2.25. Имитация нестационарных случайных процессов

Описанный алгоритм пригоден как для стационарных, так и нестационарных СП. Он предложен В.С. Пугачевым, называется методом канонических разложений и заключается в следующем.

Пусть F(t₁), F(t₂), . . . F(t_n) - реализация СП на конечном интервале Т времени, тогда в соответствии с методом:

F(t₁)=m(t₁) + x₁₁(t₁),

F(t₂)=m(t₁) + x₁₁(t₁) + x₂₂(t₂),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F(t_n)=m(t₁) + x₁₁(t₁) + x₂₂(t₂) + . . . + x_nn(t_n),

Здесь х₁, х₂, . . . х_n - значения случайных, некоррелированных, центрированных СВ о заданным законом распределения;_i(t_k) - координатные функции, обладающие свойствами:

а) _i(t_j)=0 при i>j; б)_i(t_i)=1.

Координатные функции и дисперсии D_iвеличин можно вычислить в соответствии с рекуррентными уравнениями:

,

.

2.26. Имитация стационарных сп

Для стационарных СП справедливы соотношения m(t)=m; d(t)=; k(t_i,t_j)=k(), где=t_i-t_j. Один из методов имитации стационарных СП заключается в вычислении F(t_i) по формулам:

F(t₁)=m+c₁x₁+c₂x₂+ . . . +c_nx_n,

F(t₂)=m+c₁x₂+c₂x₃+ . . . +c_nx_n+1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F(t_n)=m+c₁x_n+c₂x_n+1+ . . . +c_nx_2n-1.

Здесь х_i - реализации некоррелированных случайных величин , для которых M[]=0,

D[]=, закон их распределения задан. Коэффициенты c_j() вычисляют решением уравнений

K(t_k-t₁)=(c₁c_k + c₂c_k+1 + . . . + c_n+k-1c_n) +2, ().

2.27. Имитация стационарных нормальных сп

Рассмотренные выше методы пригодны для моделирования СП, заданных на конечном интервале времени. При формировании реализаций большой длины эти методы трудоемки, что затрудняет их использование. На практике приходится моделировать СП, относящиеся к узкому классу СП, например, стационарный нормальный СП; стационарный СП, поражденный нормальным, нестационарным, СП со стационарными приращениями и т.д. Для таких классов СП существуют достаточно эффективные моделирующие алгоритмы.

В их основу положены линейные преобразования стационарной последовательность F(t_k) независимых нормальных случайных чисел (белый шум) в последовательность F(t_k), k=1, 2, . . .; t_k-t_k-1=t=const, коррелированную по заданному закону. При этом оператор линейного преобразования записывается либо в виде формулыскользящего суммированияс некоторым весом аi

либо как рекуррентное уравнение вида

Коэффициенты а_iи b_iв обеих формулах и их количество зависит от вида корреляционной функции. Первая из приведенных формул является ММ цифрового фильтра, называемого нерекурсивным, вторая - ММ рекурсивного цифрового фильтра.

2.28. Обработка результатов моделирования

В процессе имитационного моделирования формируется большое количество реализации, являющихся исходным статистическим материалом для нахождения приближенных значений показателей эффективности или, как говорят, их оценок. В этих условиях обработка результатов моделирования может решаться только с применением методов, оптимальных по времени и обеспечивающих экономию памяти ЭВМ.

Перечислим ряд таких приемов.

2.29. Оценка вероятности

Оценкой вероятности является частота (частость) . Для ее получения обычно организует на программном уровне 2 счетчика: один для подсчета общего количества экспериментов N, второй - для подсчета общего количества положительных исходов m.

2.30. Гистограммы

Иногда в качестве характеристик исследуемой системы выступает закон плотности распределения. Его приближенно можно охарактеризовать гистограммой. Для этого интервал изменения СВ разбивают на отрезки t_i, каждому из них сопоставляют счетчик, где накапливают m_i- количество попаданий значений СВ в t_i. На каждом t_iстроится прямоугольник с высотой. Полученную гистограмму можно сгладить.

2.31. Оценка математического ожидания

Оценку математического ожидания получают как среднее арифметическое значение СВ:

. Сумму лучше всего вычислять (во избежание непроизводительных затрат памяти) путем постепенного накапливания: .

2.32. Оценка дисперсии

Оценку дисперсии можно вычислять по формуле:

однако это связано с непроизводительным использованием памяти ЭВМ. Поэтому лучше воспользоваться формулой

2.33. Оценка корреляционного момента

Из тех же соображений, что и для оценки дисперсии, для оценки корреляционного момента двух случайных величин рекомендуется использовать формулу

2.34. Оценка характеристик случайного процесса

Для вычисления оценки характеристик СП производят статистическую обработку по N реализациям СП. Для этого интервал задания СП разбивают на части сt=const. Математические ожидания и дисперсии для каждого t_k=kt можно вычислить по формулам, приведенным выше. Оценку корреляционной функции - по формуле

Здесь tk=kt, tj=jt

2.35. Количество реализаций, обеспечивающих заданную точность

Важной задачей обработки информации является задача определения количества реализаций N, обеспечивающих заданную точность получения оценок. Для определения N при оценке вероятности b пользуются формулой

,

а при оценке математического ожидания -.

В формулах - квантиль, для нормального, центрированного нормального закона распределения, соответствующий значению, гдеP - заданная достоверность;- оцениваемая вероятность;- дисперсия;- допустимая погрешность. В этих формулахнеизвестно, аможет быть неизвестным. Поэтому производят предварительно 50-100 реализаций, получают по ним оценкии, подставляют их в формулы для вычисления уточненного значения N.