Упражнения для домашней работы

4. Заполните таблицу:

№№	(Х, τ)	А	Сl A	IntA	Fr A	A'	IsolА	Аτ?	Аφ?
1	R2	В2
2	R2	( 1; 3] x [ 4; 6)
3	R2	I x I
4	R2	{–1} x (3, + ∞)
5	R2	{0; 1; 2} x {– 1}

5. Заполните таблицу:

№№	(Х,τ)	А	СlA	Int A	FrA	A'	IsolА	Аτ?	Аφ?
1	R3	S2
2	R3	N x N x N
3	R3	[ 0; 1] x [ 0; 1] x [0;1]

6. Докажите, что Сl (AВ) = Сl A Сl В, используя двойственную формулу

Int (AВ) = Int AIntВ).

7. Какое из множеств будет всюду плотным, нигде не плотным:

а) множество В³ в пространстве R³; б) множество Q x Q в пространстве R²? Является ли пространство R³ сепарабельным?

Ответы обосновать.

Ответы: а)не нигде не плотное в R³, не всюду плотное в R³; б) всюду плотное в R², не нигде не плотное в R². Да.

Дополнительные задания к теме 4

1. а) Приведите пример открытого (замкнутого), но не канонически открытого (канонически замкнутого) множества.

б) Приведите примеры канонически открытых (канонически замкнутых) множеств, объединение (пересечение) которых не является канонически открытым (канонически замкнутым) множеством.

в) Докажите, что дополнение канонически открытого множества – канонически замкнутое, а дополнение канонически замкнутого множества – канонически открытое множество.

2. Докажите утверждения:

а) Сl(С А) = С(Int A);

б) Int(С A) = С (Сl A).

3. Докажите утверждения:

а) А ⊂ В ⇒ Сl А ⊂ С В;

б) А ⊂ В ⇒ Int А ⊂ Int В.

4. Докажите утверждения:

а) Сl Аφ_Х;

б) Int Аτ_Х.

5. Докажите утверждения:

а) Аφ_Х ⇔ Сl А = А;

б) Аτ_Х ⇔ Int А = А.

6. Докажите утверждения:

а) Uτ_Х, Fφ_Х ⇒ F \ U φ_Х;

б) Uτ_Х, Fφ_Х ⇒ U \ F τ_Х.

План практического занятия № 7

Тема 5: Непрерывные отображения и гомеоморфизмы Основные вопросы

1.Непрерывные отображения топологических пространств и их свойства

2. Гомеоморфные отображения топологических пространств и их свойства

Упражнения для аудиторной работы

1.Отображение f: ХR¹ – непрерывное. Является ли открытым, замкнутым в пространстве Х множество решений неравенства: а) f(х)b; б) a < f(х) < b?

Ответы обосновать.

Ответы: а) замкнутое в Х; б) открытое в Х.

2. Доказать гомеоморфность следующих промежутков числовой прямой, указав какой-либо гомеоморфизм одного из них на другой:

а) отрезков [1; 2] и [ 3; 5];

б) интервалов (0; 1) и (– ∞; + ∞).

Ответы: а) у = – х + 2; б) у = ctg πx.

3. Какие из основных алгебраических функций школьного курса математики (у = с = const, у = ах + в (а 0), у = ах²+ вх+ с (а 0), у =, у = х³, у = , у =) являются вложениями вR¹?

Ответ обосновать.

Ответ: у = ах + в, у = х³, у = , у =, у =.