План практического занятия № 9
Тема 7. Свойство счетности базы. Свойства отделимости Основные вопросы
1.База топологического пространства (топологии).
2. Вес топологического пространства.
3. Вторая аксиома счетности. 4. Аксиомы отделимости.
5. Хаусдорфовые пространства.
Упражнения для аудиторной работы
1.Какой вес имеет: а) дискретное пространство (Q, τ*);
б) антидискретное пространство (I х I, τ0)?
Удовлетворяют ли эти пространства 2-й аксиоме счетности?
Ответ: а) α0, да; б) 1, нет.
2.Какой вес имеет пространство ( Х, τ), где Х ={а; в; с}, τ = {Ø, {а}, {в}, {а, в}, {а, с}, Х}? Удовлетворяет ли оно 2-й аксиоме счетности?
Ответ: 3, нет.
3.Укажите три базы пространства R2. Какой вес имеет пространство R2? Удовлетворяет ли оно 2-й аксиоме счетности?
Ответ: Совокупность всех открытых кругов, совокупность открытых кругов конечного радиуса, совокупность открытых кругов рационального радиуса. α0. Да.
4. Является ли пространство из упражнения 2 хаусдорфовым? Ответ обосновать.
Ответ: Нет (например, точки а и с не имеют непересекающихся окрестностей).
5. Докажите, что пространство R1 является хаусдорфовым.
Упражнения для домашней работы
1.Какой вес имеет:
а) антидискретное пространство (Q х Q, τ0);
б) дискретное пространство (R, τ*)?
Удовлетворяют ли эти пространства 2-й аксиоме счетности?
Ответ: а) 1, нет. б) с, нет.
2..Какой вес имеет пространство (Х, τ), где Х ={а; в; с}, τ = {Ø, {а}, {в, с}, Х}? Удовлетворяет ли оно 2-й аксиоме счетности?
Ответ: 2. Нет.
3. Укажите три базы пространства R1. Какой вес имеет пространство R1? Удовлетворяет ли оно 2-й аксиоме счетности?
Ответ: Совокупность всех интервалов, совокупность конечных интервалов, совокупность конечных интервалов с рациональными концами. α0. Да.
4.Сколько хаусдорфовых топологий можно задать на множестве Х={0;3}? Выпишите их.
Ответ: 1. τ0.
5. Докажите, что пространство R3 является хаусдорфовым.
Дополнительные задания к теме 7
1. Какой вес имеет пространство, удовлетворяет ли оно второй аксиоме счетности, является ли хаусдорфовым:
а) Х ={а; в; с}, τ = {Ø, Х, {в}, {с}, {в, с}};
б) Х ={а; в; с}, τ = {Ø, {а}, {в}, {а, в}, {в, с}, Х};
в) Х ={а; в; с}, τ = {Ø, { в }, { с }, {в, с}, Х};
г) Х ={а; в; с}, τ = {Ø, {а}, {в, с}, Х};
д) Х ={а; в; с; d}, τ = {Ø, Х, {а}, { в}, {а; в}, {а; в; с } };
е) τ = {Ø, Х, {в}, {с}, {а, в}, {в, с}}?
2.
Является ли пространство Зарисского
(Х,
τ) (Х –
произвольное бесконечное множество,
семейство
состоит из пустого множества и всех
подмножеств множества Х, дополнения
которых до Х – конечные множества):
а)
-пространством;
б)
-пространством?
3. Является ли
стрелка (Х,
τ) (Х = [0; +
),
= {
}
{X}
{(x;
+
)│x
0}):
а)
-пространством;
б)
-пространством?
4. Докажите, что топологическое пространство со счетной базой сепарабельно.
5. Докажите, что метрическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности тогда и только тогда, когда оно сепарабельное.
6. Докажите, что мощность хаусдорфового сепарабельного пространства не превышает мощности континуума.
7. Докажите, что:
а) метрическое пространство является нормальным;
б) нормальное пространство является регулярным;
в) регулярное пространство является хаусдорфовым;
г) хаусдорфовое
пространство является
-пространством.