План практического занятия № 11

Тема 9. Свойство компактности Основные вопросы

1.Компактные и некомпактные пространства.

2. Компактные и некомпактные множества.

3. Компактные множества в евклидовых пространствах.

Упражнения для аудиторной работы

1. Являются ли компактным и следующие пространства:

а) дискретное пространство (Q, τ*);

б) антидискретное пространство (I х I, τ₀);

в) пространство ( Х, τ), где Х ={а; в; с}, τ = {Ø, {а}, {в}, {а, в}, {а, с}, Х};

г) пространство R³?

Ответ обосновать.

Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.

2. Являются ли компактными следующие множества:

а) [1; 2] [4; 6], [– 3; 1] \ {0}, {0; 1; 2}, [1; 2][4; + ∞) в R¹;

б) S¹, (1; 3) x [4; 6], {1; 2} x (0; 3], {1; 2} x {0; 1} в R²;

в) (0; 1) x (0; 1) x (0;1), R³ \ S¹, D² х [1; 2], N х Z x Q в R³?

Ответ обосновать.

Ответ: а) да, нет, да, нет; б) да, нет, нет, да; в) нет, нет, да, нет.

3. Какие из графиков основных трансцендентных функций школьного курса математики (у = а^х (а>0, а1), у =log_ах (а>0, а1),y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x,

y = arcsinx, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x) являются компактными множествами в R²?

Ответ обосновать.

Ответ: графики функций y = arcsinx, y = arccos x.

4. Привести примеры:

а) некомпактных множеств в R¹, пересечение которых – компактное множество;

б) компактных множеств в R², объединение которых – некомпактное множество;

в) некомпактного множества в R³, замыкание которого – компактное множество.

Ответ: а) (0; 3] и [2; 6); б) D²((0,0,), n), где n N; в) B³.

Упражнения для домашней работы

1. Являются ли компактным и следующие пространства:

а) дискретное пространство (Q х Q, τ*);

б) антидискретное пространство (R, τ₀);

в) пространство ( Х, τ), где Х ={а; в; с}, τ = {Ø, {а}, {в, с}, Х};

г) пространство R²?

Ответ обосновать.

Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.

2. Являются ли компактным и следующие множества:

а) [1; 2), R \ {0}, N[4; 6], [1; + ∞) {0}, в R¹;

б) D², B²\ {(0;0)}, (R х R) \ S¹, {1} x [1; 2] в R²;

в) [0; 1] x [0; 1] x [0;1], N x N x N, {1} x {2} x {3}, B³((0,0,0), 2)\ D³((0,0,0), 1)?

Ответ обосновать.

Ответ: а) нет, нет, да, нет; б) да, нет, нет, да; в) да, нет, да, нет.

3. Какие из кривых второго порядка (точка, пара параллельных прямых, пара совпадающих прямых, пара пересекающихся прямых, эллипс (окружность), гипербола, парабола) являются компактными множествами в R²?

Ответ обосновать.

Ответ: точка, эллипс (окружность).

4. Привести примеры:

а) некомпактных множеств в R¹, пересечение которых – компактное множество;

б) компактных множеств в R², объединение которых – некомпактное множество;

в) некомпактного множества в R³, замыкание которого – компактное множество.

Ответ: а) (0; 3] и [3; + ∞); б) {х}, где х (1; 3); в) (0; 1) x (0; 1) x (0;1),

D³ \ {(0;0;0)}.

Дополнительные задания к теме 9

1. Какие из поверхностей второго порядка (точка, пара параллельных плоскостей, пара совпадающих плоскостей, пара пересекающихся плоскостей, эллипсоид (сфера), однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, конус) являются компактными множествами в R³?

2. Докажите, что пространство Зарисского (Х, τ) (Х – произвольное бесконечное множество, семейство состоит из пустого множества и всех подмножеств множества Х, дополнения которых до Х – конечные множества) компактное.

3. Докажите, что стрелка (Х, τ) (Х = [0; +),= {}{X}{(x; +)│x 0}) – компактное пространство.

4. Докажите, что если –последовательность элементов топологического пространства, которая сходится к его элементу, то множество {,,, … ,, _…} – компактное в этом пространстве.

5. Доказать, что объединение конечного числа компактных множеств – компактное множество.

6. Доказать, что пересечение любого числа компактных множеств в пространстве Rⁿ – компактное множество.

7. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

8. Подмножество компактного хаусдорфового пространства компактно в нем тогда и только тогда, когда оно замкнуто в нем.

9. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность его точек содержит сходящуюся подпоследовательность.