Упражнения для домашней работы

1.Отображение f: ХR¹ – непрерывное. Является ли открытым, замкнутым в пространстве Х множество решений неравенства: а) f(х) > c; б) c f(х) d?

Ответы обосновать.

Ответы: а) открытое в Х; б) замкнутое в Х.

2. Доказать гомеоморфность следующих промежутков числовой прямой, указав какой-либо гомеоморфизм одного из них на другой:

а) полуинтервалов [0; 1) и (1; 0];

б) интервалов (– 1; 0) и (– ∞; 0).

Ответы: а) у = – х + 1; б) у = tgx.

3. Какие из основных трансцендентных функций школьного курса математики

(у = а^х (а>0, а1), у =log_ах (а>0, а1),y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x,

y = arcsinx, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x) являются вложениями в R¹?

Ответ обосновать.

Ответ: у = а^х, у = log_ах, y = arcsinx, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Дополнительные задания к теме 5

1. Будет ли непрерывным отображение f: (Х, ) (Y, ), если отображение

f: (Х, ) (Y, ) – непрерывное, а топология слабее топологии, топология сильнее топологии?

2. При каких значениях параметров а, в, с отображение f: R¹R¹,

f (х) = х³ + ах²+ вх+ с является гомеоморфизмом?

Ответ: а² 3в, с R.

3. Непрерывное отображение f: Х Y называется замкнутым, если при этом отображении образ любого замкнутого множества является замкнутым множеством. Докажите, чтоотображение f: Х Y является замкнутым тогда и только тогда, когда Cl f(A) = f(Cl A) для любого подмножества А носителя пространства Х.

4. Непрерывное отображение f: Х Y называется открытым, если при этом отображении образ любого открытого множества является открытым множеством. Докажите, что отображение f: Х Y является открытым тогда и только тогда, когда Int f(A) ⊃ f(Int A) для любого подмножества А носителя пространства Х.

5. Привести примеры: а) открытого, но не замкнутого отображения; б) замкнутого, но не открытого отображения; в) и открытого, и замкнутого отображения; б) ни открытого, ни замкнутого отображения.

6. Будет ли непрерывным отображение f: Х R¹, f(x) = x², где Х – стрелка

(Х = [0; +),= {}{X}{(x; +)│x 0})?

Комментарии

К упражнению 1

1) Сделать выводы о замкнутости множества в случае а), как и об открытости – в случае б), невозможно, так как не достает информации относительно свойств функции f

2) Х – ОДЗ соответствующих неравенств. Поэтому можно сказать, что при выполнении указанных условий множество решений строгого неравенства – открытое в ОДЗ, а нестрогого – замкнутое в ОДЗ (при этом предполагается, что функция f – непрерывная).

Например, может быть множеством решения неравенства 5·4^х + 3·25^х 7·10^х быть полуинтервал (1; 7]? Нет, так как в данном случае Х = R¹, функция – непрерывная, а неравенство – нестрогое.

3) Множеством решений неравенства – 2 < 0 является полуинтервал

( – 3; 1]. Он не является открытым множеством в R¹, однако есть открытое множество в ОДЗ

(– ∞; 1] неравенства, рассматриваемом как подпространство пространства R¹. В самом деле,

( – 3; 1] = (– 3; 5) ( – ∞; 1].

Очевидно, если ОДЗ строгого неравенства f(х) < b – открытое множество в R¹, т о множество его решений также открытое множество в R¹. Соответственно, если ОДЗ нестрогого неравенства f(х) d – замкнутое множество в R¹, т о множество его решений также замкнутое множество в R¹. (Вопрос: верно ли обратное?)

К упражнению 2

1) Непрерывная строго монотонная функция, заданная на числовом промежутке, отображает его гомеоморфно на его образ. Обоснование основывается на теореме математического анализа: «Если функция определена, строго монотонна и непрерывна на числовом промежутке, то она имеет обратную функцию, которая также является строго монотонной и непрерывной».

2) Аналогично можно доказать гомеоморфность любых двух любых двух интервалов (в том числе, открытых лучей), а также – любых двух полуинтервалов (в том числе, замкнутых лучей), любых двух отрезков. С другой стороны, любые два из указанных промежутков разного типа негомеоморфны (у них разное число точек индекса один – 0, 1, 2). Таким образом, можно сказать, что топологическая классификация числовых промежутков содержит три класса промежутков – интервалы (включая бесконечные), полуинтервалы (включая бесконечные), отрезки.

К упражнению 3

Остальные функции являются непрерывными, но, не будучи монотонными, не являются биекциями.