38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.

Теорема 1(Критерий Коши): Функциональная последовательность равномерно сходится на Е тогда и только тогда, когда

∃ℕ:n>N,ℕ.(1)

Док-во. Необходимость. Пусть на Е. Тогда

∃ℕ:n>N,

,n>N,ℕ,

Достаточность. Пусть имеет место (1). Тогда при любом фиксир. последовательность{} является числовой последовательностью, удовлетворяющей критерию Коши, и потому она сходится.

Пусть на Е. Покажем, что посл. {} сходится равном.к ф-циина мн-ве Е. Действительно, переходя в (1) к пределу приполучим

.

Это и означает равномерную сходимость .

_{Теорема2}.(Кр.Коши равном.сход.функ.ряда) Функ ряд (2) равномерно сходится на множестве Е тогда и только тогда, когда ∃ℕ:n>N,ℕ,_→

|(x)|<ε Справедливость утверждения теоремы следует из равенства (х)=S_n+p(x) – S_n(x) и теоремы 1.

39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.

Теорема (Признак Вейерштрасса).Если числовой ряд сходится иимеет место неравенство , то функц. рядравном.сх. на Е.

Док-во. Согл. нерав-ву, и крит. Коши сходимости числ рядов:

след-но , по критерию Коши равномерной сходимости функ рядов ,этот ряд сходится равномерно на Е.

Рассмотрим функц. ряд (1)

Теорема(Признак Абеля). Если функц. ряд равном. сход. на Е, а посл-ть {} монотонна при каждоми ограничена на Е, то ряд (1) равном сход.на Е.

Теорема(Признак Дирихле). Если посл-ть част. Сумм

{} рядаогр. на Е, а посл. {} монотонна при каждом и равном. стремится к нулю на Е, то функц. ряд (1) равном сх. на Е.

Эти призн доказ. аналогично соотв. призн. сходим.для рядов

40. Почленный переход к пределу Теорема6. Если ф. ряд равном. сх. к суммеS(x) на мн-ве Е, и сущ. пределы , то ф-цияS(x) имеет предел в точке , причем

(1)

Док-во. Согласно крит. Коши для ряда , имеем

(2)

Переходя к пределу при , получим. След.рядудовл. критерию Коши, а значит сх.

Рассм. разность S(x)- . Т.к.S(x)=, то

.

Из равном.сходим. ряда на Е и сходим. ряда, заключаем, что∃ℕ, что , и . Так как предел суммы равен сумме пределов, то для указанныхиnсущ. , что для,таких, что, выполн. нерав-во

Из сказанного имеем, что для, а это значитS(x) имеет предел в точке и справедливо (1).

41. Непрерывность суммы ряда.

Теорема7.Если функции f_n(x), n = 1, 2, . . . непрерывны в точке x_o€ E и функциональный ряд (1.2) равномерно сходится к S(x) на E, то его сумма S(x) непрерывна в точке x_o.Утверждение теоремы следует из теоремы 6, если положить, что u_n = f_n(x_o), n = 1, 2,...

Заметим, что каждой функциональной последовательности соответствует некоторый функциональный ряд, для ко­торого она является последовательностью частичных сумм, поэтому в терминах функциональных последовательностей теоремы 6 и 7 формулируются:

Теорема 6'. Если функциональная последовательность {f_n(x)} равномерно стремится к fна Eи для любого n€Nсуществует limf_n(x) = u_n,(x→x₀) то предельная функция fимеет предел в точке xo, причем

Теорема 7'. Если функции f_n(x), n = 1, 2,... непрерывны в точке x_o€Eи f_n4 fна E, то предельная функция fнепрерывна в точке x_o.