Геометрія

1.Предмет нарисної геометрії. Методи проекціювання та їх інваріанти.

2. Ортогональні (прямокутні) проекції.

3. Що таке площина проекції? Як позначаються площини проекцій?

4. Система двох взаємно перпендикулярних площин. Епюр.

5. Система 3-ох взаємно перпендикулярних площин. ---------

6. Утворення комплексного креслення (епюра). Покажіть, в якому напрямі обертають площини 1 та 3 до суміщення з 2.

7. Точка в площині. Дати визначення приналежності точки до площини. Приклад.

8. Розташування прямої в просторі щодо площин проекцій.

9. Сліди прямої. Побудова слідів прямої.

10. Прямі спеціального положення. Сліди прямих спеціального положення. --------

11. Прямі рівня (горизонталь, фронталь, профільна пряма).

12. Проектуючі прямі (дати наочне зображення та епюр).

13. Розкрийте суть методу прямокутного трикутника при визначенні дійсної величини відрізка прямої.

14. Визначення дійсної величини кута нахилу відрізка прямої до 1 та 2.

15. Умова паралельності прямої до площини.

16. Проекція прямого кута (умова, коли прямий кут проектується в дійсну величину).

17. Пряма, перпендикулярна до площини.

18. Взаємне розміщення прямих в просторі: паралельні прямі; прямі, які перетинаються; мимобіжні прямі. -------------

19. Перетин прямою лінією площини загального положення. Видимість прямої.

20. Знаходження віддалі від точки до площини.

21. Способи задання площин. Сліди площини.

22. Проектуючі площини (горизонтально-проектуюча, фронтально-проектуюча, профільно-проектуюча). -----------

23. Площина рівня (горизонтальна, фронтальна, профільна площини).

24. Дайте визначення площини загального положення. Задайте її слідами.

25. Побудова лінії перетину двох площин.

26. Взаємний перетин площин. Побудова лінії перетину.

27. Головні лінії площини (горизонталь площини, фронталі площини,

лінія найбільшого нахилу до площини проекцій).

28. Застосування способу обертання для визначення дійсної величини трикутника.

29. Спосіб заміни площин проекцій. Суть способу.

30. Застосування способу заміни площин проекцій для визначення дійсної величини відрізка прямої.

31. Застосування способу заміни площин проекцій для визначення дійсної величини плоскої фігури (трикутника).

32. Суміщення площини з площиною проекцій (обертання навколо сліду площини).

33. Розкрийте суть методу допоміжного косокутного проектування.

34. Знаходження найкоротшої віддалі між двома мимобіжними ребрами.

35. Багатогранники. Зображення багатогранників на епюрі.

36. Перетин призми площиною загального положення.

37. Перетин трьохгранної призми площиною загального положення.

38. Перетин призми площиною загального положення.

39. Побудова перерізу піраміди площиною загального положення.

40. Перетин піраміди площиною.

41. Перетин конуса проектуючими площинами. Криві лінії, які утворюються в результаті перетину.

42. Побудова перерізу циліндра площиною загального положення.

43. Конічні перерізи конуса.

44. Перетин конуса площиною загального положення.

45. Перетин кулі проектуючою площиною.

46. Перетин призми та піраміди прямою лінією.

47. Перетин піраміди прямою та площиною.

48. Перетин конуса прямою лінією загального положення.

49. Перетин кулі прямою лінією.

50. Взаємний перетин гранних фігур.

51. Взаємний перетин фігур обертання (спосіб січних площин).

52. Взаємний перетин фігур обертання (спосіб концентричних сфер).

53. Побудова розгортки піраміди.

54. Побудова розгортки конуса.

55. Лінійчасті поверхні.

56. Побудова конічної гвинтової лінії.

57. Аксонометричні проекції.

58. Прямокутна ізометрична проекція. Коефіцієнти спотворення по осях X, Y, Z. Побудова ізометричної проекції точки за її координатами.

59. Прямокутна диметрична проекція. Коефіцієнти спотворення по осях. Побудова квадрату зі стороною a=40мм.

60. Побудова кола в прямокутній диметрії. Напрям осей еліпса та коефіцієнти спотворення.

