3.2.3. Свойства простейшего пуассоновского потока

Известны два свойства простейшего потока, которые могут быть использованы при решении практических задач.

3.2.3.1.Введем величину a=х. В соответствии со свойствами Пуассоновского распределения прионо стремится к нормальному. Поэтому при больших а для вычисления Р{Х(а) меньше, либо равно n}, где Х(а) – случайная величина распределенная по Пуассону с математическим ожиданием а можно воспользоваться следующим приближенным равенством:

3.2.3.2.Еще одно свойство простейшего потока связано со следующей теоремой:

Теорема:При показательном распределении интервала времени между требованиями Т, независимо от того, сколько он длился, оставшаяся его часть имеет тот же закон распределения.

Доказательство: пусть Т распределено по показательному закону: Предположим, что промежуток а уже длился некоторое время а<Т. Найдем условный закон распределения оставшейся части промежутка Т₁=Т-а

F_a(x)=P(T-a<x½ T>x)

По теореме умножения вероятностей:

P((T>a)(T-a<z))=P(T>z) P(T-a<z|T>a)=P(T>a) F_a(z).

Отсюда,

равносильно событию а<T<z+a, для которого P(а<T<z+a)=F(z+a)-F(a); с другой стороны

P(T>a)=1-F(a), таким образом

F_a(x)=(F(z+a)-F(a))/(1-F(a))

Отсюда, учитывая (3):

Этим свойством обладает только один вид потоков – простейшие пуассоновские. 

3.2.4. Простейший поток и решение практических задач

Исследование задач ТСМО становится намного проще в предположении, что исходный поток является простейшим пуассоновским.

Однако критическое изучение условий, которые приводят к простейшему потоку, заставляют сделать вывод, что простейшие потоки встречаются не так часто. Например, зачастую нарушается ординарность – одновременно происходят заказ одного и того же номера по телефону, необходимо ставить несколько машин под загрузку или разгрузку и т.д. Условие стационарности так же часто не выполняется, например меняется интенсивность заказов на переговоры в течении суток. Несоблюдение условия без последствия так же является обычным. Примером этого может служить поломка машин таксопарка, которая может привести (из-за увеличения нагрузки) к поломкам других машин.

Но в действительности простейшие потоки встречаются гораздо чаще, чем это кажется после приведенных соображений. Объяснением этого занимался шведский ученый Пальма. Позднее Хинчин А.Я. доказал одну общую теорему, которая представляет исключительную теоретическую ценность.

Хинчин доказал, что если поток является суммой большого числа n независимых ординарных, стационарных потоков интенсивности которых и ни один из них не является сравнимым по мощности со всем суммарным потоком, то при некоторых аналитических ограничениях суммарный поток сходится к простейшему с интенсивностью

Теорема Хинчина широко применяется на практике. Так под руководством Гнеденко был исследован поток судов, прибывающих в грузовой порт. Статистическая обработка позволила сделать вывод о достаточно хорошем совпадении реального потока с простейшим. На основании этого были сделаны прогнозы относительно прибытия судов на последующие месяцы.

3.2.5. Нестационарные пуассоновские потоки

Теорема Хинчина была обобщена на случай, когда слагаемые потоки являются неординарными и нестационарными. При этом, если слагаемые потоки независимы и их интенсивность приблизительно одинакова, то суммарный поток близок к пуассоновскому, но с примененным параметром (t).

Причем (t) называетсямгновенной плотностью. Она является пределом отношения среднего числа событий, приходящихся на элементарный интервал времени (t, t+x) к длине интервала, когда последний стремится к нулю.

.

Здесь M(t) – мат ожидание числа событий на интервале t.

Доказано, что для такого потока число событий n попадающих на временной интервал z, начинающихся в момент t₀, распределено по закону Пуассона, а именно:

( 5),

Где - математическое ожидание числа событий на интервале (t₀,t+x), равные:

Здесь очевидно зависит от длины интервала и от его положения на временной оси.

Аналогично тому, как была выведена функция плотности распределения вероятности для простейшего пуассоновского потока (3), можно получить функцию плотности распределения вероятности Т для нестационарного пуассоновского потока:

Этой математической моделью на практике описывается большое число потоков – вызов врача к больному, поток телеграмм, поток заказов на переговоры, потоки пассажиров и т.д.