3.2. Математические модели потоков событий

3.2.1. Регулярный и случайный потоки

Одним из центральных вопросов организации СМО является выяснение закономерностей, которым подчиняются моменты поступления в систему требований на обслуживание. Рассмотрим наиболее употребляемые математические модели входных потоков.

Определение: Поток требований называют однородным, если он удовлетворяет условиям:

все заявки потока с точки зрения обслуживания являются равноправными;

вместо требований (событий) потока, которые по своей природе могут быть различными, рассматриваются толь ко моменты их поступления.

Определение:Регулярным называются поток, если события в потоке следуют один за другим через строгие интервалы времени.

Функция f(х) плотности распределения вероятности случайной величины Т – интервала времени между событиями имеет при этом вид:

,где - дельта функция, М_т- математическое ожидание, причем М_т=Т, дисперсия D_т=0 и интенсивность наступления событий в поток =1/M_т=1/T.

Определение: Поток называют случайным, если его события происходят в случайные моменты времени.

Случайный поток может быть описан как случайный вектор, который, как известно, может быть задан однозначно законом распределения двумя способами:

Заданием закона распределения моментов появления событий

случайные моменты времени появления событий в потоке, t1, t2, tn- их назначение, Р – вероятность;

Заданием многомерного закона распределения системы случайных величин Т₁ , Т₂ ,… Тn , являющихся длинами интервалов между последовательными событиями :

Где, zi- значения Ti(i=1,n), В этом случае моменты наступления событий могут быть вычислены следующим образом

t₁=t₀+z1

t₂=t₁+z2

………,

где, t₀ - момент начала потока.  

3.2.2. Простейший пуассоновский поток

Для решения большого числа прикладных задач бывает достаточным применить математические модели однородных потоков, удовлетворяющих требованиям стационарности, без последействия и ординарности.

Определение: Поток называется стационарным, если вероятность появления n событий на интервале времени (t,t+T) зависит от его расположения на временной оси t.

Определение:Поток событий называется ординарным, если вероятность появления двух или более событий в течении элементарного интервала времени D t есть величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появления одного события на этом интервале, т.е.при n=2,3,…

Определение: Поток событий называется потоком без последствия, если для любых непересекающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий попадающих на другой.

Определение: Если поток удовлетворяет требованиям стационарности, ординарности и без последствия он называется простейшим пуассоновским потоком.

Доказано, что для простейшего потока число n событий попадающих на любой интервал z распределено по закону Пуассона:

(1)

 

Вероятность того, что на интервале времени z не появится ни одного события равна:

(2)

тогда вероятность противоположного события:

где по определению P(T<z)=F(z) это функция распределения вероятности Т. Отсюда получим, что случайная величина Т распределена по показательному закону:

(3)

параметр называют плотностью потока. Причем,

 

Впервые описание модели простейшего потока появились в работах выдающихся физиков начала века – А. Эйнштейна и Ю.Смолуховского, посвященных броуновскому движению.