20.Формула Тейлора для функций многих переменных.

Теорема 9. Пусть функция f: V(,)→R, V(,)Rⁿ определена и непрерывна вместе со всеми частными производными до порядка m+1 включительно в -окрестности точки а, и х=a+h ϵ V(,). Тогда справедлива формула

f(x)=f(a)+(h₁+…+ h_n)^kf(a)+r_m(a,h), (1)

где r_m(a,h)=(h₁+…+ h_n)^m+1f(ah), 0<<1.(2)

Доказательство. Рассмотрим функцию = f(a+ht), tϵ[0;1]. Эта функция, согласно условию, имеет непрерывные производные до порядка m+1 включительно. По формуле Тейлора для функции одной переменной имеем

=+^(k)(0)t^k+r_m(t),

gde r_m(t)= ^(m+1)()t^m+1,ϵ(0;1).Поскольку =f(a), =f(a+h), и =+^(к)(0) +r_m(1), (3)

где r_m= ^(m+1)(),ϵ(0;1), то из (3) и

^(к)(t)= (h₁+…+ h_n)^kf(xht) следует (1) с остаточным членом, определенным формулой (2).

21. Необходимые условия экстремума.

Определение 1. Пусть функция f(x)определена на множестве XСRⁿ. Точка a€ Xназывается точкой локального максимума (минимума) функции f, если существует окрестность V(a)такая, что для всех x€ V(a)выполняется неравенство f(x)≤f(a) (f(x)≥ f(a)).

Если для x€V(a)имеет место неравенство f(x)<f(a) (f(x)>f(a)), то точка a называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f.

Определение 2. Точки локального максимума и минимума функции fназываются точками локального экстремума функции f,а значения функции в этих точках называются локальными экстремума функции.

Теорема 10. Пусть функция f определена в окрестности V(a)С Rⁿточки a, имеет в точке a частные производ­ные по каждой из переменных x₁, . . . , x_n. Тогда для того, чтобы функция f имела в точке a локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке были выполнены равенства .(1)

Док-во: Рассм. ф-цию одной переменной, опред., в силу условий теоремы, в некоторой окрестности точки a1 вещественной оси. В точке a1 ф-ция φ(x1) имеет локальный экстремум, и поскольку , то=0. Аналогично док-тся и остальные равенства системы(1).

Точки, в которых выполнены условия (1), называются стационарными точками функции f.

Следовательно, если функция fимеет в точке aлокальный экстремум, то точка aявляется стационарной точкой функции fили функция fв этой точке не дифференцируема.

22. Достаточные условия локального экстремума.

Пусть функция f : V(a)→R имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в окрестности V(a)ʗRⁿ точки а, а – стационарная точка функ. f.

Если квадратичная форма hihj (1)

1) положительно (отрицательно) определена, то а явл.точкой строго лок.мин(макс) функции f;

2) неопределенна, то в точке а функция не имеет лок.экстр.

Док-во. Пусть h≠0, a+hϵV(a). Поскольку а стц.точка функции, то разложение f по формуле Тейлора при m=2

f(a+h)-f(a)=hihj+o(²)=

²(+o(1))(2)

где o(1) – бесконечно малая при h0

Из (2) видно, что знак разности f(a+h)-f(a) полностью определяется знаком величины, стоящей в правой части.

Вектор е=() имеет единичную норму. Квадр.форма (1) непрер.как функцияh в Rⁿ, поэтому ее ограничение на единичную сферу S(0;1)={xϵRⁿ | =1} также непрерывно наS(0;1). Но сфера S есть замкнутое огран.подмножество в Rⁿ, т.е. компакт. Следовательно, форма (1) имеет на S как тчоку минимума, так и точку максимума, в которых она принимает соответственно значения m и M.

Если форма (1) пол.опр., то 0<mM и, поэтому найдется число >0 такое, что при<будет<m. Тогда при <выражение в правой части равенства (2)окажется положительным иf(a+h)-f(a) >0 при 0<<. Т.о. точка а – точка строгого лок.мин. рассматриваемой функции. Аналогично проверяется, что в случае отр.опр формы (1) функция имеет в а строгий локальный максимум.

Если квадратичная форма (1) на единичной сфере или, что равносильно, в Rⁿ принимает значения разных знаков. То в любой окрестности точки а найдутся как точки, в которых значение функции больше f(a), так и точки, в которых она меньше f(a). Следовательно, в этом случае а не явл.точкой локального экстремума рассматриваемой функции.