Упражнения для домашней работы

1. Какие из следующих совокупностей τ подмножеств множества Х = {а, в, с} будут топологиями на Х:

а) τ = {Ø, {в}, {а, в}, {а, с}, {а, в, с}};

в) τ = {Ø, {а}, {в}, {а, в}, {а, с}, Х}?

Если τ – топология на Х, укажите открыто-замкнутые множества; ни открытые, ни замкнутые множества; открытые, но не замкнутые множества; замкнутые, но не открытые множества в топологическом пространстве (Х, τ) (если таковые имеются).

Ответы:а) τ – не топология на Х. б) τ – топология на Х. Открыто-замкнутые множества: Ø, Х, {в}, {а, с}; ни открытые, ни замкнутые множества отсутствуют; открытые, но не замкнутые множества: {а}, {а, в}; замкнутые, но не открытые множества: {с}, {в, с}.

2. Проверьте, будет ли топологией на множестве Х совокупность τ его подмножеств:

а) Х = R х R, τ – совокупность, включающая Ø, множество R х R, а также открытые круги;

б) Х =R х Rх R, τ – совокупность, включающая Ø, множество R х Rх R, а также счетные его подмножества?

Ответы:а) нет; б) нет.

3. Проверьте, будет ли множество В открытым, замкнутым в полуинтервале

А = (1; 7], рассматриваемом как подпространство топологического пространства R¹:

а) В = (1; 7]; б) В = (5; 7]; в) В = [4; 6]; г) [4; 6)?

Ответы:а) да, да; б) да, нет; в) нет, да; г) нет, нет.

Дополнительные задания к теме 3

1.Пусть Х – произвольное бесконечное множество. Докажите, что семейство , которое состоит из пустого множества и всех подмножеств множества Х, дополнения которых до Х – конечные множества, является топологией на Х (топология Зарисского). Сравните топологию Зарисского наRс евклидовой топологией наR.

2. Пусть Х = [0; +), и= {}{X}{(x; +)│x0}. Докажите, что (Х,) – топологическое пространство («стрелка»). Сравнить топологии стрелки и Зарисского на Х.

3. Будет ли топологией на луче Х = [0; +) семейство его подмножеств

= {}{[x; +)│x0}? Ответ обоснуйте.

4. Пусть А– подмножество топологического пространства Х. Докажите:

1) А _Х ⇔⊂_Х;

2) А_Х ⇔⊂_Х.

5. Докажите, что индуцирование топологии транзитивно, т.е. А⊂В⊂Х, т.е.

=.

План практического занятия № 5

Тема 4. Геометрия топологического пространства Основные вопросы

1. Точки прикосновения и внешние точки множества.

2. Внутренние и граничные точки множества.

3. Предельные и изолированные точки множества.

4. Замыкание множества и замкнутое множество. Внутренность множества и открытое множество.

5. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Сепарабельные пространства.

Упражнения для аудиторной работы

1. Заполните таблицу:

№№	(Х, τ)	А	Сl A	Ext A	CXA	CXA \ Ext A
1	R1	(1; 7]
2	R1	S0
3	R1	Q
4	R2	S1
5	R3	B3

*Символом R² обозначен декартов квадрат множества R: R² = R х R. В других случаях этим символом обозначается соответствующее топологическое пространство:

R² =( R х R, τ), где τ – стандартная топология.

2. Для подмножества А пространства R² (рисунок 1) найдите Int A, Fr A, A', Isol A, Cl A (рекомендуется использовать формулы Сl A = Int A Fr A = A' Isol А).

Примечание к рисункам 1 и 2. Точки, лежащие на пунктирных линиях, не принадлежат фигурам. Пустыми кружками показаны точки, исключенные из фигур, заполненными – принадлежащие им.

3. Заполните таблицу:

№№	(Х, τ)	А	Сl A	Int A	Fr A	A'	Isol А	Аτ?	Аφ?
1	R1	(3, + ∞)
2	R1	{1}[3, 5]
3	R1	Q
4	R1	{| nN}

Примечание: При заполнении двух последних колонок рекомендуется использовать символы + и –.

Дополнительно: А = A' (совершенное множество), Int A = Ø (граничное множество), А = Isol А (дискретное множество), А = Int Сl A (канонически открытое множество), А = Сl Int A (канонически замкнутое множество). Найти в таблице, придумать примеры множеств соответствующих типов.