7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия

Лемма 1: Для любых действительных чисел а_iи b_ii=1,…,n выполняется неравенство:

Следствие 1: .

Метрическое пространство .

Обозначим через Rⁿ множество всех упорядоченных наборов (x₁, Х₂,...,x_n),x_k€ R, k = 1,…, п. Каждый такой набор будем обозначать одной буквой x=(x₁, Х₂,...,x_n) и называть точкой множества Rⁿ. Число x_k,k=1,…,пназывается k-той координатой точки x=(x₁, Х₂,...,x_n).

Определение 1.Множество X называется метрическим пространством, если существует функция р : X ×X →R, удовлетворяющая следующим условиям:

1) p(x,y)>= 0, причем p(x,y)=0↔x=y;

2) p(x,y)=p(y,x);

3) p(x,z)<=p(x,y)+p(y,z)(неравенство треугольникa), где x,y,zпроизвольные элементы множества X.

Число p(x,y)называется расстоянием между точками xи yили метрикой пространства X.На множестве Rⁿ опре­делим расстояние между его двумя точками x=(x₁, Х₂,...,x_n)и y=(y₁, y₂,...,y_n)по формуле.(1)

Функция p:Rⁿ×Rⁿ→R, определяемая формулой (1), очевидно удовлетворяет условиям 1) и 2) определения 1. Покажем, что она удовлетворяет и условию 3). Действительно, полагая в a_i = x_i— y_i, b_i = y_i— z_i, получим условие 3) определения 1.

Таким образом, если на множестве Rⁿ ввести расстояние по формуле (1), то оно превратится в метрическое про­странство Rⁿ.

Непосредственно из (1 ) следуют двойные неравенства

|x_i— y_i|<=p(x,y)<=max|x_k— y_k|, i = 1,…,n.(1<=k<=n).

Определение 2. Пусть a ∈ Rn , r > 0. Множество B(a, r) = {x ∈ Rn | ρ(a, x) < r} называется открытым шаром

с центром в точке a радиуса r. Множество V (a, δ) = B(a, δ) называется δ-окрестностью точки a в множестве Rn .

Множество S = {x ∈ Rn | ρ(a, x) = r} называется сферой с центром в точке a радиуса r.

Определение 3. Пусть X ⊂ Rn . Точка a ∈ X называется внутренней точкой множества X, если существует окрестность

V (a, δ) точки a, такая, что V (a, δ) ⊂ X.

Определение 4. Точка a ∈ Rn называется внешней точкой множества X ⊂ Rn , если существует окрестность V (a,)

точки a, не содержащая ни одной точки из множества X.

Определение 5. Точка a ∈ Rn называется граничной точкой множества X ⊂ Rn , если любая окрестность V (a,δ) точкиa содержит как точки из множества X, так и точки не принадлежащие ему.

Определение 6. Множество X ⊂ Rn называется открытым в Rn , если каждая точка множества X является его внутренней точкой.

8.Евклидово пространство .

как векторное пространство.

Если в Rⁿ ввести операции сложения двух элементов x=(x₁,x₂, ...,x_n), y=(y₁,y₂, ...,y_n) и умножения элемента x=(x₁,x₂, ...,x_n)на действительное число Aсоответственно по формулам:

x+y=(x₁+y₁,X₂+y₂,...,x_n+ y_n),

Ax=(Ax₁,Ax₂, ...,Ax_n),

то Rⁿ станет векторным (линейным) пространством над полем действительных чисел.

Векторы e_k=(0,...,0,1,0,...,0),k=1,n(1 стоит только на k-том месте) образуют линейно независимую систему векторов в пространстве Rⁿ. Любой вектор x€ Rⁿ можно разложить по базисным векторам e_k, k=1,nв виде

x=x₁e₁+x₂e₂+...+e_nx_n.

Норма в.

Опр1: Пусть Определение 1. Пусть X — векторное пространство. Функция || • ||: X →R, удовлетворяющая условиям

1. \\x\\>0,причем \\x\\=0↔x=0,

2. \\Ax\\= \A\.\\x\\,

3. \\x+y\\<=\\x\\+\\y\\(неравенство треугольника),

x,y€X,A€R, называется нормой в X. Число \\x\\— норма вектора x.Векторное пространство Xс введенной в нем нормой называется векторным нормированным пространством. В векторном пространстве Rⁿ определим норму по формуле ||x||=, гдеx=(x₁, x₂,...,x_n)€.||x-y||=p(x,y), ||x||=p(x, 0), где p(x,y) расстояние между векторами x,y, которые рассматриваются как точки метрического пространства .

Евклидова структура в .Определение 2. Скалярным произведением в действительном векторном пространстве X называется функция φ:X× X→R, φ(x,y)=(x,y),x,y€Xи удовлетворяющая условиям:

1. (x,x)>=0,(x,x)=0↔x=0,

2. (x,y)=(y,x),

3. (ax,y)=a(x,y),

4. (x+y,z)=(x,z)+(y,z),x, y,z€X,a€ R.

В векторном пространстве Rⁿ скалярное произведение векторов x=(x₁,x₂, ...,x_n), y=(y₁,y₂, ...,y_n)находится по формуле

(x,y)=x₁y₁+...+x_ny_n..

Векторное пространство Rⁿ с определенным в нем скалярным произведением называется Евклидовым простран­ством.

Число =называется длинной (модулем) вектораx=(x₁,x₂, ...,x_n)€Rⁿи обозначается |x|:|x| =Из вышесказанногоимеем, что |x|= ||x||. Иследует, чтоp(x,y)=||x–y|| = |x–y|.

В дальнейшем, на Rⁿ будем смотреть с одной стороны как на точечное метрическое пространство, а с другой стороны как на векторное евклидово пространство, где при этом имеет место p(x,y)=||x–y|| = |x–y|.