна дотична до цієї кривої від осі ординат, дорівнює добутку координат точки дотику.

1.7.27.Знайдіть криву, що проходить через точку M0 (0; 2), дотична до

якої від осі абсцис відтинає відрізок, у два рази більший за ординату точки дотику.

1.7.28. Знайдіть лінію, що проходить через точку M0 (1; 2), причому ор-

дината точки перетину дотичної з віссю Оу дорівнює натуральному логарифму абсциси точки дотику.

1.7.29.Знайдіть рівняння кривої, що проходить через точку М0 (1; 1), для якої відрізок довільної її дотичної, що міститься між координатними осями, ділиться в точці дотику у відношенні 1:2, рахуючи від осі ординат.

1.7.30.Знайдіть рівняння кривої, що проходить через точку М0 (3; 1), для якої відрізок дотичної між точкою дотику і віссю Ох ділиться навпіл у точці перетину з віссю Оу.

228

Тема 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

Основні поняття та означення. Диференціальні рівняння, які допускають зниження порядку. Лінійні диференціальні рівняння n -го порядку. Лінійні залежні і незалежні функції. Фундаментальна система розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння. Структура загального розв’язку однорідного лінійного диференціального рівняння n-го порядку.

Література: [2, розділ 3, п. 3.2, 3.3], [3, розділ 8, § 2], [4, розділ 8, § 26], [6, розділ 11, п. 11.2, 11.3.], [8, розділ 13, § 16— 18], [10, § 3].

Т.2 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

2.1. Основні поняття та означення

Загальний вигляд диференціального рівняння n-го порядку у неявній формі такий:

F (x, y, y′, y′′,..., y(n) ) = 0 .

Рівняння вигляду

y(n) = f (x, y, y′, ..., y(n−1) )

(3.18)

називають диференціальним рівнянням n-го порядку, розв’язаним відносно старшої похідної y(n) .

У загальному випадку розв’язок рівняння n-го порядку містить n довільних сталих C1,C2 , ...,Cn і має вигляд:

y = ϕ (x,C1,C2 , ...,Cn ) , або Ф(x, y,C1,C2 , ...,Cn ) = 0 .

Задача Коші для рівняння (3.18) формулюється так: знайти розв’язок рівняння (3.18), який задовольняє початкові умови:

				y(x	0	) = y	0	,	y′(x	0	) = y′	, ..., y	(n−1) (x	0	) = y	(n−1)	,
					0		0			0	0			0		0
де y	0	, y′	, ..., y	(n−1)		— задані дійсні числа.
	0	0		0
Загальним				розв’язком					рівняння			(3.18) називають функцію y = ϕ ×

× (x,C1,C2 ,...,Cn ) , яказалежить віддовільних сталих C1 , C2 , ..., Cn , ітаку, що:

229

1) при довільних C1 , C2 , ..., Cn вона є розв’язком даного рівняння;

2) для довільних початкових умов

y(x ) = y ,

y′(x ) = y′ , ..., y(n−1)

(x ) =

= y (n−1)

існує єдиний набір

значень

C = C0 , C

= C0

, ..., C

= C0

, при

якомурозв’язок y = ϕ (x,C0

, C0

, ..., C0 )

задовольняєзаданіпочаткові умови.

Розв’язок, який дістають із загального розв’язку при фіксованих сталих

C1 , C2 , ..., Cn , називають частинним розв’язком рівняння (3.18).

2.2. Диференціальні рівняння, які допускають зниження порядку

Рівняння вигляду

y(n) = f (x),

де f (x) — задана неперервна функція, інтегрується за формулою

y = ∫…∫			f	(x)dx…dx + C1	x n−1		+ …+ Cn−1 x + Cn .	(3.19)
y = ∫…∫			f	(x)dx…dx + C1	(n − 1)!		+ …+ Cn−1 x + Cn .	(3.19)
		n		n	(n − 1)!
				n

Справді, записавши це рівняння у вигляді
	d	(y(n−1) )= f (x) , або dy(n−1)				= f (x)dx,
		(y(n−1) )= f (x) , або dy(n−1)				= f (x)dx,
	dx

та інтегруючи, дістанемо

y (n−1) = ∫ f (x)dx + C1.

Продовжуючи процес зниження порядку даного диференціального рівняння, після n кроків дістанемо формулу (3.19).

Нехай задано диференціальне рівняння другого порядку

F(x, y, y ′, y′′) = 0 .

Це рівняння зводиться до рівняння першого порядку у таких випадках

(табл. 3.1):

				Таблиця 3.1

Рівняння	Характерна	Заміна	Друга	Рівняння
Рівняння	особливість		Друга	Рівняння
другого порядку	особливість		похідна	першого порядку
другого порядку	рівняння		похідна	першого порядку
	рівняння

F(x, y′, y′′) = 0	не містить	y′ = z(x)	y′′ = z′	F(x, z, z′) = 0
F(x, y′, y′′) = 0	шуканої	y′ = z(x)	y′′ = z′	F(x, z, z′) = 0
	функції
F( y, y′, y′′) = 0	не містить	y′ = p( y)	y′′ = p′p	F( y, p, p′p) = 0
F( y, y′, y′′) = 0	явно незалежної	y′ = p( y)	y′′ = p′p	або
	змінної х			Ф( y, p, p′) = 0

230

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2823 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.20196.01 Mб39(Т3укр)м(Л14).doc
#
29.08.20195.47 Mб21(Т4 укр)м(Л21).doc
#
29.08.20193.68 Mб36(Т5укр)м(Л22-23).doc
#
11.12.2018296.96 Кб12+Изгот микросхем.doc
#
11.12.2018437.76 Кб3+страничная память.doc
#
19.02.20162.32 Mб210887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20163.59 Mб510887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.09.2019106.5 Кб01 000 000 $.doc
#
16.11.20191.38 Mб11 Lab (Neuro).docx
#
19.02.20161.12 Mб1001 Конспект лекций Основы системного анализа.doc
#
25.11.2019238.27 Кб41 Літосферні стихійні лиха.docx