46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Теорема: Радиусы сходимости степенных рядов

(1), (2),(3) равны.

Доказательство: Пусть R₁, R₂, R₃–радиусы сходимости рядов 1-3 соответственно. Поскольку то формуле Коши-Адамара найдем. ОткудаR₁=R₂=R₃. В дальнейшем будем рассматривать степенной ряд ,(4)где числаa_n, n=1,2,…, x₀. И переменная x принадлежат R.Пусть R – радиус сходимости степенного ряда (4), тогда (x₀-R;x₀+R)–его интервал сходимости.

Теорема 15. Если R>0 радиус сходимости степенного ряда (4), то внутри интервала сходимости ( xo- R; xo+R) этот ряд можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать. При этом полученные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и сам ряд (4), и:

, где х€( xo- R; xo+R).

47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.

Если ф-ия f(x) аналит в т. x₀€R то в некот окрестн этой точки на действ оси ф-ия f(x) представима в виде степенного ряд. (1) с действ.коэфa_n (a_n€R)

ОпределениеПусть ф-я определена и имеет производные всех пор-ков на интервале, тогда степенной ряд вида, наз. рядом Тейлора ф-ции в точке

Формула Тейлора для ф-ции f(x) в т.

УтверждениеФ-я равна сумме своего ряда Тейлора на рассматр. инт-ле тогда и только тогда, когда в каждой точке указанного интервала

ТеоремаПусть выполняются нерав-ва , гдеM>0. Тогда имеет место

(1)

Доказательство. Согласно представлению остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, имеем

, 

где

Числ. ряд сходится по призн. Даламбера. Тогда на основании необх. условия сходимости ряда, и следовательно,. Поэтому, согласно утверждению 1 имеет место (1)

48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.

Разложение в ряд функций f(x)=e^x, f(x)=sin(x), f(x)=cos(x), f(x)=ln(1+x), f(x)=(1+x)^α

1. Разложим в ряд функцию f (x)=e^x:

Посколькуf(x)=e^x, nN, то для любого фиксированого a>0, x(-a;a) выполним неравенство 0<f(x)<e.

Функция e раскл. В ряд Тейлора на любом конечном интервале, т.е. на числовой оси, а т.к.f(0)=1, то получим разложение: e=(1)

Т.к. R=, то ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

2. Разложим в ряд функции f(x)=sinx и f(x)=cosx:

f(x)=sinx: , поэтому :следовательно функцияsinx раскладывается в степенной ряд на всей числовой оси

Тогда ,.

Аналогично получаем, что ,.

3. Разложим в ряд:

На основании теоремы о поименном интеграле степенного ряда с учётом выражения для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем:

Указанный ряд сходится попризнаке Лейбница и при x=1. Следовательно разложение справедливо при x(-1;1]

4. Разложим в степенной ряд в степени бинома .

Поскольку формула Тейлора для функции имеем вид:

Формула Стирлинга (формула описывает асимптотическое поведение факториала n! при n→∞)

n!приn→∞ согласно опред.асимптот.равенства для последовательностей, это означает, что

=1

Формулы Эйлера определение функций ,sin z, cos z для комплексного аргумента z

cos z = , sin z=,=cos z +i sin z

49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.

Опр.: Ряд вида наз. тригонометрическим рядом.

Теорема1: Пусть (1) и ряд, стоящий в правой части этого рав-ва сходится равномерно на отр-ке . Тогда ₍₂₎

Доказательство: Поскольку ряд, стоящий в правой части рав-ва (1) сходится раномерно на отр-ке, а все его члены явл. непрерывными на этом отрезке функциями, то его сумма непр. на отр-ке, а сам ряд можно почленно интегрировать отдо, т.е.

,

откуда следует (2). Если ряд (1) почленно умножить на и, то полученные ряды будут также равномерно сходиться на отрезке. Интегрируя почленно эти ряды и используя св-во ортогональности тригонометрической системы и равенство, получим:

Аналогично получим a_kk Из полученных соотношений вытекают формулы (2)

Опр.4. Тригоном.ряд коэфф которого выражаются по формулам (2) наз рядом Фурье, или тригоном рядом Фурье функ f(x) где считается, что f(x) абсолютно интегрируема на отрезке [-]f(x)+

Теорема (Римана)Если функция f (x) абсолютно интегрируема на промежутке (а; b) конечном или бесконечном, то

Теорема 3. Коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции стремятся к нулю при n —>.