План практического занятия № 2
Тема 1: Операции над множествами. Отображения множеств (окончание) Упражнения для аудиторной работы
4.
Даны отображения f:
R
R
, f(х)
= 0,5х и g:
R
R
, g(х)
= (2х – 1)2.
Найдите композицию h
отображений f
и g
(h
= g
f),
а также прообразы чисел –1, 0, 4 и промежутков
(– ∞; 0), (–1; + ∞), (0; 4] при отображении h.
Ответ:
h:
R
R
, h(х)
= (х – 1)2;
Ø, {1}, {–1; 3}; Ø,
R,
[–1;1)
(
1; 3].
Замечание.
Придерживаемся договоренностей: h–1(х)
= h–1({х}),
{х}
{у} = {х, у}.
5.
Дано
отображение
f:
R
R
, f(х)
= sinх.
Проверьте, будет ли сюръективным,
инъективным, биективным отображение:
а) f;
б)
f0:
R
[–1;
1]
, f0(х)
= f(х)
(приведение
отображения
f);
в)
f|[–π/2;
π/2]: [–π/2;
π/2]
R
, f|[–π/2;
π/2] (х) = f(х)
(ограничение
(сужение) отображения
f
на отрезок [–π/2; π/2];
г) (f|[–π/2; π/2])0;
д) (f0)|[–π/2; π/2]?
Ответы: а) нет, нет, нет; б) да, нет, нет; в) нет, да, нет; г) да, да, да; д) да, да, да.
Упражнения для домашней работы
4.
Даны отображения f:
R
R
, f(х)
= 2х и g:
R
R
, g(х)
= (2х – 4)2.
Найдите композицию h
отображений f
и g
(h
= g
f),
а также прообразы чисел –1, 0, 4 и промежутков
(– ∞; 0), (–1; + ∞), (0; 4] при отображении h.
Ответ:
h:
R
R
, h(х)
=16(х – 1)2;
Ø, {1}, {1/2; 3/2}; Ø,
R,
[1/2;1)
(
1; 3/2].
5.
Дано
отображение
f:
R
R
, f(х)
= cosх.
Проверьте, будет ли сюръективным,
инъективным, биективным отображение:
а) f;
б)
f0:
R
[–1;
1]
, f0(х)
= f(х);
в)
f|[0;
π]: [0; π]
R
, f|[0;
π] (х) = f(х);
г) (f|[0; π])0;
д) (f0)| [0; π]?
Ответы: а) нет, нет, нет; б) да, нет, нет; в) нет, да, нет; г) да, да, да; д) да, да, да.
Дополнительные задания к теме 1
1. Найдите:
а)
б)
2. Докажите равенства:
а) Ах(В
С)
= (АхВ)
;
б) Ах(В
С)
= (АхВ)
(А, В, С – произвольные множества).
3.
Пусть f:
Х
Y
– отображение
множества Х в множество Y,
А, В – подмножества множества Х.
а)
Докажите равенство f(A
B)
= f(A
B).
б)
Докажите включение f(A
B)
⊂
f(A
B).
в)
Докажите,
что если f
– биекция, то f(A
B)
= f(A
B).
4.
Пусть
f:
Х
Y
– отображение
множества Х в множество Y,
А – подмножество множества Х, С –
подмножество множества Y.
Докажите, что если f – инъекция, то f–1(f(A)) =A, если f – сюръекция,
то f(f–1(С)) =С, если f – биекция, то справедливы оба равенства.
5.
Пусть
f:
Х
Y
– отображение
множества Х в множество Y,
C,
D
– подмножества множества Y.
Докажите
равенства:
а) f–1(С
)
=f–1(C
D);
б) f–1(С
)
=f–1(C
D).
План практического занятия № 3
Тема 2: Метрические пространства Основные вопросы
1. Определение метрического пространства
2. Шары и сферы в метрическом пространстве. Ограниченные множества
3. Индуцированная метрика. Подпространство метрического пространства
4. Открытые множества. Натуральная топология метрического пространства
Упражнения для аудиторной работы
1. Пусть (Х, ρ) – метрическое пространство, λ = const >0. Проверьте, будет ли
(Х, λρ) метрическим пространством?
Ответ: да.
2. Проверьте, будет ли метрикой на R отображение:
а)
ρ:
R
х R
R+
, ρ(х,
у) =
;
б)
ρ:
R
х R
R+
, ρ(х,
у) = (х – у)2?
Ответы: а) да; б) нет.
3. Являются ли открытыми, замкнутыми множества:
а) В1(0; 1) в пространстве R1;
б) D2 в пространстве R2;
в) S2((0;0;2), 1) в пространстве R3?
Ответы обосновать.
Ответы: а) да, нет; б) нет, да; в) нет, да.
4. Являются ли ограниченными множества:
а) (0; 2) \ {1} в пространстве R1;
б)
В2((0;
1);3)
D2((10;
10);1) в
пространстве R2;
в)
D2
в пространстве
R3?
Ответы обосновать.
Ответы: а) да; б) да; в) нет.