61. Способи задання площини в проекціях з числовими позначками.

62. Що називається нахилом, інтервалом. Який взаємозв’язок між нахилом та інтервалом?

63. Що називається профілем місцевості?

64. Побудова лінії перетину площини з топографічною поверхнею.

65. Розкрийте суть методу проекцій з числовими позначками (відмітками).

66. Розкрийте суть градуювання прямої в проекціях з числовими позначками.

1.Предмет нарисної геометрії. Методи проекціювання та їх інваріанти.

Нарисна геометрія — розділ геометрії, що вивчає методи зображення тривимірних об'єктів, використовуючи двовимірні проекції. Батьком нарисної геометрії вважається французький інженер Гаспар Монж. Монж побудував свою методику в 1765, працюючи креслярем при спорудженні фортифікацій.

Нарисна геометрія використовує ортогональні та аксонометричні проекції.

Зазвичай використовуються

- Фронтальна проекція або вид спереду

-Горизонтальна проекція або вид зверху

-Бічна проекція, або вид зліва.

Видимі контури предметів зображаються суцільними лініями, невидимі - штриховими.

Методи проекціювання

Методи проеціювання. Кожний об’ємний предмет має три виміри: довжину, ширину і висоту. Виготовляють предмети за кресленнями, що містять їх зображення на площині (на аркуші

паперу). В основу побудови зображень на кресленнях покладено метод проеціювання. Він полягає у тому, що зображення предмета на площині дістають за допомогою проеціюючих променів.

Проеціювання нагадує утворення тіні предмета. При освітленні сонячними променями будь-який предмет (дерево, паркан,

будівля) відкидає тінь. Вона подібна до обрисів самого предмета. Якщо предмет розмістити перед плоскою стінкою і освітити його ліхтариком, то на стінці утвориться тінь цього предмета. Утворений світловими променями контур предмета на площині можна вважати його проекцією.

Утворення зображення предмета на кресленні уявними проеціюючими променями називають проеціювання. Утворене методом проеціювання зображення предмета на

площині називають проекцією.

Є декілька методів проеціювання.

Центральне проеціювання – проеціюючі промені виходять з однієї точки і зображення утворюється із спотвореними розмірами.

Паралельне косокутне проеціювання – проеціюючі промені паралельні , але падають на площину проекцій не під прямим

кутом.

Паралельне прямокутне проеціювання - проеціюючі промені паралельні і перетинають площину проекцій під прямим кутом.

Утворена на площині проекція дає уявлення про форму плоского предмета. На кресленні проекцію доповнюють розмірами.

2. Ортогональні (прямокутні) проекції.

Ортогональна́ проекція́ — паралельна проекція предмета чи його частини на площині, перпендикулярній до напрямку проекціювальних променів, яка утворює суміщену з креслеником одну з граней порожнистого куба, всередині якого уявно розміщено предмет

Ортогональне проектування це окремий випадок паралельного, при якому напрямок проектування перпендикулярно площині проекцій. Ортогональної проекцією точки називають заснування перпендикуляра, проведеного з точки на площину проекції

При побудові ортогональних проекцій за основні площини проекцій беруть шість граней пустотілого куба (паралелепіпеда), всередині якого розміщують предмет, який проекціюється на внутрішні грані куба, утворюючи види, до яких відносяться шість основних видів, що одержують на шести внутрішніх гранях куба:

головний вид (вид спереду) — основний вид предмета на фронтальній площині проекцій, який дає найповнішу уяву про його форму і розміри відносно якого розташовують інші основні види; вид зверху;

вид зліва; вид справа; вид знизу; вид ззаду.

3. Що таке площина проекції? Як позначаються площини проекцій?

Властивості проекцій прямої залежать від її розташування відносно площин проекцій.

Пряма загального положення

Така пряма та її проекції не паралельні і не перпендикулярні ні до однієї із площин проекцій

Пряма рівня

Такі прямі паралельні до однієї з площин проекцій ,тому всі їхні точки розташовані на одному рівні відносна цієї площини проекцій.

