Геометрія
.pdfПокажемо суть способу на прикладі конкретної точки А (рис. 6.5). Введемо нову площину проекцій П4, провівши якимось чином нову вісь проекцій x14. Через проекцію А1 точки А проведемо нову лінію зв’язку перпендикулярно до осі x14 і на ній відкладемо відрізок А14А4, який становить висоту точки А і дорівнює відрізкові А2А12. Може виникнути потреба у подальшому перетворенні креслення заміною і площини П1 новою площиною - П5, перпендикулярною до площини П4. У такому разі проводимо нову вісь проекцій x45 і через проекцію А4 проводимо нову лінію зв’язку перпендикулярно до неї. На цій лінії відкладаємо відрізок А45А5, який дорівнює відрізкові А1А14, тобто відстані від точки А до площини П4. Маємо “нову” проекцію А5 точки А.
Далі покажемо застосування способу заміни площин проекцій для розв’язування чотирьох основних задач.
Задача 1. Перетворити креслення так, щоб пряма АВ(А1В1, А2В2) загального положення стала лінією рівня (рис. 6.6).
Для цього необхідно одну з площин проекцій, наприклад, П2, замінити новою площиною П4, паралельною прямій АВ. Проводимо нову вісь проекцій x14 паралельно проекції А1В1 прямої АВ на довільній від неї відстані і за лініями зв’язку, перпендикулярними до осі x14, знаходимо нові проекції А4 і В4точок А і В: А14А4 = А2А12, В14В4 = В2В12. Сполучаємо точки А4 і В4, маємо проекцію А4В4 відрізка АВ. Довжина проекції А4В4 дорівнює довжині самого відрізка АВ, тобто відрізок АВ спроекціювався на площину проекцій П4 без спотворення. Крім того, кут нахилу проекції А4В4 до осі x14 становить кут нахилу прямої АВ до площини проекцій П1. Щоб визначити кут нахилу прямої Рис. 6.6
30. Спосіб заміни площин проекцій
Суть способу полягає в тому, що положення геометричного об’єкта у просторі залишається незмінним, а одну з площин проекцій замінюють новою, яка створює з другою площиною проекцій нову систему взаємно перпендикулярних площин, відносно якої геометричний об’єкт займе особливе положення. Замін може бути декілька. Способом заміни площин можна розв’язувати багато позиційних та метричних задач нарисної геометрії.
Приклад 2 Визначити натуральну величину відрізка АВ.
Рисунок 1.25 – Визначення натуральної величини відрізка способом заміни площин проекцій
Для визначення натуральної величини відрізка необхідно ввести допоміжну площину проекцій П4, яка перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій та паралельна відрізку АВ.
Площина П4 вводиться на будь – якій відстані від відрізка АВ. На комплексному кресленні достатньо провести нову вісь Х14 паралельно горизонтальній проекції відрізка АВ та з А1 та В1 провести лінії зв’язку, перпендикулярні до осі Х14, на яких відкласти віддалення від горизонтальної площини проекцій, які вимірюються на площині П2 (зроблені позначки однією та двома рисками). На рисунку 1.25 позначений кут нахилу (a) прямої АВ до горизонтальної площини проекцій – це буде кут між НВ прямої АВ та прямою паралельною осі Х14.
Щоб визначити кут нахилу прямої АВ до фронтальної площини проекцій, необхідно ввести площину, перпендикулярну до площини П2 та паралельну відрізку АВ.
Приклад 3 Визначити натуральну величину трикутника АВС (рис. 1.26).
Рисунок 1.26 – Визначення натуральної величини трикутника способом заміни площин проекцій
Для розв’язання задачі двічі виконують заміну площин проекцій.
Перша заміна виконана таким чином, щоб трикутник перетворити у проеціювальну площину. Для цього необхідно нову вісь Х14 провести перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі (h1) – це ознака того, що трикутник перпендикулярний до нової площини проекцій (П4), на яку він проектується у відрізок.
Друга заміна виконана таким чином, щоб трикутник перетворити у площину рівня. Для досягнення цього необхідно нову вісь Х45 провести паралельно відрізку, в який спроектувався трикутник АВС.
Відстані, які необхідно виміряти та відкласти від нових осей, позначені відповідними лініями.
31. Визначити натуральну величину трикутника АВС (рис. 1.27).
Рисунок 1.27 – Визначення натуральної величини трикутника способом обертання навколо проеціювальної осі
Для визначення натуральної величини трикутника АВС необхідно провести горизонталь площини.
Першим обертанням трикутник переведено у проеціювальне положення. Обертання виконано навколо прямої, проведеної через точку А, перпендикулярної до площини П1.
Друге обертання виконано навколо прямої, проведеної через точку В, перпендикулярно до площини П2. Трикутник переведений у положення паралельності площині П1, тому горизонтальна проекція трикутника – це його натуральна величина.
Основним недоліком способу обертання навколо проеціювальної осі є накладання одного зображення на інше.
При розв’язанні задач способом плоскопаралельного переміщення цього недоліку немає.
