2.21. Метод разложения по координатным случайным величинам

Пусть СНСВ задана в рамках теории корреляций: математическими ожиданиями компонент (m_1, m_2, . . . m_n) и матрицей корреляционных моментов:

Доказано, что h _iможно получить с помощью их разложения по координатам СВ x_i :

(10)

где i -некоррелированные,центрированные,нормированныенормально распределенные СВ.

Коэффициенты с_ijмогут быть достаточно просто получены решением системы уравнений:

,(11)

Алгоритм получения значений СНСВ сводится к следующему:

1. Решение системы нелинейных уравнений (11).

2. Получение nзначений y_i нормировнных, центрированных СВ, распределенных нормально.

3. Вычисление zi i=(1,n) значений СВ, образующих СНСВ в соответствии с (10).

2.22. Алгоритм получения значений системы дискретных случайных величин

Дискретный двумерный вектор CDCB задается двумерным законом распределения, т.е.

а) матрицей вероятностей , гдеPij– вероятность совместного появления i-ого и j-ого значений соответственной первой и второй компоненты, причем:.

б) двумя векторами возможных значений первой и второй компоненты {A_i}, {B_i},.

Получение значений двумерной дискретной системы случайных величин (СДСВ) может осуществляться по следующему алгоритму.

1. Вычисляют суммы ,.

2. Если х - равномерно распределенное случайное число из интервала (0,1) такое, что , то считают, что₁компонента двумерной СДСВ получила к-ое значение.

3. Выбирают к-ую строку вычисляют.

4. Если вновь полученное с помощью датчика случайных чисел х такое, что вторая компонента СДСВ получила S-е значение.

5. Замечание: В алгоритме используется правило “розыгрыша по жребию”, однако надо иметь в виду, что .

2.23. Упражнения

1. Получить значения СНСВ, заданной перечисленными ниже совместными функциями плотности:

2. СНСВ распределена по закону:

Получить оценку вероятности попадания случайной точки (y,z) в пределы квадрата R, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину L=2. (рис. …).

рис 3.6

 

3. Поверхность распределения f(y,z) системы случайных величин (₁,₂) представляет прямой круговой цилиндр, центр основания которого совпадает с началом координат (рис.3.7.), а высота равна h. Очевидно из условия нормировки:

радиус круга

функция плотности

Получить значения СНСВ, оценить вероятность попадания случайной точки в равносторонний треугольник, вписанный в круг радиуса r, если одна из его сторон параллельна оси Оy.

рис 3.7

2.24. Имитация случайных процессов

Случайной называется функция, ординаты которой для любых фиксированных значений аргумента являются случайными величинами. Задачу моделирования случайных функций в общем случае нельзя свести к имитации СВ для каждого значения аргумента, так как между ординатами существует корреляционная зависимость. Случайная функция, аргументом которой является t - время, носит название случайного процесса (СП).

Целью имитационного моделирования СП на ЭВМ является воспроизведение различного рода сигналов и помех, ММ которых является СП. Нужно иметь в виду, что воспроизведение на ЭВМ процессов с непрерывным временем невозможно ввиду дискретной природы ЭВМ. Задача моделирования СП в дальнейшем понимается как задача отыскания алгоритма, позволяющего формировать на ЭВМ реализации СП.

СП считается заданным, если задана функция дисперсии d(t), математического ожидания m(t) и корреляционная функция k(t_i,t_j). Эти функции являются неслучайными, их определяют путем обработки опытных данных методами математической статистики.