11. Предел по направлению. Повторные пределы.

Определение 4. Точка bGR^mназывается пределом отображения f : X —>R^m, X €Rⁿпо множеству E€ X в точке a, если> 0 > 0 :х€E,0<p_n(x,a)<=>

p_m(f(x),b)<.и обозначаетсяlimf(x) = b.(x→a, x €E)

Определение 5. ПустьE={xGRⁿ|x = a + wt, |w|=1,a,w€ Rⁿ, t>=0}. Пределlimf(x) = limf(a+wt),(x→a,x€X)(t→+0) если он существует, называется пределом отображения fпо направлению вектора w.

Повторные пределы.

Пусть f:X→R, XʗRn. наряду с рассмотренными пределами у функции многих переменных существует понятие предела другого вида, связанное с последовательным переходом к пределу по различным координатам:

…f(x1, …,xn)=A,(1)

где (i1,..,in) – некоторая перестановка чисел (1,2,…,n), aϵRn, и функция f определена в некоторой окрестности точки а.

Запись f(x1, …,xn)=A означает, что у функции f фиксированы все значения координат xj, i≠j ее аргумента х, и тем самым указанный предел означает предел функции по множеству. Пределы вида (1) называют повторными пределами.

12.Локальные свойства непрерывных отображений.

Пусть a предельная точка множества X €Rⁿ.

Определение 6. Отображение f:X— R^m, XʗRⁿ называется непрерывным в точке aϵX, если существует предел

limf(x) = f(a).(x→a)

Определение 7. Отображение f:X— R^m, XʗRⁿ называется непрерывным в точке aϵX, если

>0= () >0:x ϵV(a, )→f (x) ϵU (f (a),).

Теорема 9. Пусть f:X — Y, X ʗRⁿ, YʗR^m, g:Y— R^s, b= f (a), c= g(b). Если отображение f непрерывно в точке aϵX, отображение g непрерывно в точке bϵY, то их композиция =gо f непрерывна в точке a.

Доказательство. Поскольку отображение g непрерывно в точке bϵY, то

>0>0:у ϵV_Y(b, )→g (y) ϵV (c,).

Так как отображение f непрерывно в точке aϵX, то

>0 >0:x ϵV_Х(a, )→f (x) ϵ V_Y(b, ).

Отсюда следует

>0 >0:x ϵV_Х(a, )→φ(x)=g(f(x))ϵV(φ(a),ε),

что и означает, что отображение φ непрерывно в точке а.

Теорема 10. Если функция f:X →R, X €Rⁿ непрерывна в точке a€X и f (a) >0 (f (a) <0), то существует такая окрестность V(a), что если x€V(a), то f(x) >0 (f(x) <0).

Теорема 11. Если функции f:X→R, g:X→R, X€Rⁿнепрерывны в точке a€X, то f+ g, f• g, а если g( x) ≠0,x€X, то и f/gопределены на множестве Xи непрерывны в точке a.

Если отображение f:X→R^m, X€Rⁿ непрерывно в каждой точке множества X, то говорят, что оно непрерывно на множестве X.Теоремы 9-11 задают локальные свойства непрерывных отображений.

13.Глобальные свойства непрерывных отображений.

Определение 9. Отображение f : X →R^m, X €Rⁿ называется равномерно непрерывным на множестве X, ес­ли для > 0 > 0 :х',х'' €X, удовлетворяющих неравенству p_n(x',x")<,будет выполняться неравенство p_m((f(x'),f(x"))<.

Теорема 12.Отображение f :X→R^m, X€Rⁿ равномерно непрерывно на X тогда и только тогда, когда каждая из его координатных функций f_i, i = 1,m равномерно непрерывна на X.

Справедливость теоремы следует из неравенства

|f_i(x’)-f_i(x”)| ≤p_m(f(x’),f(x”))≤max_1≤j≤m|f_i(x’)-f_i(x”)| i=1,m, Ax’,x” ϵX.

Теорема 13. Если отображение f : X →R^m, X €Rⁿ непрерывно на компакте X €Rⁿ, то оно равномерно непрерывно на X

Теорема 14.Если отображение f :X→R^m, X€Rⁿ непрерывно на компакте X€Rⁿ, то оно ограничено на X.

Теорема 15.Если функция f : X →R, X €Rⁿнепрерывна на компакте X €Rⁿ, то на X она принимает наименьшее и наибольшее значения.

Теорема 16. Пусть функция f : X →R, X €Rⁿнепрерывна на линейно связном множестве X €Rⁿ. Если a,b€X иf(a) = A, f(b)=B, то Cлежащего между A и B существует точка c€X, в которой f(c)=C.