32. Метод обертання навколо слідів площині (суміщення)
При зображенні об'єкта в площині, заданої слідами, іноді доцільно використовувати метод суміщення цієї площини з однією з площин проекції.
Цей метод також є окремим випадком методу обертання. Віссю обертання при цьому є один з слідів площині, а другий її слід поєднується з тією ж площиною проекцій (рис. 4.12).
33. Косокутне допоміжне проектування
Цей засіб доцільно використовувати для розв'язання позиційних задач. Ідея засобу полягає в тому, що напрям проектування вибирають таким чином, щоб пряма або площина, що розглядається в задачі, зайняла проектуюче положення [1]. На Мал. 11 засіб косокутного допоміжного проектування використано для визначення точки перетину профільної прямої 
з площиною загального положення, заданою слідами. Площину та пряму
спроектовують на поле 
у напрямі горизонтальної площини; при цьому площина спроектувалася своїм фронтальним слідом, а пряма – відрізком 
. Перетин цих двох прямих – точка 
, яку у зворотному напрямі проектування знаходять на профільній прямій
(
).
34. Дві прямі в тривимірному евклідовому просторі називаються мимобіжними, якщо не існує площини, що їх містить.
Відстань між двома мимобіжними прямими[ред. • ред. код]
Відстань між двома мимобіжними прямими
Відстанню між двома мимобіжними прямими називається довжина найкоротшого відрізка що їх
з’єднує. Такий відрізок, буде також перпендикуляром до обох прямих.
Позначимо напрямляючі вектори мимобіжних прямих як 
і 
. Додатково виберемо три довільні точки А, В, О, так що A лежить на прямій g, B — на прямій h, а точка O не лежить на жодній з прямих і запишемо рівняння прямих в параметричній формі:
,
де 
.
Тоді напрям одиничної нормалі 
, до 
і 
, а отже і до обох прямих, можна обчислити за допомогою векторного добутку:
.
Після чого відстань між прямими обчислюється як проекція вектора 
на напрямок заданий одиничною нормаллю 
35. Об’єднання скінченного числа багатокутників називається багатогранною поверхнею. Багатогранна поверхня називається простою, якщо усі її точки належать даним багатокутникам або загальним сторонам двох багатокутників, або є вершинами багатогранних кутів, плоскими кутами яких служать кути цих багатокутників.
Багатокутники, що складають багатогранну поверхню, називаються її гранями, сторони багатокутників – ребрами, а вершини – вершинами багатогранної поверхні.
З усіх простих багатогранників практичний інтерес становлять піраміди та призми.
Пірамідою називають багатогранник, усі грані якого, крім одної, мають спільну вершину (рис. 4.25, а). Оскільки всі бічні грані піраміди – трикутники, піраміда повністю визначається заданням її основи та вершини.
Призмою називають багатогранник, обмежений призматичною поверхнею та двома паралельними площинами, не паралельними ребрам призми. Ці дві грані називаються основами призми, грані призматичної поверхні – бічними гранями, а її ребра – ребрами призми. Основами призми є рівні між собою багатокутники, бічні ребра призми дорівнюють одне одному. Якщо основи не паралельні між собою, призму називають зрізаною. Коли основами призми є перпендикулярні перерізи призматичної поверхні, призму називають прямою, якщо ця умова не виконується – похилою
Завдання багатогранників на епюрі Монжа (загальні положення)
Багато просторові фігури представлені у вигляді багатогранників - замкнутих просторових фігур, обмежених плоскими багатокутниками. Вершини і сторони багатокутників є вершинами і ребрами багатогранника, при цьому, якщо всі його вершини і ребра знаходяться по одну сторону площині будь-якої з його граней, то багатогранник називається опуклим, а всі його грані є опуклими багатокутниками.
Багатогранники широко поширені в архітектурі, будівництві, техніці. Багато деталей машин і механізмів, верстатів, інструментів та приладів мають форму багатогранників або їх поєднань.
^ 5.2. Види багатогранників
Найбільший практичний інтерес представляють призми, піраміди і опуклі однорідні багатогранники - тіла Платона (тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр і ікосаедр). Це правильні (відповідно) чотирьох-, шести-, восьми-, дванадцяти-і двадцатигранник.
Піраміда - це багатогранник, одна грань якого - багатокутник, а інші грані - трикутники із загальною вершиною (рис. 5.1). Піраміда називається правильною, якщо підставою її є правильною багатокутник, а висота (перпендикуляр, опущений з вершини на основу) проходить через центр цього багатокутника.
Рис. 5.1
Піраміда називається усіченою, якщо вершина її відсікається площиною, що перетинає всі ребра, що виходять з цієї вершини (рис. 5.1, 5.2).
Рис. 5.2
Призмою називають багатогранник, дві грані якого (основи призми) представляють собою рівні багатокутники з взаємно паралельними сторонами, а всі інші грані - паралелограми (рис. 5.3).
Рис. 5.3
Призму називають прямою, якщо ребра її перпендикулярні площині підстави. Якщо підставою призми є прямокутник, а бічні ребра перпендикулярні основі, то її називають параллелепипедом (рис. 5.4)