Прямі рівня бувають:

- горизонтальна, для якої фронтальна проекція завжди паралельна

Пряма проектуюча

Для горизонтально-проектуючої прямої фронтальна та профільна проекції завжди перпендикулярні до осей х та у відповідно.

Для фронтально-проектуючої прямої горизонтальна та профільна

проекції завжди перпендикулярні до осей х та z відповідно.

Для профільно-проектуючої прямої фронтальна та горизонтальна проекції завжди перпендикулярні до осей z та у відповідно.

Позначення

Точки позначають великими літерами латинського алфавіту та цифрами. Наприклад А, В, С, …, 1,2,3 …

Прямі позначають малими літерами латинського алфавіту а, b, с, …, або відрізками АВ, CD, оскільки пряму визначають дві точки.

Площини позначають великими літерами грецького алфавіту

У разі, коли площина задається трьома точками, точкою та прямою або двома прямими, які перетинаються, то відповідні позначення такі: (АВС), (А,b),(b,c).

Площини проекцій будемо позначати грецькою літерою П (пі) з індексами 1,2,3, 4 тощо, що означатиме відповідні проекції.

Точки простору позначають великими латинськими буквами або

цифрами: А, В, С, D, Е, F, ... 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Прямі та криві лінії позначають малими буквами латинського

алфавіту: а, b, с, d, е, ...

Прямі, паралельні площинам проекцій позначають відповідно: горизонталь — h, фронталь — f, профільна пряма — р.

Поверхні (площини) — Q, Δ, Г, Ф, Ω

указують на відповідні площини проекцій. Наприклад, вісь х12 розділяє поле горизонтальних проекцій (індекс 1) і поле фронтальних проекцій (індекс 2).

Аксонометричні зображення фігур мають штрих угорі, наприклад, точка в аксонометрії А', пряма в аксонометрії – а', осі в аксонометрії .

Систему прямокутних координат позначають Oxyz, де О – початок координат, позначають точкою О.

Поверхні, як і площини, позначають великими буквами грецького алфавіту: Q, Δ, Г, Ф, Ω.

4.Система двох взаємно перпендикулярних площин. Епюр.

Утих випадках, коли розмірне відповідність обов'язково, використовують метод паралельного або циліндричного проектування, коли центр

проектування знаходиться в нескінченності і проектують промені паралельні між собою (малюнок 2). Як фіксованого базису використовують три взаємно-перпендикулярних площині проекцій.

Перша з них називається фронтальною площиною і позначається латинською літерою V. Вона стаціонарне. А проекціям точок цієї площини присвоюють індекс цій же площині, наприклад А v, А н, А w.

Друга пл. проекцій, розташована горизонтально, так і називається - горизонтальна і позначається - Н. Для отримання плоского креслення її повертають відносно осі ох передню підлозі вниз, задню вгору.

Третя площина розташована, як і перша вертикально, але перпендикулярна до фронтальної, і розгортається проти годин стрілки навколо осі oz при суміщенні площин в єдину і називається профільної - W.

Ці три площини взаємно перпендикулярні і ділять простір на 8 кутів - октантів.

Перетинаючись між собою, три площини утворюють лінії перетину - осі.

Епюр – креслення, на якому просторова фігура зображена її ортогональними проекціями, суміщеними в одній площині.

5. Система 3-ох взаємно перпендикулярних площин.

-----------------------------

6. Утворення комплексного креслення (епюра). Покажіть, в якому напрямі обертають площини 1 та 3 до суміщення з 2.

Оскільки при утворенні поверхні обертання кожна точка утворюючої описує коло у площині, перпендикулярної осі обертання, то розріз поверхні обертання площиною, перпендикулярною до осі обертання – завжди коло. Ці кола називаються паралелями. При цьому паралель найбільшого діаметра називається екватором, а найменшого - горлом (або горловиною). Лінія перетину поверхні обертання площиною, що проходить через вісь, називається меридіаном поверхні

7. Точка в площині. Дати визначення приналежності точки до площини. Приклад.

Точка належить площини, якщо вона лежить на прямої, приналежної цієї площини. Пряма належить площини, якщо вона проходить через дві точки цієї площини або через одну точку площини і